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常熟市浒浦高级中学高二数学周练二


常熟市浒浦高级中学高二数学周练二
考试范围:必修 2、圆锥曲线;考试时间:90 分钟; 2013-12-08 姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、填空题(每小题 5 分) 1.抛物线 x2 ? 4 y 的焦点坐标是______________. 2. 若直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? m 相切

,则 m 为______________.
2 2

3. 若椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围为______________. 1? k 2 ? k
2

4. 抛物线 y ? ax 的准线方程为 y ? 1 ,则焦点坐标是______________. 5. 双曲线的两准线间的距离是焦距的

4 ,则双曲线的离心率为______________. 5

y2 6. 双曲线 x2- 4 =1 的渐近线被圆 x2+y2-6x-2y+1=0 所截得的弦长为______________. 7. 若圆 x2+y2=4 和圆 x2+y2+4x-4y+4=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为______________. 8 . 过 点 A(a, a) 可 作 圆 x ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 3 ? 0 的 两 条 切 线 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为
2 2 2

______________.

2 2 9.直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O: x ? y ? 1交于 A, B 两点,且 AB = 3 ,则 OA ? OB ? ________.

??? ??? ? ?

2 10.若直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则 b 的取值范围是______________.

11. 已知 F1、F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,B,C 分别为椭圆的上、下顶点, a 2 b2

直线 BF2 与椭圆的另一个交点为 D,若 cos ?F1 BF2 ? 12. 已知 椭圆

7 ,则直线 CD 的斜率为______________. 25

x2 y 2 若椭圆上存在点 P , PF1 是 使 ? ? 1(a ? b ? 0) ,F1 , F2 是左右 焦点,l 是右准线, a 2 b2

P 到直线 l 的距离的 2 倍,则椭圆离心率的取值范围是______________.

二、解答题 13. (9 分)已知圆心为 C 的圆经过三个点 O(0,0) , A(?2, 4) , B(1,1) . (1)求圆 C 的方程;

4 (2)若直线 l 的斜率为 ? ,且直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4,求直线 l 的方程. 3

14. 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, E 、 F 分别为 PC 、 BD 的 (9 中点,侧面 PAD ? 底面ABCD ,且 PA ? PD ? (1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)求三棱锥 C ? PBD 的体积.

2 AD . 2

P E D F A B C

15. (12 分)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 1) 的焦距为 2c ,直线 l 过点 (b, 和 (0, c) . 0) a 2 b2

(1) 若 b ? 2, c ? 3 ,求此椭圆的准线方程; (2) 若点 (1, 到直线 l 的距离与点 (?1 0) 到直线 l 的距离之和为 s ? 0) , 范围.

4 a ,求椭圆的离心率 e 的取值 5

16. (15 分)已知点 Q( x, y ) 位于直线 x ? ?3 右侧,且到点 F (?1,0) 与到直线 x ? ?3 的距离之和等于 4. (1)求动点 Q( x, y ) 的坐标之间满足的关系式,并化简且指出横坐标 x 的范围; (2)设(1)中的关系式表示的曲线为 C,若直线 l 过点 M (1,0) 且交曲线 C 于不同的两点 A、B,①

??? 1 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? 求直线 l 的斜率的取值范围,②若点 P 满足 FP ? ( FA ? FB) ,且 EP ? AB ? 0 ,其中点 E 的坐 2 Q y l 标为 ( x0 ,0) ,试求 x0 的取值范围。

-3

F

O M x

17. (15 分)已知椭圆

x2 y 2 ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b 2 O : 2 a b

两条切线,切点分别为 A, B . (1) (ⅰ)若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e 的值; (ⅱ)若椭圆上存在点 P ,使得 ?APB ? 900 ,求椭圆离心率 e 的取值范围; (2)设直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M , N ,问当点 P 在椭圆上运动时, 为定值?请证明你的结论.

a2 b2 是否 ? ON 2 OM 2

参考答案 1.

? 0,1?
1 2

2. 2 3. (?2,? ) 4. (0,?1)

5.

5 2

6. 4 7. y=-x 8. a ? ?3 或 9. ?

1? a ?

3 2

1 2

10. (?1,1] ? {? 2} 11.

12 25
[ ?3 ? 17 ,1) 2

12.

13. 解: (1)设圆 C 的一般方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,因为点 O, A, B 在所求的圆上,故有

? F ? 0, ? ? ?2 D ? 4 E ? F ? 20 ? 0, ? D ? E ? F ? 2 ? 0. ? ? D ? 2, ? 解得 ? E ? ?4, ? F ? 0. ?

…………………………4 分

故所求圆的方程是 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 . …………7 分

(2)由(1)圆 C 的标准方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ,所以圆 C 的圆心为(-1,2),半径为 5, ………………………………………………9 分
2

记圆心 C 到直线 l 的距离为 d ,则 4 ? 2 5 ? d ,即 d ? 1 。 设 l 的直线方程为 4 x ? 3 y ? m ? 0 ,则 d ? 即 | m ? 2 |? 5 ,所以 m ? ?7 或 3,

…………11 分

?4 ? 6 ? m 42 ? 32

? 1 , ………………12 分

所以 l 的直线方程为 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 . 故在△ CPA 中, EF / / PA , 且 PA ? 平面 PAD, EF ? 平面 PAD,∴ EF ∥平面 PAD (2)取 AD 的中点 M,连结 PM ,? PA ? PD ,? PM ? AD

………………14 分

14. 解: (1)证明:连结 AC ,则 F 是 AC 的中点, E 为 PC 的中点

又平面 PAD ⊥平面 ABCD , 平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ,

? PM ? 平面ABCD ,

1 1 1 1 a3 ?VC ? PBD ? VP ? BCD ? S?BCD ? PM ? ? a ? a ? a ? 3 3 2 2 12
15. 解:(1)? b ? 2, c ? 3 ? a ? b ? c ? 13 ,所以椭圆的准线方程为 x ? ?
2 2 2

a2 13 ?? . c 3

(2)直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 cx ? by ? bc ? 0 , b c
c(b ? 1) c2 ? b2


由点到直线的距离公式,且 b ? 1,得点 (1, 到 l 的距离 d1 ? 0)

同理得点 (?1 0) 到 l 的距离 d 2 ? ,

c(b ? 1) c2 ? b2





? 0 ? e ? 1 ,?e 的取值范围是

5 2 5 ≤e≤ . 5 5

16. 解: (1)设点 Q( x, y)( x ? ?3) ,由题意得 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,-------------2 分 化简得 y ? ?4 x
2

-----------------------------------4 分

x ? (?3,0]

------------------------------------------------------------------6 分

(2)①由题意可直线 l 的斜率 k 存在且不为 0,故可设方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y 2 ? ?4 x 2 2 2 2 由? 得, k x ? (4 ? 2k ) x ? k ? 0 , x ? (?3,0] , ? y ? k ( x ? 1)
由 ? ? 0 ,得 k <1,
2

---------------------------------8 分

? f ( ?3) ? 0 ? f ( 0) ? 0 3 ? 2 2 2 2 2 由 x ? (?3,0] ,令 f ( x) ? k x ? (4 ? 2k ) x ? k ,得 ? ,即 k ? , 2 4 ?? 3 ? k ? 2 ? 0 ? k2 ?


3 ? k2 ?1 4

-------------------------------------------12 分

②由 FP ?

1 k2 ?2 2 ( FA ? FB) 可知,点 P 为线段 AB 的中点,∴ P( 2 ,? ) . 2 k k

由 EP ? AB ? 0 可知,EP⊥AB,
2 2 k ∴ ? k ? ?1 ,整理得, x0 ? ? 2 ? 1 -------------------------14 分 k k2 ?2 x0 ? 2 k

11 ,?3) ------- ---------------------------------------16 分 3 17. 解 : 1 ) ⅰ ) ∵ 圆 O 过 椭 圆 的 焦 点 , 圆 O : ( (
∴x0 的取值范围是 (?

x 2 ? y 2 ? b 2 ,∴ b ? c ,
∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? c 2 , a 2 ? 2c 2 ,∴ e ? (ⅱ) ?APB ? 90? 及圆的性质, 由 可得 OP ? ∴ OP ? 2b ? a , ∴ a 2 ? 2c 2
2 2 2

2 . 2

2b ,

∴ e2 ?

2 1 , ? e ? 1. 2 2

(2)设 0 P ? x0 , y0 ? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

y0 ? y1 x ? ? 1 , 整理得 x0 x ? y0 y ? x12 ? y12 x0 ? x1 y1
? x12 ? y12 ? b 2 ∴ PA 方程为: x1 x0 ? y1 y0 ? b 2 ,

PB 方程为: x2 x0 ? y2 y0 ? b 2 .
从而直线 AB 的方程为: x0 x ? y0 y ? b 2 .令 x ? 0 ,得 ON ? y ?

b2 ,令 y ? 0 ,得 y0

OM ? x ?

2 2 a 2 y0 ? b 2 x0 a 2b 2 a 2 a2 b2 a2 b2 b2 ,∴ 为定值,定值是 ? ? ? 4 ? 2 ,∴ ? ON 2 OM 2 b4 b b ON 2 OM 2 x0

a2 . b2


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