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放缩法与数列不等式


1 1 引例.求证: ? 2 ? 2 2

1 * ? n ? 1??( n ? N ) 2

1 证明:左边= 1 ? n ? 1?? 2

数列不等式的证 明之——放缩法

1 1 例1.求证: 2 ? 2 ? 1 2

1 7 * ? 2 ? 2??( n ? N ) 4

n

1 1 1 1 ? ? 证明:当 n ? 2时, 2 ? n n(n ? 1) n ? 1 n

1 1 1 思考:还可以如何放缩? ∴左边< 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3

1 放缩时要控制好放缩的幅度,如:要放 < 2? 大分式,则分母 “n 损失”的越少越好. <2 证明数列不等式,若不能直接求和,可考 又n=1时,左边=1<2成立. 虑利用放缩将其变成能求和的数列,即放缩 所以 n ? N * 时,原不等式成立. 的目的是为了能求和.

1 1 ?( ? ) n?1 n

注:常用的裂项公式
1 1 1 1 (1) ? ________; ? 一般地, n( n ? 1) n n ? 1 n( n ? k ) 1 (2) (2n ? 1)(2n ? 1) (3) 1 n?1 ? n
1 1 1 ( ? ) ? ________________ 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 ( ? )? ? _________ n n? k k

? ________________ n?1 ? n

n 1 2 2 2 证明: ? ? ? ? 2( n ? n ? 1) n 2 n n? n n ? n?1

?变式· 求证:

1 1

?

1 2

?

?

1

? 2 n??( n ? N )
*

∴左边< 2 ? ?(1 ? 0) ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? <2 n 即原不等式成立. 思考· 如何证明
1 1 ? 1 2 ? ? 1 n

? ( n ? n ? 1) ? ?

? 2 n?1 ? 2

放缩后成为可裂项求和. 1、熟悉常见的能裂项相消求和的数列; 2、在证明具体数列不等式时,观察数列 通项的结构特征,联想相应能裂项求和的数列, 从而找到放缩的方向.

例2.求证:
1 1 ? 2 ? 2?1 2 ?1 1 5 ? n ? ?( n ? N *) 2 ?1 6

1 1 证明: ?? n ? n 2 ?1 2 1 1 1 1 ∴左边< ? 2 ? 3 ? n 3 2 2 2 1 1 1 ? ? 2 n 1 2 1 1 1 5 2 2 ? ? ? ? ? n ? 1 3 3 2 2 6 1? 2

所以原不等式成立.

?变式· 求证:
1 1 ? 2 ? 2?1 2 ?1 1 5 ? n ? ?( n ? N *) 2 ?1 3
1 1 2 (1 ? n ) 2
n

1 n ? 2时?,?? n ? 证明: 2 ?1

?

1 3 2 ? 4
n

1 1 1 1 ? ? ∴左边 ≤ 1 ? ? 2 3 3? 2 3? 2 3 ? 2n? 2 1 1 1 ? ? n? 2 2 1 5 3 3 ? 2 2 ? 1? ? ? ? 1? n ?1 1 3 3? 2 3 1? 2 所以原不等式成立.

思考· 所用思路适用于证明
1 1 ? 2 ? a?b a ?b 1 ? n ? ? ?? a ? b ? 0) a ?b

么?
更进一步,对于证明:
1 1 ? 2 ? 2 a?b a ?b 1 ? n ? ? ?(a ? b ? 0) n a ?b

上述思路还适用么?

【课堂小结】
本节课重点研究了证明数列不等式的一种重 要方法:放缩法 请同学们思考下列问题 1)何时考虑用放缩法? 2)为了获取放缩思路,我们应如何分析所给 数列?

?高考链接· (2012广东高考第19题(3)) 求证:
1 1 ? 2 ? 2 3? 2 3 ? 2 1 3 ? n ? ?( n ? N *) n 3 ?2 2

?课后作业
1 1 1. 已知an=2n(2n+1).求证: ? ? a1 a2 1 1 ? ? an 3
6 ? bn ? 5

1 b1 ? b2 ? 2. 已知bn ? n ? n ,求证: 2 ?2
1 1 ? 2 ? 3. 求证: 2 2 ? ( ?1) 2 ? ( ?1)

1 3 ? n ? n 2 ? ( ?1) 2

4. 2010年广东文科第21题(3) 已知m、k、s是给定的正整数,求证:

?
n ?1

s

m ?1 k ?1 ? ? 4n 4n

ms ? ks


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