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数系的扩充和复数的概念(课时5)


人教版选修2-2第3章

《数系的扩充和复数的概念》 复 习 课

一、本章知识结构
虚数的引入 复 数

复数的表示

复数的运算

代数表示

几何表示

代数运算

几何意义

?

结构图简析

1、我们为解决负数开方的问 题引入虚数单位i,把形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复 数,数系由实数集扩充到复数 集,实现了数系的扩充。

? 结构图简析 ? 2、建立复数的概念之后,

我们主要研究了复数的代数 形式及其运算,复数的几何 表示(复平面上的点、向 量),复数运算的几何意义。

本课复习要点:
? 1.复数的有关概念 ? 2.复数的代数运算 ? 3.复数的几何意义

1.复数的有关概念
问题1 设复数z=lg(m2–2m–2)+

(m2+3m+2)i,试求实数m取何 值时。 (1)z是纯虚数; (2)z是实数;

背景知识
复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b 分别称为复数a+bi的实部与虚部。 当b=0时,a+bi就是实数, 当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称 为纯虚数。

问题2

设x,y∈R,并且

(2x–1)+xi=y–(3–y)i,求x, y。
解题总结:
复数相等 的问题
转化

求方程组的解 的问题

一种重要的数学思想—转化思想

变式练习
? 1.若方程

+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数m的 值.

x

2

? 2.已知不等式 ? <10+(

m -4m+3)i,试求实数m的值.

2

m -( m -3m)i

2

2

误点警示:虚数不能比较大小!

2.复数的代数运算
? 问题3 ? A. 1 ? ? C.

复数
3i

(2 ? 2i)

4 5

(1 ? 3i)

等于(B )

B. ?1 ? 3i D. ?1 ? 3i

1 ? 3i

方法点拨—在掌握复数运算法则的基 础上注意以下几点
? 1.

1? i 1? i ?i ? ?i ? 2. (1 ? i) ? ? 2i 1? i 1? i
2

i

n

的周期性

1 3 ? i ? 3. ? ? ? 2 2

? ? 1,? ? ?,1 ? ? ? ? ? 0
3 2 2

高考链接
(1 ? i ) ? 1.(06年陕西卷)复数 等于 1? i
2

?

?

A.1-i C.-1+ i

B.1+i D.-1-i

C A

1 ? i 2005 ) ? ? 2. (05年重庆卷) ( 1? i
? ?

i A.

2 ?i C. B.

2005

?2 D.

2005

?

问题4

9 设z为虚数,且满足 z ? ? R z

求|z|。
? 解法1

设 z=a+bi (a,b∈R且

9 9 ? a ? bi ? ? b≠0), z ? z a ? bi

9(a ? bi) 9a 9b ? a ? bi ? 2 2 ? (a ? 2 2 ) ? (b ? 2 2 )i a ?b a ?b a ?b
? 9 z ? ? R, ? z

9b b? 2 2 ?0 a ?b
2 2

又? b ? 0, ? a ? b ? 9 ? 0

即a ? b ? 9
2 2

?

| z |? 3

? 解法2

9 9 9 z ? ?R ? z ? ? z ? z z z

9 9 ( z ? z )( z z ? 9) ?z? ?z? ? ?0 z z zz

?| z | ? 9 ?| z |? 3
2

解题总结
? 解法1入手容易、思路清楚,是我

们处理这类问题的常规方法,必须 熟练掌握。
? 解法2着眼于整体处理,巧用共轭

复数的性质,对解题方法技巧有较 高的要求。

方法与技巧—共轭复数的性质

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,
z1 z1 ( )? ; z2 z2
2 2

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,

z ? R ? z ? z;

z ? 0 时,z是纯虚数 ? z ? z ? 0;

| z | ?| z | ? z ? z.

3、复数的几何意义
问题5 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m2)i在复平面内所对应的点位于第二 象限,求实数m的取值范围。 2 ?m ? m ? 6 ? 0 解:由? 2 ?m ? m ? 2 ? 0 ? ?3 ? m ? 2 m ? (?3, ?2) ? (1, 2) 得? ?m ? ?2 或 m ? 1

背景知识
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) (形) (数)复数的一个几何意义 z=a+bi Z(a,b)
y b
一一对应

复平面
x轴------实轴
x

a

o

y轴------虚轴

?

复数z=a+bi

?

点Z(a,b)

??? ? 向量 OZ
复数的另一几何表示

问题6 如图,已知复平面内一个平
行四边形的三个顶点O,A,B对应的 复数分别是0, 5+2i , -3+i ,求 第四个顶点C对应的复数.

解法1—向量法 ???? ??? ? ??? ? OC ? OA ? OB

y
B
0

C A

解法2—几何法

x

平行四边形对角线互相平分

y

Z
Z1

知识拓展
Z2
o

x

不等 z 1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 ? z 1 ? z 2
相等 z 1 ? z 2 ? | z1 ? z2 | ? 2( z 1 ? z 2 )
2 2 2 2

问题7 ? 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2, 那么|z+i+1|的最小值是(A ) ? A.1 B. 2 C.2 D. 5
y o x

思想方法—数形结合

方法与技巧 ? 掌握一些常见曲线的复数方程,充 分运用复数的几何意义解题,就可 以快速准确的解答有关问题。

(1) z ? z 0 ? r (2) z ? z 1 ? z ? z 2
(3) z ? z 1 ? z ? z 2 ? 2a (4) | z ? z 1 ? z ? z 2 |? 2a

回顾总结
? 1.两个复数相等的充要条件是实现

把复数问题转化为实数问题的重要 途径,也是我们解决有关的方程、 不等式问题的重要依据。
? 2.在熟练进行复数运算的同时,掌

握一些运算技巧方法,以求快速准 确地解答问题。

回顾总结
? 3.复数的几何表示建立了复数与平

面图形、复数与向量沟通的桥梁, 由此我们可以方便地进行数形转换, 寻找更为直观、方便的解题方法与 途径。

作业
z ? 1.已知z是复数,z+2i、 均为实 2?i
?

数,且复数(z+ai)z在复平面上对应的 点在第一象限,求实数a的取值范围.

? 2.已知复数z满足 |

z |? 2 , z 的虚

2

部为 2 , ? (1)求z; 2 2 z , z ? z 在复平面 ? (2)设 z , 对应的点分别为A,B,C,求?ABC 的面积.


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