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第三章 3.1不等式的性质


§ 3.1
1.两个实数比较大小的方法

不等关系与不等式

a-b>0?a > b ? ? (1)作差法?a-b=0?a = b ? ?a-b<0?a < b

? ?a (a, b∈R); (2)作商法?b=1?a = b ? <1?a < b ?a b

a >1?a > b b

(a∈R, b>0).

2.不等式的性质 (1)对称性: (2)传递性 (3)可加性 (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方 (6)可开方

【题型分类 深度剖析】
题型一 不等式性质的应用 例1 (1) (2012· 湖南)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有的正确结论的序号是 A.① B.①② C.②③ D.①②③ ( )

α+β α-β π π (2)已知- <α<β< ,求 , 的取值范围. 2 2 2 2

(3)已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是________.(答案用区间表示)

[变式练习 1](1)设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是 1 1 A. > a b C.|a|>-b 1 1 B. > a-b a D. -a> -b

(

)

(2)设 f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围.

x2 x3 (3)设 x,y 为实数,满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 4的最大值是________. y y

题型二 比较大小问题 例2 (1)设 a>b>c>0,x= a2+?b+c?2,y= b2+?c+a?2,z= c2+?a+b?2,则 x,y,z 的

大小关系是________________________________. 1 (2)已知 f(n)= n2+1-n,g(n)=n- n2-1,φ(n)= (n∈N*,n>2),则 f(n),g(n),φ(n)的大 2n 小关系是________________________________________________________________.

变式练习 2:已知 a,b 是正实数,求证:

a b + ≥ a+ b. b a

题型三 不等式与函数、方程的综合问题 例 3 已 知 f(x) 是 定 义 在 ( - ∞ , 4] 上 的 减 函 数 , 是 否 存 在 实 数 m , 使 得 f(m - sin

7 2 ? x)≤f? 求出实数 m 的取值 ? 1+2m-4+cos x?对定义域内的一切实数 x 均成立?若存在, 范围;若不存在,请说明理由.

2 1 变式练习 3:已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y ____________.


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