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10-9方向导数,梯度


§10-9 方向导数 梯度
? 一、问题的提出 ? 二、方向导数 ? 三、梯度

一、问题的提出
实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐 标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点 处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方 向(即梯度方向)爬行.

二、方向导数的定义
讨论函数 z ? f ( x , y )在一点P沿某一方向 的变化率问题.
设函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域U ( P ) 内有定义,自点P 引射线 l.
y
l

? P?

设 x 轴正向到射线l 的转角 ?( x ? ? x , y ? ? y ) o 为 ? , 并设 P

P

?
?

?
?x

?y

x

为 l 上的另一点且 P ? ? U ( p). (如图)

? | PP ? |? ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 ,

且 ?z ? f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ),

考虑

?z

?

,

当 P ? 沿着 l 趋于 P 时,

lim
? ?0

f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )

?

是否存在?

定义 函数的增量 f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 与 ? 两点间的距离 ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 之比值, PP 当 P ? 沿着 l 趋于 P 时,如果此比的极限存 在, 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数.

?f f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 记为 ? lim . ?l ? ?0 ? ? P x 依定义,函数 f ( x , y ) 在点 沿着 轴正向e1 ? {1,0} 、 ? y 轴正向e 2 ? {0,1} 的方向导数分别为 f x , f y ;
沿着 x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 ? f x ,? f y .

定理 如果函数 z ? f ( x , y )在点 P ( x , y )是可微 分的,那末函数在该点沿任意方向 l 的方向导数

? f ?f ?f ? cos? ? sin ? , 都存在,且有 ?l ?x ?y 其中 ? 为 x 轴到方向 l 的转角.
证明 由于函数可微,则增量可表示为

?f ?f f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ? ?x ? ?y ? o( ? ) ?x ?y
两边同除以 ? , 得到

f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )

?
故有方向导数

?f ?x ?f ?y o( ? ) ? ? ? ? ? ?x ? ?y ? ?

cos?

sin ?

?f f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ? lim ? ?0 ? ?l y
?f ?f ? cos ? ? sin? . ?x ?y
?
?

l

? P?

?
?x

?y

P

o

x

例 1 求函数z ? xe 2 y 在点P (1,0) 处沿从点



P (1,0) 到点Q( 2,?1) 的方向的方向导数. ? 这里方向 l 即为 PQ ? {1,?1}, ? ? 故 x 轴到方向 l 的转角 ? ? ? .
?z ? 2 xe 2 y (1, 0 ) ? 2, ?y ( 1 , 0 )
4

?z ? ? e 2 y (1, 0 ) ? 1; ?x (1, 0 )
所求方向导数

?z ? ? 2 ? cos(? ) ? 2 sin(? ) ? ? . 4 4 2 ?l

例 2 求函数 f ( x , y ) ? x 2 ? xy ? y?2 在点(1,1) ? 沿与x 轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 (1)最大值; (2)最小值; (3)等于零?



由方向导数的计算公式知

?f ?l

? f x (1,1) cos? ? f y (1,1) sin?
( 1 ,1 )

? ( 2 x ? y ) (1,1) cos? ? ( 2 y ? x ) (1,1) sin? ,

? cos ? ? sin ?

? ? 2 sin(? ? ), 4

? 故(1)当? ? 时, 方向导数达到最大值 2 ; 4
5? (2)当? ? 时, 方向导数达到最小值? 2 ; 4

3? 7? (3)当? ? 和? ? 时, 方向导数等于 0. 4 4

推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数u ? f ( x , y , z ) ,它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ,可定义 为
?f f ( x ? ?x , y ? ?y , z ? ?z ) ? f ( x , y , z ) ? lim , ? ?0 ?l ?

( 其中 ? ?

( ?x ) ? ( ?y ) ? ( ?z ) )
2 2 2

设方向 l 的方向角为? , ? , ?
?x ? ? cos ? ,

?y ? ? cos ? ,

?z ? ? cos ? ,

同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数都存在,且有

?f ?f ?f ?f ? cos? ? cos ? ? cos ? . ?l ?x ?y ?z

? 2 2 2 例 3 设 n 是曲面 2 x ? 3 y ? z ? 6 在点 P (1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数 1 1 ? 2 2 2 u ? (6 x ? 8 y ) 在此处沿方向 n 的方向 z
导数.
解 令 F ( x, y, z ) ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 6,

Fx? P ? 4 x P ? 4, F y? P ? 6 y P ? 6, Fz? P ? 2 z P ? 2, ? ? 故 n ? ?Fx , Fy? , Fz?? ? ?4, 6, 2?,
? n ? 42 ? 62 ? 22 ? 2 14,

方向余弦为

2 3 1 cos? ? , cos ? ? , cos ? ? . 14 14 14
?u 6x ? ?x P z 6 x 2 ? 8 y 2 ?u 8y ? ?y P z 6 x 2 ? 8 y 2
P

6 ? ; 14
8 ? ; 14

看书:P.107:例1 练习:P.114:62,66

P

?u 6 x2 ? 8 y2 ? ? 14 . ?? 2 ?z P z P

?u ?u ?u ?u 11 故 ? ? ( cos? ? cos ? ? cos ? ) ? . 7 ?n P ?x ?y ?z P

三、梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快? ? ? ? ? l 设e ? cos ?i ? sin ?j 是方向 上的单位向量,
由方向导数公式知
?f ?f ? 设{ , } ? g ?x ?y

? f ?f ?f ? cos? ? sin ? ? { ?f , ?f } ? {cos ? , sin ? } ?l ?x ?y ? x ?y ? ? ?? ? ? ? ? ? ? g ? e ? g e cos ? g, e ?? g cos ? g, e ?
? ? ?f cos ? g, e ?? 1 时, 有最大值. 当

?l

定义 设函数 z ? f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数,则对于每一点 P ( x , y ) ? D ,

?f ? ?f ? j ,这向量称为函数 都可定出一个向量 i ? ?x ?y z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度,记为 ?f ? ?f ? j. gradf ( x , y ) ? i ? ?x ?y

结论 函数在某点的梯度是这样一个向量,它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 方向导数的最大值.梯度的模为
gradf

? ?f ? ? ?f ? | gradf ( x , y ) |? ? ? ? ? ? . ? ?x ? ? ?y ?
2

2

P

?f ?y x轴到梯度的转角的正切为 tan ? ? . ?f ?x

?f 当 不为零时, ?x

? gradf

在几何上 z ? f ( x , y ) 表示一个曲面

? z ? f ( x, y) , 曲面被平面 z ? c 所截得 ? ?z ? c 所得曲线在xoy面上投影如图 ?f
1 ?y tan? ? ?? ?f dy ?x dx

y f ( x, y) ? c2
P
f ( x, y) ? c1

gradf ( x , y ) ? { f x , f y }

梯度为等高线上的法向量
f ( x, y ) ? c

等高线

o

x

等高线的画法

播放

例如, 函数 z ? sin xy 图形及其等高线图形.

梯度与等高线的关系:

函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f ( x , y ) ? c 在这点的法 线的一个方向相同,且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线,而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数.

梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u ? f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数,则对于每一点P ( x , y , z ) ? G , 都可定义一个向量(梯度)

?f ? ?f ? ?f ? gradf ( x , y , z ) ? i ? j ? k. ?x ?y ?z
类似于二元函数,此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模 为方向导数的最大值.

类似地,设曲面 f ( x , y , z ) ? c 为函数u ? f ( x , y , z ) 的等量面,此函数在点 P ( x , y , z ) 的梯度的方向与 过点 P 的等量面 f ( x , y , z ) ? c 在这点的法线的一 个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面,而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.

f ( x , y, z ) ? gradf ( x, y, z )
1.由一个数量场引入一个向量场。
2. gradf ( P0 )为函数 f 在P0点方向导数最大的方向 。

3. | gradf ( P0 ) | 为函数 f 在P0点最大的方向导数。
4.梯度与等高面的关系。

例4

求函数 u ? x 2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 3 x ? 2 y 在点 (1,1,2) 处的梯度,并问在 哪些点处梯度为零?

解 由梯度计算公式得

?u ? ?u ? ?u ? gradu( x , y , z ) ? i ? j? k ?x ?y ?z
? ? ? ? (2 x ? 3)i ? (4 y ? 2) j ? 6zk , ? ? ? 故 gradu(1,1,2) ? 5i ? 2 j ? 12k .
3 1 在 P0 ( ? , ,0) 处梯度为 0. 2 2

练习:P.114:73,71(1)(2)(3),68,70 作业:P.114:63,64,69,72

四、小结
1、方向导数的概念
(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)

2、梯度的概念
(注意梯度是一个向量)

3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .

等高线的画法

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