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高中数学专题讲义(1)


【易错题】
1.(教 L1 例 2)用列举法表示 A ? ? x x ? N ,

? ?

? 6 ? Z ? ? _________ ?0,1,2,4,5,6,9? 3? x ?

提醒学生审题的规范,审题要慢,答题要快,草稿纸的合理利用以及答题的规范:取值集 合一定要加大括号,定义域和值域,角度和弧度不能

混用 2.(教 L2 基 7)集合 M ? x 0 ? ax ? 1 ? 3 , N ? x - 1 ? x ? 4 ,若 M ? N ? N ,则 实数 a 的取值范围是_____________ 分类讨论的意识要加强
2 2 3.(教 L2 例 3)已知集合 A ? x x - mx ? m - 7 ? 0 , B ? x x 2 - 3x ? 2 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

C ? x x 2 ? 4 x - 5 ? 0 满足 A ? B ? ? 且 A ? C ? ? , 则实数 m ? _____ - 1 检验意识
4. (2011 届高三苏州期末考试 19 题改编) 不等式

?

?

1 1 ? 的解集为______ m 4

?- ?,0? ? ?4,???

5.(教 L3 基 6 改编)命题“ ?x ? 1, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定为____________

k ? 2x 6. (教 L3 基 8 改编) 函数 g ( x) ? 为奇函数, 则实数 k 的取值集合为______ ?? 1,1? 1? k ? 2x
7.(同心圆梦 3)满足 A ? B ? ? 1,2?的集合 A, B 共_________组 变式: 满足 A1 ? A2 ? A3 ? ??? An ? ?a1 , a2 , a3 ,?, ak ?(n ? N * ) 的集合 A1 , A2 ,?, An 共有________组 8.(教 L3 白皮书 7)在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的_________条件; (充要) 在 ?ABC 中, A ? B 是 cos A ? cos B 的________条件; (充要) 在 ?ABC 中, sin A ? cos B 是 ?ABC 为锐角三角形的____________条件(必要不充分)

【专题研究、方法梳理】
专题 1:整数型(整除性)问题研究 类型 1:方程型的整数型(整除性)问题 引例 1:已知二项式

?

5

x ? 1 ,其中 n ? N ,且 3 ? n ? 2012 ,在其二项展开式中,若存 x

?

n

1

在连续三项的二项式 系数成等差数列,问这样的 n 共有多少个? ...
k ?1 k k ?1 解 : 连 续 三 项 的 二 项 式 系 数 分 别 为 Cn 、 Cn 、 Cn ( 1 ? k ? n ?1 ) ,由题意 k k ?1 k ?1 ,依组合数的定义展开并整理得 n 2 ? (4k ? 1)n ? 4k 2 ? 2 ? 0 ,故 2Cn ? Cn ? Cn

n1, 2 ?

4k ? 1 ? 8k ? 9 2 , 则 8k ? 9 ? (2m ? 1) 2 ? 2k ? m ? m ? 2 , 代 入 整 理 得 2

n1 ? (m ? 1) 2 ? 2 ,n2 ? m 2 ? 2 ,? 442 ? 1936,452 ? 2025,故 n 的取值为 44 2 ? 2 ,
432 ? 2 ,…, 32 ? 2 ,共 42 个(将所求参数求出,根据整数性质加以研究,尽量出现分
式、根式等形式) 引例 2:已知 Tn ?

1 1 (1 ? ) ,问是否存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm, 3 3n ? 1

Tn 成等比数列?若存在,求出 m,n 的值,若不存在,说明理由? 解:∴Tn ?

1 1 1 n 1 m n (1 ? )? Tn ? ∴T1 ? , Tm ? , Tn ? 3n ? 1 3 3n ? 1 3 3n ? 1 4 3m ? 1 m 2 1 n 1 2 ? 2 ? ) ? ? ,所以 m ? ?1 2 ,1 ? 2? 3m ? 1 4 3n ? 1 12 3 ? 3 ?

∵T1 , Tm , Tn 成等比数列.∴ (

又∵m 为正整数且 m ? 2 ,∴m ? 2 ,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列 类型 2:不等型的整数型(整除性)问题 引例 3:已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 2
n?2

, S n 是其前 n 项的和,问是否存在正整数

m, n ,使得

Sn ? m 2m 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 ?m, n? ;若 ? Sn?1 ? m 2m ? 1

不存在,请说明理由

解: Sn ?

2(1 ?

1 1 ) 4(1 ? n ) ? m m n S ? m 2 1 2m 2 ? 4(1 ? ) ,由 n 2 ?1 ? ,得 ? m 1 1 Sn ?1 ? m 2m ? 1 2n 1? 4(1 ? n +1 ) ? m 2 ? 1 2 2

当 m ? 4 时,分母小于 0 恒成立,化简可知不等式不可能成立,又因为 m 是正整数,故

m ? 1,2,3 当 m ? 1 时 , 由 (?) 得 , 2 ? 2n ? 3 ? 8, 所 以 n ? 1 ; 当 m ? 2 时 , 由 (?) 得 ,
1

2

2 ? 2n ? 2 ? 12 ,所以 n ? 1 或 2 ;当 m ? 3 时,由 (?) 得, 2 ? 2n ? 20 ,所以 n ? 2 或 3 或 4 ,

综上可知,存在符合条件的所有有序实数对 ( m, n) 为: (1,1),(2,1),(2, 2),(3, 2),(3,3),(3, 4) . 练习: 1: 设 a , b 均为大于 1 的自然数, 函数 f ( x) ? a(b ? sin x), g ( x) ? b ? cos x , 若存在实数 m 使得 f (m) ? g (m) ,则 a ? b ? _____ a ? b ? 2 (根据函数值域进行夹逼) 2: 各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d > 0)的等差数列, 后三项依次成公比为 q 的等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合为 ▲

,8 ?5 3 7?

3:已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,等比数列 {bn } 的公比 q 为小于 1 的正有理数。若
2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于 a1 ? d , b1 ? d ,且 b1 ? b2 ? b3

2



.答案:

1 2

只能为 8

4: 函数 f ( x) ? ax ? 2(a ? 3) x ? a ? 2 中, a 为负整数,则使函数至少有一个整数零点的
2

所有的 a 值的和为______________ 整数型问题:-14 5. m∈N,若函数 f ( x) ? 2x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点,则 m 的取值集合为 ____ 解 当 x∈Z,且 x≤10 时, m 10 ? x ∈Z.若 m=0,则 x= -5 为函数 f(x)的整数零点.
2 x ? 10 10 ? x ? 1

若 m≠0,则令 f(x)=0,得 m= {1,6,9,10},此时 m∈{3,

∈N.注意到-5≤x≤10,且 10 ? x ∈N,得 x∈

22 ,14,30}.故 m 的取值集合为{0,3,14,30}. 3

5: 对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? , 定义 ? ? ?

? ?? b . 若两个非零的平面向量 a , ? ??

满足 a 与 b 的夹角 ? ? ?

?n ? ?? ? ? , ? ,且 a b 和 b a 都在集合 ?   n ? Z  ? 中,则 a b ? __0.5 2 ?4 2? ? ?

专题 2:集合与不等式恒成立问题研究 引例:已知集合 A ? x|x2 ? 5x ? 4 ≤0 ,集合 B ? x | x2 ? 2ax ? a ? 2 ≤0

?

?

?

?
2

3

(1)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (1)转化为根的分布问题,答案为 ? - 1 , ? (2)转化为不等式恒成立问题 7

? ?

18? ?

总结:不等式恒成立问题的相关转换策略,请分析下列恒成立的等价条件: 1. f ( x ) = a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 ab ? 0,有 f ( x) ? f ( ) 对一切 x ? R 恒成立

?

6

2. 函数 f ( x) ? 2 sin(

?
2

x?

?
5

) ,对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立

3. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 ( a ? 1 ) ,若 f ( x) 在区间 ?? ?, 的 x1 , x2 ? ?1, a ? 1?,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 4. 已知函数 f ( x) ? x ? 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 9

2? 上是减函数,且对任意

1 ?1 ? ? a 2 , g ( x) ? x 3 ? a 3 ? 2a ? 1 , 若存在 x1 , x2 ? ? , a ?(a. ? 1) , x ?a ?

1 5. 已知 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( ) x ? m ,若对 ? x1 ? ? ?1,3? , ? x2 ? ?0, 2? , f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 2
6. 函 数 f ?x? ? x 2 ? 4x ? 3, g ?x? ? mx ? 5 ? 2m , 若 对 任 意 的 x1 ? ?1,4? , 总 存 在

x2 ? ?1,4?,使 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立
7. 上题中的条件改为“若存在 x1 ? ?1,4? ,总存在 x 2 ? ?1,4?,使 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立” 练习: 1:已知函数 f ( x ) ?

4x ? k ? 2x ? 1 ,若对于任意的 x1、x2、x3 ,均存在以 4x ? 2x ? 1

f ( x1 )、f ( x2 )、f ( x3 ) 为三边长的三角形,求实数 k 的取值范围.
2. 函数 f ( x) 定义在区间[a, b]上,设“ min? f ( x) | x ? D? ”表示函数 f ( x) 在集合 D 上的最小 值 ,“ max ? f ( x) | x ? D? ” 表 示 函 数 f ( x) 在 集 合 D 上 的 最 大 值 . 现 设

? f (t ) | a ? t ? x? ,( x ? [a, b] ); f 2 ( x) ? max ? f (t ) | a ? t ? x? ,( x ? [a, b] ). f 1 ( x) ? m i n
若存在最小正整数 k, 使得 f 2 ( x) ? f 1 ( x) ? k ( x ? a) 对任意的 x ? [a, b] 成立, 则称函数 f ( x) 为
3

4

区间 [ a, b] 上的“第 k 类压缩函数” . (Ⅰ)若函数 f ( x) ? x3 ? 2x 2 ? 3 , x ? [0,2] ,试写出 f 1 ( x) 、 f 2 ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 m>0,函数 g ( x) ? x 3 ? 3mx2 是 ?0,3m ? 上的“第 3 类压缩函数” ,求实数 m 的取值范 围.
4 4 4 (Ⅰ) 由于 f ?( x) ? 3x 2 ? 4 x = 3x(x ? ) , 故 f ( x) 在 [0, ] 上单调递减, 在[ , 2] 上单调递增. 3 3 3
4 ? 3 2 ? x ? 2 x ? 3,0 ? x ? 3 ∴ f ( x) 的最大值为 max ? f (0), f (2)?=3 f 1 ( x) ? ? , 49 4 ? , ?x?2 3 ? 27

f 2 ( x) ? 3 ,

(Ⅱ)由于 g ?( x) ? 3x 2 ? 6mx ? 3x( x ? 2m) ,故 g ( x) 在 [0,2 m ] 上单调递减,在 [ 2m,3m ] 上单调 递增,∵ g (0) ? 0 , g (3m) ? 0 , g (2m) ? 8m 3 ? 12m 3 ? ?4m 3 ,
? ? x 3 ? 3mx2 ,0 ? x ? 2m g 1 ( x) ? ? 3 ? 2m ? x ? 3m ?? 4m ,
g 2 ( x) ? 0

? ?? x 3 ? 3mx2 ,0 ? x ? 2m . 正整数 k g 2 ( x) ? g1 ( x) ? k ( x ? 0) 对 x∈ ?0,3m ? 恒成立, g 2 ( x) ? g 1 ( x) ? ? 3 ? 2m ? x ? 3m ? 4m ,

∴当 x=0 时, k ? N? 均成立;当 0 ? x ? 2m 时, k ? 而

g 2 ( x) ? g 1 ( x ) 恒成立, x

g 2 ( x) ? g1 ( x) 9 3 9 9 从而有 k ? m 2 ; 当 2m ? x ? 3m 时, ? ? x 2 ? 3mx ? ?( x ? m) 2 ? m 2 ? m 2 , 4 x 2 4 4
g ( x ) ? g 1 ( x ) 4m 3 g 2 ( x) ? g 1 ( x ) 9 ? ? 2m 2 ,从而有 k ? 2m 2 ;∴ k ? m 2 ,∵ 恒成立,而 2 x x 4 x

k?

函 数 g ( x) ? ? x 3 ? 2mx2 是 ?0,3m ? 上 的 “ 第 3 类 压 缩 函 数 ” ,∴ 2 ?
2 2 2 3 ?m? 3 3

9 2 m ? 3 ∵ m>0 ∴ 4

专题 3:一类集合交集非空问题研究 例: (教 L2 例 4) 已知集合 A ? ? x y ? 1 ?

? ? ? ?

2x ? 1 ? ? B ? ?x [ x ? (a ? 1)][x ? (a ? 4)] ? 0? ?, x ?1 ? ?

若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是___________

?? 5,?1?

4

5

链接: (2011 年江苏高考 14)设集合 A ? ?( x, y) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R? , 2

B ? ?( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1 , x, y ? R? ,若 A B ? ? ,实数 m 范围是_________
| ( x ? 1) ? y ? } , B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 变式: 设集 A ? {( x, y)
2 2

1 9

若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是___________. ?-

?

2 3? 2? , ? 6 ? ? 6

(考虑圆夹在两条平行线间的情况)圆心满足不等式或圆与两条中的一条有公共点 优化方法:求出斜率为-1 且和圆相切的两直线的纵截距分别为 1 -

2 2 和1 ? ,而后分 3 3

析:其充要条件是位于下方的直线的纵截距不大于 1 ?

2 ,位于上方的直线的纵截距不 3

小于 1 -

2 ,即得答案 3

专题 4:数列中取公共元素成新数列问题研究 引例 1:两个集合 A ? ??3,0,3,6,

, a100? 和 B ? ?15,19,23,27,

, b100? 都各有 100 个元

素,且每个集合中元素从小到大都组成等差数列,则集合 A 规律结论:若两等差数列公差分别为 d1 , d 2 ,则 A

B 中元素的最大值为 291

B 数列的公差为两者的最小公倍数

引例 2:设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,已知 S3=9,S6=36. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 m、k,使 am,am+5,ak 成等比数列?若存在,求出 m 和 k 的值,若 不存在,说明理 由; (3)设数列{bn}的通项公式为 bn=3n-2.集合 A={x∣ x=an,n∈ N*},B={x∣ x=bn, n∈ N*}.将集合 A∪ B 中的元素从小到大依次排列,构成数列 c1,c2,c3 , …,求{cn}的通 项公式.

5

6

解: ( 1 )设等差数列 ?an ? 的公差是 d ,由 S 3 ? 9 和 S 6 ? 36 ,得 ?

? 3a1 ? 3d ? 9 得 ?6a1 ? 15d ? 36

a1 ? 1, d ? 2 , an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1
(2) am , am?5 , ak 成等比数列等价于 (2m ? 1)(2k ? 1) ? (2m ? 9) 2 等价于 2k ? 1 ?

(2m ? 9) 2 (2m ? 1 ? 10) 2 100 ? ? 2m ? 1 ? 20 ? 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1
50 , m, k 是正整数 2m ? 1

即: k ? m ? 10 ?

所以存在正整数 m, k ,使 am , am?5 , ak 成等比数列

m 和 k 的值是 m ? 1, k ? 61 或 m ? 1, k ? 23 或 m ? 13, k ? 25 ……9 分
(3)因为 a3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 1 ? 6k ? 5 , a3k ?1 ? 2(3k ? 1) ? 1 ? 6k ? 3

a3k ? 2 ? 3k ? 1 ? 6k ? 1 ; b2k ?1 ? 3(2k ? 1) ? 2 ? 6k ? 5 ? a3k ?2 b2k ? 3 ? 2k ? 2 ? 6k ? 2 ? A
所以 a3k ?2 ? b2k ?1 ? a3k ?1 ? b2k ? a3k

k ? 1,2,3,?? ,

? ? 即:当 n ? 4k ? 3(k ? N ) 时, cn ? 6k ? 5 ;当 n ? 4k ? 2 (k ? N )

cn ? 6k ? 3 ,当 n ? 4k ? 1(k ? N ? ) 时, cn ? 6k ? 2 ,
当 n ? 4k (k ? N ) 时, cn ? 6k ? 1
?

? 3n ? 1 ?6k ? 5, n ? 4k ? 3 ? 2 , n ? 2k ? 1 ?6k ? 3, n ? 4k ? 2 ? ? 3n ? , n ? 4k ? 2 所以 ?cn ? 的通项公式是 c n ? ? 即: c n ? ? 2 6 k ? 2 , n ? 4 k ? 1 ? ? ? 3n ? 2 , n ? 4k ? ? 6k ? 1, n ? 4k ? 2 ?
专题 5:数列中隔项成等差(等比)数列问题研究 引例: (教 L4 例 2)已知数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? N ) ,求证:数列 {an }
*

6

7

为等差数列的充要条件是 a1 ? 1 拓展:若数列 {an ? an?1}为公差为 d 的等差数列,试探究数列 {an } 为等差数列的充要条 件,并加以证明. 引例:已知正项数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 2 2n?1 (n ? N * ) ,求证:数列 {an } 为等比数列的 充要条件是 a1 ? 2 . 拓展:若正项数列 {an } 满足:数列 {an ? an?1} 为公比为 q 的等比数列,试探究数列 {an } 为 等比数列的充要条件,并加以证明. 练习:数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为_____________ 专题 6:复合函数方程的根的问题研究 引例 1: (教 L4 例 4)已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? q ,集合 A ? x f ( x) ? 0, x ? R ,

?

?

B ? ?x f ( f ( x)) ? 0, x ? R?. 若 B 为单元素集,试求 q 的值.
引例 2: (2012 年江苏高考)已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个 极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. 点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,
3 2 解: 不妨令 t ? f ( x) , 则 h( x) ? ? (t ) ? t ? 3t ? c , 由 f ' ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) 易

? c ? 2 时,t ? ?1,2 , 得 f ( x) 的示意图, 且极大值极小值分别为 2,?2 , 同理可作出 h( x)
的函数图象 (和 f ( x) 函数图象相同), 当 t ? ?1 时对应 h( x) 零点 3 个, 当 t ? 2 时对应 h( x)

? c ? 2 时, h( x) 零点有 5 个; h( x) 也有零点 5 个; 零点 2 个, 同理 c ? ?2 时, 当? 2 ? c ? 2
时 t ? (?2,2) ,此时 ? (t ) 零点有 3 个,对应 h( x) 零点有 9 个。综上当 c ? ?2 时各有 5 个零 点,当 ? 2 ? c ? 2 时有 9 个零点 练习: 1. - 1 ? b ? 0 且 c ? 0 2. 0 个

7

8

?1 ? ? 1, x ? 0 , 方程 ? f ( x)?2 ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个根的充要条件是____ 1. 函数 f ( x) ? ? x ?0, x ? 0 ?
2 2 2 2. 关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

(1)存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; (2)存在实数 k ,使得方程恰有 4 个 不同的实根; (3)存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; (4)存在实数 k ,使得方 程恰有 8 个不同的实根.其中假命题的个数为__________________ 3.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,给出下列四个命题: ① 存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;② 存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同 的实根;③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根.其中真命题的序号为______▲_① ② ③ ④ ______.

专题Ⅱ 函数中相关问题的再研究
学习是一趟旅程,教师充当的是导游的角色。在旅程开始前,何导游先介绍一下本 次旅程我们要参观的景点 (相当于认知地图[Cognition-map]) ,游览前需要对我们本 次要参观的景点心中有数,游览完本专题后再回头审查这份认知地图,看看能否对 此次旅程的所有景点有较深刻的印象, 如果能做到这一点, 恭喜你, 我们不虚此行! 本专题的认知地图,游览完本景点,你应该了解: 1. 含参三次函数的最值问题如何进行分类讨论?讨论三层次是指哪三个层次? 2. 简单的复合函数、 含分式的复合函数、 含根式的复合函数的值域分别怎么求解? 3. 恒成立问题中参数范围如何进行局部缩小,以达到简化问题的效果? 4. 函数型方程(不等式)有哪些常见求解策略? 5. 常见的类非基本初等函数分别如何研究?八类函数分别是:尖底平底型函数、

f ( x) ? x ?

c 型函数、牛顿三叉函数、含绝对值的复合函数、对数与绝对值函 x

数的复合、指数与绝对值函数的复合、对数与双曲线型函数的复合、对数与二

8

9

次函数的复合? 6. 含参二次函数综合问题如何突破? 7. 高中数学中具有将指数下移功能的运算方式有哪些? 8. 函数与方程有三种等价语言可以相互转化, 是哪三种?遇到问题时该如何选取?

【易错题】
1.(教 L6 练 7)已知函数 f ( x) 的定义域为 ?a, b ? ,值域为 ?c, d ? ,则 f (?2 x ? 1) 的定义域 为___________;值域为_______________ (答案: ?

?1? b 1? a ? ; ?c, d ? ) , 2 ? ? 2 ?

2 2. (教 L6 练 8) 已知函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? x ? x 的图像关于点 ?? 2,3? 对称, 则 f ( x)

的解析式为______________ (轨迹方程)问题)

f ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6 (相关点法求函数(曲线)的解析式

1

3.(教 L7 基 8)函数 y ? x ( x ? 2) 的值域为________;函数 y ? 2 x 的值域为_________;
2

函数 y ?

xa x ( 0 ? a ? 1 )的值域为__________; y ? log2 4 ? 2 x 的值域是________ x

答案: ?0,??? ; ?0,1? ? ?1,??? ; ?? ?,?1? ? ?0,1? ; ?? ?,1? 4. (教 L8 基 6 改编) 函数 y ?

2x ? 3 ax ? 3 的单调增区间为______________; 已知函数 y ? x ?1 x ?1

在区间 ?? ?,?1? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是_________ 答案: ?? ?,?1? 和 ?? 1,???

a ? ?3 (注意使用导数方法的检验)

5.(教 L9 例 3)设 ?a, b ? 为函数 y ? f ( x) 的对称中心,则必有恒等式_________________ 根据上述结论,写出函数 f ( x) ? x ? sin(x ? 3) 的一个对称中心为________ 6.(双对称问题) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x - 4) ? - f ( x) ,且在区间 ?0,2? 上

9

10

是增函数 . 若方程 f ( x) ? m(m ? 0) 在区间 ?- 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? __________ __
?a x ?5 , x ? 6 ? 7.(教 L9 练 5)已知函数 f ( x) ? ? , 若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,则 a ?(4 ? ) x ? 4, x ? 6 2 ?
实数 a 的取值范围是__________

?7,8?

?a n ?5 , n ? 6 ? 变式 1:已知数列 ? f (n)?是单调递增数列,且通项公式为 f (n) ? ? , a ( 4 ? ) n ? 4 , n ? 6 ? 2 ?
则实数 a 的取值范围是___________

?4,8?

变式 2:已知函数 f(x)= ?

?(3a ? 1) x ? 4a ( x ? 1) 在 R 不是单 调函数 ,则实数 a 的取值范围 ... ... ( x ? 1) ? log a x



. (0, ) ? [ ,1) ? (1,??)

1 7

1 3

2 2 ? ?k x ? k (1 ? a ), x ? 0 变式 3:已知函数 f ( x) ? ? 2 ,其中 a ? R . 若对任意的非 2 2 ? x ? ( a ? 4 a ) x ? ( 3 ? a ) , x ? 0 ?

零实数 x1 ,存在唯一的非零实数 x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求 k 的取值范围. 变式 4:已知函数 f(x)= ?

?(2a ?1) x ? 3a ? 4, x ? t ,无论 t 取何值,函数 f(x)在区间(-∞,+∞) x 3 ? x, x ? t ?
. a≤

总是不单调.则 a 的取值范围是

1 2

两情形:2a ? 1 ? 0 或当 2a ? 1 ? 0 时 ?2a ? 1?t ? 3a ? 4 ? t 3 ? t 在 t ? ?

? 3 ? ,?? ? ? 上恒成立 ? 3 ?

8.(教 L12 例 3)已知函数

y ? loga (ax2 ? x) 在区间 ? 1 ,1? 上是增函数,则实数 a 的取值 ? ?2 ? ?
10

11

范围是__________

?2, ? ??

9. (教 L14 基 3)已知函数 y ? f ( x) 是定义在 ?a, b? 上的单调函数,若 f (a) f (b) ? 0 , 则函数 f ( x) 的零点个数为___________ 0 个或 1 个 10. 抽象函数虽然抽象,但总能从我们所学的基本初等函数中找到一个具体函数支撑抽象 性质,请各找出一个满足下列条件的基本初等函数: (1) f (m ? x) ? f (m ? x) _________; (2) f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) _______ (1)为二次函数; (2)为余弦函数 11.(教 L16 练 4) 已知偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? 则 f (?0,5) ? _______ ?

1 , 当 2 ? x ? 3 时,f ( x) ? x ? 1 f ( x)

2 7

12.求 F (a, b) ? (a ? b) 2 ? (e a ? eb ? b) 2 的最小值为_________(多注重对结构的认识) 变式:已知 a, b ? R 满足 (a ? 1 ? a 2 )(b ? 1 ? b2 ) ? 1, 则 a ? b 的最大值________.0; 法一: a ? 1 ? a ?
2

1 b ? 1? b
2

? 1 ? b2 ? b ,?a ? b ? 1? a2 ? 1? b2 ? 0 ,

?a ? b ?

? 0 ,? a ? b ? 0 1 ? a 2 ? 1 ? b2 1 ? a 2 ? 1 ? b2 1 2 法二: a ? 1 ? a ? ? 1 ? b2 ? b ;构造函数: f ( x) ? x ? 1 ? x2 此函数为 2 b ? 1? b 增函数,由 f (a) ? f (?b) 得 a ? ?b ,即 a ? b ? 0

a 2 ? b2

? 0 ,?

(a ? b)( 1 ? a 2 ? a ? 1 ? b 2 ? b)

【专题研究、方法梳理】
专题 1:含参三次函数的最值问题及讨论三层次研究 引例 1: (教 L6 练 9) 函数 y ? 3x (?1 ? x ? 1) 的图像上有 A, B 两点, 且 x A ? x B , AB // x
2

轴,点 C (2, m) ,其中 m ? 3 , (1)试写出用点 B 的横坐标 t 表示 ?ABC 面积 S 的函数解 析式 S ? f (t ) ; (2)记 S 的最大值为 g (m), 求 g ( m)

11

12

?2 ? m m ,3 ? m ? 9 解: (1) S ? t (m ? 3t )(0 ? t ? 1) ; (2) g (m) ? ? 9 ? ?m ? 3, m ? 9
2

练习:已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? bx ,且 f '(1) ? 0 2

(1)试用含有 a 的式子表示 b ; (2)求 f ( x) 的单调区间. 专题 2:几类函数的值域问题求解策略归纳 第 I 类:简单的复合函数(换元法) 引例 1: y ? 1 ? 4 ? x 2 ; y ? log2 (4 ? x 2 ) ; y ? 4 x ? 2 x ? 1 ; y ? sin 2 x ? sin x ? 1 第 II 类:带分式的复合函数(换元、部分分式法、反解(判别式法) 、公式法) 引例 2:直接写出函数 y ?

1 ? 2x 的值域为____________,曲线的对称中心为________; 1 ? 3x

若添加条件 x ? ?0,1? ,则值域为________; 直接写出下列函数的值域: y ?

1 ? 2 sin x 1? 2 x ? ?? ( x ? ?0, ?) ; y ? ( x ? ?0,1?) 1 ? 3 sin x 1? 3 x ? 2?
部分分式、换元 答案: ?? ?,?6? ? ?2,???

引例 3:求函数 y ? 变式:求函数 y ? 变式:求函数 y ?

x2 ? 3 的值域 x ?1

x ?1 的值域 x2 ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? ?? ( x ? ?0, ? )的值域(换元) sin x cos x ? 2?

5x 2 ? 8x ? 5 引例 4:求函数 y ? 的值域 x2 ?1

?1,9? (部分分式、判别式)

第 III 类:带根式的复合函数(观察、换元、平方法、三角换元) 引例 5:求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域; 思考:求一般根式函数 y ? Ax ? B ? Cx ? D ( AC ? 0) 的通法是什么?

12

13

引例 5:求函数 f ( x) ?

x ? 1 ? 1 ? 2x 的值域;

变式 1:求函数 f ( x) ? x 1 ? 2x 的值域(还可以用导数法研究) 变式 2:求函数 y ?

x ? 1 ? 3 ? x 的值域(平方法、三角换元法)

变式 3:求函数 y ? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x 2 的值域(换元) 变式 4:求函数 y ? 一般的,求函数 y ?

x ? 4 ? 15 ? 3x 的值域(三角换元) Ax ? B ? Cx ? D (其中 AC ? 0 )的值域如何研究?

第 IV 类:构造法求函数的值域问题_(拓展:多元变量的最值问题) 引例 6:求函数 f ( x) ?

x3 ? x 的值域是__________ ( x 2 ? 1) 2


变式 1:函数 f(x)=

x ? x3 的最大值与最小值的乘积是 1 ? 2 x2 ? x4
1 ?x x 1 ?x x

解法 1 当 x≠0,±1 时,f(x)=

1 ? 2 ? x2 x2

=

1 ( ? x) 2 ? 4 x

=

1 . 1 4 ( ? x) ? 1 x ?x x



1 1 1 1 >x 时,f(x)≤ ,且当 ? x =2 时,取“=” ,故 f(x)的最大值为 . x 4 4 x

1 1 又因为 f(x)为奇函数,故 f(x)的最小值为 ? .所以所求的乘积为 ? . 4 16 4 2 x ? 6x ? 1 解法 2 令 f ?( x) ? =0,得 x2= ( 2 ? 1)2 . ( x 2 ? 1)3
函数 f(x)的最大值应在 x-x3>0,即 0<x<1 或 x<-1 时取得.

1 ,下同解法 1. 4 tan ? (1 ? tan 2 ? ) 1 1 1 1 解法 3 令 x=tanθ,则 g(θ)=f(x)= = sin 4? ∈ [? , ] ,所求乘积为 ? . 2 2 (1 ? tan ? ) 4 4 4 16
所以[f(x)]max=max{f( 2 ? 1 ),f( ? 2 ? 1 )}= 变式 2:若关于 x 的方程 x4+ax3+ax2+ax+1=0 有实数根,则实数 a 的取值范围为 .

1 1 解法 1 因 x≠0,故将方程两边同除以 x3,并变形得 ( x ? )2 ? a( x ? ) ? a ? 2 =0. x x
令 g(t)= t 2 ? at ? a ? 2 ,t= x ?

1 ∈ (??, ?2] [2, ??) . x
13

14

原方程有实数根,等价于函数 g(t)有零点. 因 g(-1)= -1,故函数 g(t)有零点,只须 g(-2)≤0 或 g(2)≤0.

2 2 解 g(-2)≤0, 得 a≥2; 解 g(2)≤0, 得 a≤ ? . 所以, 实数 a 的取值范围为 (??, ? ] [2, ??) . 3 3 1 3 解法 2 易知 x=0 不是方程的根,故 x3+x2+x= x(( x ? )2 ? ) ≠0. 2 4
1 1 x2 ? 2 2 ? ( x ? )2 x4 ? 1 x x = 1 ? t ? 2 ∈ (??, ? 2 ] [2, ??) , 其 中 所 以 , a= ? 3 =? = 2 1 1 t 3 x ?x ?x x ?1? x ? ?1 x x

1 ? 1 ∈ (??, ?1] [3, ??) . x (1 ? x 2 )( x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 2 x ? 1) x4 ? 1 ? a ? 解法 3 接解法 2,a= ? 3 ,于是 . ( x3 ? x 2 ? x)2 x ? x2 ? x
t= x ? 因 x4 ? 2 x3 ? 4 x2 ? 2 x ? 1 =x2(x+1)2+(x+1)2+2x2>0,故由 a ? ? 0 可解得 x=1 或-1.

2 2 当 x>0 时,a<0,且当 x=1 时,a 取极大值 ? ,故此时 a≤ ? ; 3 3
当 x<0 时,a>0,且当 x= -1 时,a 取极小值 2,故此时 a≥2.

2 综上,实数 a 的取值范围为 (??, ? ] [2, ??) . 3
注 异曲同工之妙,它们都出现了 x,x2,x3,x4,经换元后,分别得到了只关于整体变量

x?

1 1 及 x ? 的表达式,进而一举解决了问题. x x

练习 1 :设实数 n ? 6 ,若不等式 2 xm ? (2 ? x)n ? 8 ? 0 对任意 x ? ?? 4,2? 都成立,则

m4 ? n4 的最小值为 m3n
2:已知点 P( x, y ) 到原点的距离为 1,则

x? y?2 的最大值为____________ x? y?2 x? y?2 可视为点 ?x ? y, x ? y ? 与点 (?2,2) x? y?2
2 2

首先 P 点的运动轨迹方程为 x ? y ? 1 ,
2 2

的连线斜率;而 ?x ? y, x ? y ? 的运动轨迹为圆 x ? y ? 2 ,易得最大值为 3 - 2 3: F (a, ? ) ?

a 2 ? 2a sin ? ? 2 ,对于任意实数 a, ? , F (a,? ) 的最大值为__________ a 2 ? 2a cos? ? 2
14

15

4 : 已 知 关 于 x 的 实 系 数 一 元 二 次 不 等 式 a x2 ? b x 的解集为 R ,则 ?≥ c0 ( a ? ) b
M ? a ? 2b ? 4c 的最小值是 b?a

.8

b c 1 ? 2( ) ? 4( ) a a (消元思想) 解析:分子分母同时除以 a ,变形为 M ? (其中条件为 b ( ) ?1 a

? b 2 ? 4ac ? 0 b ? ) ,而后转化为 的函数,易求得最小值为 8 ?a ? 0 a ?
专题 3:恒成立问题中参数范围的局部缩小策略 引例 1: (教 L7 例 4)若函数 f ( x) ? a ?

1 的定义域与值域均为区间 ?m, n ? ( m ? n ) , x

求实数 a 的取值范围.(局部缩小策略,将问题的研究缩小到正实数区间和负实数区间两种 情况里,对于每种情况采用不同的处理方法;答案: ?0?? ?2, ? ?? ) 引例 2: 已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x)ex , 其中 e 是自然数的底数,a ? R .若 f ( x ) 在 ?? 1,1? 上 是单调增函数,则 a 的取值范围为____________ 练习 1:设 a∈ R,若 x > 0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a=_______ 2: f ( x) ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立,则 a =
3

1 1 3:设 f(x)奇函数,当 x ≥ 0 时, f(x)=2x-x 2,若函数 f(x)(x∈ [a,b])的值域为[ , ],则 b b a

的最小值为_________ ,实数 a 的取值集合为___________

? ?1? 5 ? ?1, ? 2 ? -1; ?

局部缩小:首先 a,b 异号,一定不成立;则 a,b 同号,要求最小值,则只考虑小于 0 情形 专题 4:函数型方程(不等式)的常见求解策略
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 2 引例 1: (天津高考) 已知函数 f ( x) ? ? , 若 f ( 2 ? a ) ? f ( a) , 则实数 a 的 2 ? ?2 x ? x , x ? 0

取值范围是_______________ ?? 2,1?
15

16

引例 2: 实数 a ? 0 , 函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a, x ? 1 , 若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) , 则a= ?? x ? 2a, x ? 1

?

3 4

?x2+1,x?0 练习 1:函数 f(x)=? ,则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的范围是______ (-1, 2-1) ?1 ,x<0

1 ? a?? ?a ? 2, 2 ? 1 2 1 ? 1 2:已知 g (a) ? ?? a ? , ? ? a ? ? ,试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a 2a 2 2 ? ? 2 a?? ? 2 2 ? 1 1 1 1 解:情形 1:当 a ? ?2时, ? ? , 此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? 2. a 2 a a
由2?

1 2 ? 2 解得 a ? ?1 ? , 与a ? ?2 矛盾 a 2

情形 2:当 2 ? a ? ? 2时, ?

2 1 1 ? ? ? ,此时 g (a) ? ? 2 , 2 a 2

1 1 a 1 a g ( ) ? ? ? ,由 2 ? ? ? 解得 a ? ? 2 , 与a ? ? 2 矛盾。 a a 2 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

1 2 1 2 ,此时 g (a ) ? 2 ? g ( ) 时,- 2 ? ? ? a 2 a 2

所以 ? 2 ? a ? ?

2 2

情形 4:当 ?

1 2 1 1 ? ?a ? ? 时,-2 ? ? ? 2 ,此时 g (a ) ? ? a ? 2a 2 2 a

1 1 2 2 矛盾。 g ( ) ? 2 ,由 ? a ? ? 2解得a ? ? , 与a ? ? a 2a 2 2
1 1 1 ? a ? 0时, ? ?2 ,此时 g (a ) ? a ? 2, g ( ) ? 2 2 a a 1 由 a ? 2 ? 2解得 a ? 2 ? 2, 与a ? ? 矛盾。 2 1 1 1 情形 6:当 a>0 时, ? 0 ,此时 g ( a ) ? a ? 2, g ( ) ? ? 2 a a a
情形 5:当 ?
16

17

由a ? 2 ?

1 ? 2解得 a ? ?1,由a ? 0知a ? 1 a 1 a

综上知,满足 g ( a ) ? g ( ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ?

2 或a ? 1 2

解法二:数形结合也可易得答案: ? 2 ? a ? ?

2 或a ? 1 2

3: 函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 , 则满足不等式 f (2a ? 3) ? f (2 ? a) 的 a 的取值范围是____ 2 , x ? 0 ?
?5 ?3 ? ?

答案: ?1, ? ? ? ,?? ?

? 3? ? 2?

专题 5:八类常见非基本初等函数的研究 函数模型一:尖底平底型函数

f ( x) ? x ? a1 ? x ? a2 ? ??? x ? an (a1 ? a2 ? ?? ? an ) (且 ?an ? 是等差数列)
它的图像是什么?一定是轴对称图像吗?若是,对称轴是什么?最小值何时取得? 引例 1:函数 f ( x) ?

? x ? n 的最小值为__________
i ?1

19

引例 2:设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 a 的值为________ 练习: f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2011 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2011 ( x ? R) , 且 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则满足条件的所有整数 a 的和是__________
2

下列命题中真命题的序号是

_. (1) f ( x ) 是偶函数;

(2) f ( x ) 在 ? 0, ??? 上是增函数; (3)不等式 f ( x) ? 2010 ? 2011 的解集为 ? ; (4)方程 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ?1) 有无数个实数解
2

拓展:已知函数 f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+?+|100x-1|,则当 x=

时,f(x)取得最小值.

17

18



1 1 1 f(x)= | x ? 1| ? | x ? | ? | x ? | ? | x ? | ? 2 2 3 1项
2项 3项

1 ?| x? |? 3

?| x?

1 |? 100

?| x?

1 |, 100

100 项

f(x)共表示为 5050 项的和,其最中间两项均为 | x ? x=

1 |. 71

1 1 1 ,同时使第 1 项|x-1|与第 5050 项 | x ? | 的和, 第 2 项 | x ? | 与 第 5049 项 71 100 2 1 第 3 项与第 5048 项的和, ?, 第 2525 项与第 2526 项的和, 取得最小值. 故 | 的和, 100 1 . 71

|x?

所求的 x 为 注

1.一般地,设 a1≤a2≤a3≤?≤an(n∈N*),f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+?+|x-an|.
2 2 2 ?1

若 n 为奇数,当 x= a1? n 时,f(x)取最小值;若 n 为偶数,则 x∈ [an , an ] 时,f(x)取最小值. 函数模型二: f ( x) ? x ? 函数 f ( x) ? x ?

c 型函数 x

c 的图像和性质如何研究? x c 引例:函数 f ( x) ? x ? 的定义域是 ?0, ? ?? ,若对任意的 x ? N * ,都有 f ( x) ? f (2) , x
则实数 c 的取值范围是__________ ?2,6? a 练习:已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈ R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围是______ e 函数模型三:牛顿三叉曲线 在数学史上, y ? x ?
2

a (a ? 0) 成为牛顿三叉曲线.运用数学方法,总结“牛顿三叉”函数 x a 在 ?2,??? 上为增函数,则 a 的取值范围为 x

的图像和性质 练习:1:已知函数 f ( x ) ? x ?
2

变式:若条件改为①?? ?,?2?上为减;②?? 2,0? 上为增;③(0,2) 上为减,结论分别如何? 2:已知二次函数 y ? f1 ( x) 的图像以原点为顶点,且过点(1,1) ,反比例函数 y ? f 2 ( x) 的图像与 y ? x 的两个交点间的距离为 8, f ( x) ? f ( x1 ) ? f 2 ( x) 。试判断当 a ? 3 时,关 于 x 的方程 f ( x) ? f (a) 的实数解的个数为
18

19

函数模型四:仅含绝对值的复合函数 引例 1:已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,请说明理由; (2)求函数 f ( x) 在区间 ?1,2? 上的最小值; (3)设 a ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m, n 的取 值范围. (只要写出结果,不需要写出解题过程) 解: (1) 当 a ? 0 时, f ( x) ? x x , 则 f ( x) 为奇函数; 当a ? 0 ? f (? x) ? ? x x ? ? f ( x) , 时, f ( x) ? x x ? a , f (a) ? 0, f (?a) ? ?2a a ,∵a ? 0

f (?a) ? f (a) ,且 f (?a) ? ? f (a) ,则 f ( x) 既不是奇函数又不是偶函数.
(2)① 当 1 ? a ? 2 时, f ( x) ? 0, 且当 x ? a 时,有 f (a) ? 0, ∴ f ( x) min ? 0 ;
2 ② 当 a ? 1 时, f ( x) ? x( x ? a) ? x ? ax ? ( x ?

a 2 a2 ) ? , x ? ?1,2? , 2 4

对称轴 x ?

a ? 1 , f ( x) 在 ?1,2? 增,∴ f ( x) min ? f (1) ? 1 ? a ; 2

2 ③ 当 a ? 2 时, f ( x) ? x(a ? x) ? ? x ? ax ? ?( x ?

a 2 a2 ) ? , x ? ?1,2? 2 4

对称轴 x ?

a , 若 2 ? a ? 3, f ( x)nm ? f (2) ? 2a ? 4 ,若 a ? 3, f ( x) min ? f (1) ? a ? 1 , i 2

综上所述: f ( x) min

?1 ? a, ?0, ? ?? ?2a ? 4, ? ?a ? 1,

a ?1 1? a ? 2 ; 2?a?3 a?3
2 ?1 2 ?1 a a ; a ? 0 时, a ? m ? a, ? n ? 0 . 2 2 2

(3) a ? 0 时, 0 ? m ?

a ,a ? n ? 2

2 引例 2:已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a .求函数 y ? f ( x) 在区间[1,2]上的最小值.

19

20

f ( x) min

?1 ? a, a ? 1 ?0,1 ? a ? 2 ? ? ? ?4a ? 8,2 ? a ? 7 3 ? ? 7 ?a ? 1, a ? 3 ?

练习: 1. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? ax ( x ? R) 有最小值,则实常数 a 的取值范围是

?- 2,2?

变式:函数 f ( x) ? x ? a x ? 1 在 ?0,??? 上有最大值,则实数 a 的取值范围是___ a ? ?1
2 2. 已知函数 f ( x ) ? x x ? 3 , x ? ?0, m? ,其中 m ? R ,且 m ? 0 .

(1)如果函数 f ( x) 的值域是 ?0,2? ,则实数 m 的取值范围为___________; (2)如果函数 f ( x) 的值域是 0, ?m 2 ,实数 ? 的最小值为_________

?

?

20

21

3. 已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x . (1)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)求所有的实数 a ,使得对任意 x ? [1, 2] 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) ? 2 x ? 1 图 象的下方; (3)若存在 a ?[?4, 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 有三个不相等的实数根,求实数

t 的取值范围.
? x2 ? (2 ? a) x, x ≥ a, ? 解: (1) f ( x) ? x x ? a ? 2 x ? ? 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a,

21

22

2?a ? a≥? , ? ? 2 即 ?2 ≤ a ≤ 2 ,则 范围为 ?2 ≤ a ≤ 2 ;…4 分 由 f ( x) 在 R 上是增函数,则 ? a ?a ≤ 2 ? a , ? 2 ?
(2)由题意得对任意的实数 x ?[1, 2] , f ( x) ? g ( x) 恒成立,

1 1 1 ,? ? x?a? , x x x 1 1 1 1 x ? ? a ? x ? ,故只要 x ? ? a 且 a ? x ? 在 x ?[1, 2] 上恒成立即可, x x x x 1 1 在 x ?[1, 2] 时,只要 x ? 的最大值小于 a 且 x ? 的最小值大于 a 即可, x x
即 x x ? a ? 1 ,当 x ?[1, 2] 恒成立,即 x ? a ?

1? 3 1 ?? 1 1 ? ? 而当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? ; x ?max 2 x? x x ? ? 1? 1 ?? 1 1 3 ? ? 当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? 2 ,所以 ? a ? 2 ; x ?min x? x x 2 ? ?
(3)当 ?2 ≤ a ≤ 2 时, f ( x) 在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 不可能有三个 不等的实数根; 则当 a ? (2 , 4] 时,由 f ( x) ? ?
x ≥ a 时, f ( x) ? x2 ? (2 ? a) x 对称轴 x ?
2 ? ? x ? (2 ? a) x, x ≥ a, 得 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a

a?2 ?a, 2 a?2 ?a, 2

则 f ( x) 在 x ? [ a, ? ?) 为增函数,此时 f ( x) 的值域为 [ f (a), ? ?) ? [2a, ? ?) ,

x ? a 时, f ( x) ? ? x2 ? (2 ? a) x 对称轴 x ?

? a ? 2? (a ? 2)2 ? ? f ( x ) 则 f ( x) 在 x ? ? ??, 为增函数,此时 的值域为 ?? , ? ?, 2 ? 4 ? ? ? ?
?a ? 2 , f ( x) 在 x ? ? ? 2

? (a ? 2)2 ? ? a ? 为减函数,此时 f ( x) 的值域为 ? 2a, ?; 4 ? ? ?

? (a ? 2)2 ? 由存在 a ? (2 , 4] ,方程 f ( x) ? t f (a) ? 2ta 有三个不相等的实根,则 2ta ? ? 2a, ?, 4 ? ? ? (a ? 2)2 ? (a ? 2)2 1 ? 4 ? ? ? a ? ? 4? , 即存在 a ? (2 , 4] ,使得 t ? ?1, ? 即可,令 g (a) ? 8a 8? a 8a ? ? ?
22

23

只要使 t ? ? g (a) ?max 即可,而 g (a) 在 a ? (2 , 4] 上是增函数, ? g (a) ?max ? g (4) ?

9 , 8

? 9? ? 9? 故实数 t 的取值范围为 ?1, ? ; 同理可求当 a ?[?4, ? 2) 时, t 的取值范围为 ?1, ? ; ? 8? ? 8? ? 9? 综上所述,实数 t 的取值范围为 ?1, ? . ? 8?
函数模型五:对数和绝对值函数的复合型函数 引例:已知函数 f ( x) ? x2 ? a | ln x ?1| , g ( x) ? x | x ? a | ?2 ? 2ln 2, a ? 0 . (Ⅰ )当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最大值;

3 a, x ? [1, ??) 恒成立,求 a 的取值范围; 2 (Ⅲ ) 对任意 x1 ? [1, ??) ,总存在惟一的 ...x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的取值
(Ⅱ )若 f ( x) ? 范围.
2 解: (Ⅰ )当 a ? 1 , x ? [1, e] 时 f ( x) ? x ? ln x ? 1 , f ?( x) ? 2 x ?

1 ? f ?(1) ? 1 , x

所以 f ( x ) 在 [1, e] 递增,所以 f ( x)max ? f (e) ? e 2
2 (Ⅱ )① 当 x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a ,? a ? 0 ,? f ( x) ? 0 恒 x

2 成立, ② 当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a 2 a a ? (x ? )(x ? ), x x 2 2

(i)当

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f ( x) 在区间 [1, e) 上 2

2 为增函数,故当 x ? 1 时, y min ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) ? e …

(ii)当 1 ?

a a a ? e ,即 2 ? a ? 2e 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, ) 时为负数,在间 x ? ( , e ) 2 2 2 a a a ) 上为减函数, , e] 上为增函数,故当 x ? 在( 时, 2 2 2
23

时为正数,所以 f ( x) 在区间 [1,

24

y min ?

3a a a a a ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) ? e2 …… (iii)当 ? e ,即 a ? 2e 2 时, 2 2 2 2 2

f ?( x) 在 x ? (1, e) 时 为 负 数 , 所 以 f ( x) 在 区 间 [1,e] 上 为 减 函 数 , 故 当 x ? e 时 ,

ym i n ? f (e) ? e 2
? 1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a 综上所述,函数 y ? f ( x) 的最小值为 y min ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 … ?2 22 2 e , a ? 2e 2 ? 3 3 a a 3 2 所 以 当 1 ? a ? a 时 , 得 0 ? a ? 2 ; 当 a ? ln ? a ( 2 ? a ? 2e ) 时 , 无 解 ; 当 2 2 2 2 2
e2 ? 3 2 a ( a ? 2e 2 )时,得 a ? e 不成立. 综上,所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 …… 2 3

? 6 ? 2a ? 2ln 2 ? 1 ? a , (Ⅲ )① 当 0 ? a ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 单调递增,由 g (2)
5 2 ? ln 2 ? a ? 2 3 3 a 3a a a ? 2a ? 2 ? 2 ln 2 ? ? ln , ② 当 1 ? ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 先减后增,由 g (2) 2 2 2 2 a a a 得 ? ln ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , 2 2 2 a 设 h(t ) ? t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2(t ? ) , h?(t ) ? 2 ? ln t ? 0(1 ? t ? 2) , 2
得 所 以 h(t ) 单 调 递 增 且 h(2) ? 0 , 所 以 h(t ) ? 0 恒 成 立 得 y

a a a ? e 2 时, f ( x) 在 [2, ] 递增,在 [ , a] 递 2 2 2 a 3a a a ? ln , 减,在 [ a, ??) 递增,所以由 g ( ) ? 2 2 2 2
2 ? a ? 4 …③ 当2 ?


a 2

a

x

a 2 3a a a ? ? ln ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 4 2 2 2
2 2

设 m(t ) ? t ? 3t ? t ln t ? 2 ? 2ln 2 ,则 m?(t ) ? 2t ? 2 ? ln t ? 0(t ? (2, e ) ,所以 m(t ) 递增, 且 m(2) ? 0 ,所以 m(t ) ? 0 恒成立,无解.

24

25
2 ④ 当 a ? 2e 时, f ( x ) 在 [2, ] 递增, 在 [ , a ] 递减, 在 [ a, ??) 递增,所以由 g ( ) ? e 得

a 2

a 2

a 2

a2 ? e2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 无解 4

综上,所求 a 的取值范围是 a ? [ ?

5 3

2 ln 2, 4) 3

函数模型六:指数和绝对值函数的复合型函数 引例: (2008 江苏卷 20)若 f1 ? x ? ? 3 且 f ? x? ? ?
x? p1

, f 2 ( x) ? 2 ? 3

x? p2

, x ? R, p1 , p2 为常数,

? ? f1 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? ? f 2 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ?

(Ⅰ )求 f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; (Ⅱ )设 a , b 为两实数,a ? b 且 p1 , p2 ? a, b ? ,若 f ? a ? ? f ?b ? .求证: f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和为

b?a (闭区间 ?m, n? 的长度定义为 n ? m ) 2
x ? p1

【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用. (Ⅰ) f ? x ? ? f1 ? x ? 恒成立 ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? 3

?2 3

x ? p2

?3

x ? p1 ? x ? p2

? 3log3 2

? x ? p1 ? x ? p2 ? log3 2 (*)因为 x ? p1 ? x ? p2 ? ? x ? p1 ? ? ? x ? p2 ? ? p1 ? p2
所以,故只需 p1 ? p2 ? log3 2 (*)恒成立 综上所述, f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件是: p1 ? p2 ? log3 2 (Ⅱ)1° 如果 p1 ? p2 ? log3 2 ,则的图象关于直线 x ? p1 对称.因为 f ? a ? ? f ?b ? ,所 以区间 ? a, b? 关于直线 x ? p1 对称. 因为减区间为 ? a, p1 ? ,增区间为 ? p1 , b? ,所以单调增区间的长度和为 2° 如果 p1 ? p2 ? log3 2 .
x ? p ? log 2 x? p ? ? ?3 1 , x ? ? p1 , b ? ? 3 2 3 , x ? ? p2 , b ? (1)当 p1 ? p2 ? log3 2 时. f1 ? x ? ? ? p ? x , f 2 ? x ? ? ? p ? x ? log 2 2 3 1 , x ? ? a, p2 ? ? ? ?3 , x ? ? a, p1 ? ?3

b?a 2

25

26

当 x ?? p1 , b? ,

f1 ? x ? ? 3 p2 ? p1 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,故 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3x ? p1
当 x ?? a, p2 ? ,

f1 ? x ? ? 3 p1 ? p2 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,故 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3 p2 ? x ? log3 2
因为 f ? a ? ? f ?b ? ,所以 3
b ? p1

? 3 p2 ?a ?log3 2 ,所以 b ? p1 ? p2 ? a ? log3 2, 即

a ? b ? p1 ? p2 ? log3 2
当 x ?? p2 , p1 ? 时,令 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,则 3 当 x ? ? p2 ,
p1 ? x

? 3x ? p2 ?log3 2 ,所以 x ?

p1 ? p2 ? log 3 2 , 2

? ?

p1 ? p2 ? log3 2 ? x ? p ? log 2 时, f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f 2 ? x ? = 3 2 3 ? 2 ?

? p ? p2 ? log3 2 ? x?? 1 , p1 ? 时, f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3 p1 ? x 2 ? ?

f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和 b ? p1 ?
=b ?

p1 ? p2 ? log3 2 a?b b?a ?b? ? 2 2 2

p1 ? p2 ? log 3 2 ? p2 2

x ? p ? log 2 x? p ? ? ?3 1 , x ? ? p1 , b ? ? 3 2 3 , x ? ? p2 , b ? (2)当 p2 ? p1 ? log3 2 时. f1 ? x ? ? ? p ? x , f 2 ? x ? ? ? p ? x ? log 2 2 3 1 , x ? ? a, p2 ? ? ? ?3 , x ? ? a, p1 ? ?3

当 x ?? p2 , b? ,

f1 ? x ? ? 3 p2 ? p1 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,故 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3x ? p2 ?log3 2
当 x ?? a, p1 ? ,

f1 ? x ? ? 3 p1 ? p2 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? 故 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3 p1 ? x

26

27

因为 f ? a ? ? f ?b ? ,所以 3

p1 ? a

? 3b? p2 ?log3 2 ,所以 a ? b ? p1 ? p2 ? log3 2
x ? p1

当 x ?? p1, p2 ? 时,令 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,则 3 当 x ? ? p1 ,

? 3 p2 ? x ?log3 2 ,所以 x ?

p1 ? p2 ? log 3 2 , 2

? ?

p1 ? p2 ? log3 2 ? x? p 时, f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3 1 ? 2 ?

? p ? p2 ? log3 2 ? x?? 1 , p1 ? 时, f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3 p2 ? x ? log3 2 2 ? ?

f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和 b ? p2 ?
=b ?

p1 ? p2 ? log3 2 a?b b?a ?b? ? 2 2 2

p1 ? p2 ? log 3 2 ? p1 2

综上得 f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和为 函数模型七:对数与双曲线型函数的复合型函数

b?a 2

引例:设 f ( x ) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x ) .如果存在实数 a 和函数

h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则
称函数 f ( x ) 具有性质 P ( a ) . (1)设函数 f ( x ) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数。 x ?1

(i)求证:函数 f ( x ) 具有性质 P (b) ; (ii)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)已知函数 g ( x) 具有性质 P (2) 。给定 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 , 设 m 为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,
若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围. 解: (1)(i) f '( x ) ?

1 b?2 1 ? ? ( x 2 ? bx ? 1) 2 2 x ( x ? 1) x( x ? 1) 1 ? 0 恒成立, x( x ? 1) 2
27

∵ x ? 1 时, h( x) ?

28

∴函数 f ( x ) 具有性质 P (b) ;

b b2 (ii)(方法一)设 ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? ( x ? ) 2 ? 1 ? , ? ( x) 与 f ' ( x ) 的符号相同。 2 4
当1 ?

b2 ? 0, ?2 ? b ? 2 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增; 4

当 b ? ?2 时,对于 x ? 1 ,有 f ' ( x ) ? 0 ,所以此时 f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? ?2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ?

b ? ?1 ,而 ? (0) ? 1 , 2

对于 x ? 1 ,总有 ? ( x) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增; (方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 , ? ( x) ? x2 ? bx ? 1 ? x2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0 所以 f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? 2 时 , ? ( x) 图 像 开 口 向 上 , 对 称 轴 x ?

b ? 1 , 方 程 ? ( x ) ? 0的 两 根 为 : 2

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ? 1, ? ? (0,1) ,而 , 2 2 2 2 b ? b2 ? 4
当 x ? (1,

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ) 时,? ( x) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1, ) 2 2 b ? b2 ? 4 , ??) 上递增。 2

上递减;同理得: f ( x ) 在区间 [

综上所述,当 b ? 2 时, f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增;
2 2 当 b ? 2 时, f ( x ) 在 (1, b ? b ? 4 ) 上递减; f ( x ) 在 [ b ? b ? 4 , ??) 上递增。

2

2

(2)(方法一)由题意,得: g '( x) ? h( x)( x ? 2x ? 1) ? h( x)( x ?1)
2

2

又 h( x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0, 所以对任意的 x ? (1,??) 都有 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上递增。 又 ? ? ? ? x1 ? x2 ,? ? ? ? (2m ?1)( x1 ? x2 ) 。

28

29

当m ?

1 , m ? 1 时,? ? ? , 且 ? ? x1 ? ( m ?1 )x 1 ? ( 1 ? m ) x, 2 ?x?2 ( 1?m )? x (1 m? 1 ) x?2 2



综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是(0,1) 。 (方法二)由题设知, g ( x) 的导函数 g '( x) ? h( x)( x ? 2 x ? 1) ,其中函数 h( x) ? 0 对于
2

任意的 x ? (1,??) 都成立。所以,当 x ? 1 时, g '( x) ? h( x)( x ? 1) ? 0,从而 g ( x) 在区
2

间 (1,??) 上单调递增。 ①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,得 ? ? ( x1, x2 ) ,同理可得 ? ? ( x1, x2 ) ,所
以由 g ( x) 的单调性知 g (? ) 、 g ( ? ) ? ( g ( x1 ), g ( x2 )) , 从而有| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,符合题设。 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 于 是 由 ? ? 1,? ? 1及 g ( x) 的 单 调 性 知
29

30

g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) ,所以| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题设不符。
③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 ,进而得| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题 设不符。因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1) 。 (讲评时对方法进行优化) 思考: (1)设函数 f(x)在其定义域 D 上的导函数为 f′(x).如果存在实数 a 和函数 h(x),其 中 h(x)对任意的 x∈D 都有 h(x)>0,使得 f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数 f(x)具有性质 1 4 P(a).给出下列四个函数:① f(x)= x3-x2+x+1;② f(x)=lnx+ ; 3 x+1 ③ f(x)=(x2-4x+5)ex;④ f(x)= x2+x ,其中具有性质 P(2)的函数是 ____ 2x+1

(2)已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的单调函数,实数 x1 ? x 2 , ? ? -1 , ? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ?

??

x 2 ? ?x1 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? ) ? f (? ) ,则 ? 的取值范围为_____________ 1? ?

函数模型八:对数与二次函数的复合型函数 引例:已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 2 ln x(a ? 0) ,且 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值. (1)试找出 a,b 的关系式;

1 2 1 (3)求函数 f ( x) 在 x ? (0, ] 的图像上任意一点处的切线斜率 k 的最大值 2 2 解: (1) f ( x) = a x 2 + 2 b x–2lnx,得 f ?( x ) ? 2ax ? 2b ? 因为 f ( x) 在 x=1 处取得极值, x
(2)若函数 f ( x) 在 x ? (0, ] 上不是单调函数,求 a 的取值范围; 所以 f ?(1) ? 0 ,故 2a+2b – 2 =0,即 b=1–a; 1 1 ( 2 )因为函数 f ( x) 在 x∈(0 , ] 上不是单调函数,所以 f ?( x ) =0 在 (0 , ] 内有解,即 2 2
2 2 ax2 ? bx ? 1 ? 0 , 亦即 ax ? (1 ? a) x ?1 ? 0 在(0, ]内有解, 由 ax ? (1 ? a) x ?1 ? 0 得: 2

1

x=1,或 x ? ?

1 1 1 , 所以 0 ? ? ? ,解得:a ? –2; a a 2
30

31

(3)因为 k= f ?( x) ? 2ax ? 2b ?

2 1 ? 2(ax ? ? 1 ? a) , x x 1 1 ) ,因为 x ? (0, ] ,所以 k ? ? 0 恒成立, 2 2 x
1 时, kmax ? ?a ? 2 ; 2

①当 ? 4 ? a ? 0 或 a ? 0 时, k ? ? 2(a ?

所以 k 在 x ? (0, ] 上单调递增,所以 x ? ②当 a ? ?4 时,有 0 ?

1 2

?

1 1 1 ? ,所以 ? ax ? ? 2 ? a , x a 2

所以 ax ?

1 1 ? ?2 ? a ,此时“=”成立的条件是:x= ? , x a
1 ? 1 ? a) ? 2(1 ? a ? 2 ? a ) ? 2 ? 2a ? 4 ? a , x

所以 k= 2(ax ?

综合得: k max ? ?

?? a ? 2, (?4 ? a ? 0或a ? 0) ?2 ? 2a ? 4 ? a , (a ? ?4)

专题 6:含参二次函数综合问题研究 引例:已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m ? 1
2

(1)若函数 y ? lg[ f ( x)]定义域为 R ,求实数 m 的取值范围;若值域为 R ,结论如何? (2)若函数 f ( x) 在区间 ?? 1,0? 和 ?2,4? 上单调递减,求实数 m 的取值范围; (3) 是否存在整数 a , b (其中 a ? b ) , 使得关于 x 的不等式 a ? f ( x) ? b 的解集为 ?a, b? ? 若存在,求出 a , b 的值;若不存在,请说明理由 (3)存在 a ? ?1, b ? 2

解: (2)前者: m ? ?2 或 m ? 1 ,后者: m ? 3 或 m ? 8 取交集 m ? ?2 或 m ? 8 专题 7:高中数学中具有将指数下移功能的运算方式有哪些? 引例 1: (教 L11 例 3)已知均不为 1 的正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且
x y z

1 1 1 ? ? ? 0, x y z

则 abc ? ______ 1

31

32

引例 2:已知等式 ( x2 ? 2x ? 2)5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ai(i=0,1,2,…,10)为实常数,则

? a9 ( x ? 1)9 ? a10 ( x ? 1)10 ,其中

? na
n ?1

10

n

的值为_____________
lg a

练习 1: (2012 江苏数学联赛初赛) 设 a 为正实数,k ? a 练习 2:设实数 x,y 满足 3≤ xy 2 ≤8,4≤

, 则 k 的取值范围是_________

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y

【解】 (

1 1 1 x2 2 x3 x2 2 1 x3 ? [ , ] , , , 的最大值是 27 ) ?[16,81] ? ( ) ? 2 ? [2, 27] xy 2 8 3 y4 y y4 y xy

命题背景分析 专题 8:函数与方程的三种等价语言转化 引例 1: (教 L14 例 3)已知函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 在区间 ?0,1? 内有零点,则实数 a 的 取值范围是__________

a?

1 2

引例 2: (教 L14 例 4(3) )设函数 f ( x) ?

x x?2

? ax2 , 其中 a ? R .若函数 f ( x) 有四个
a ?1

不同的零点,则实数 a 的取值范围是___________

练习 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (b ? a) x(b ? 2a 且 ab ? 0) ,试就 a , b 的不同取值 情况,讨论函数 f ( x) 的零点个数 当 a ? b 时,此时函数有 2 个零点 0 和-1; 当 a ? b 时,此时函数有 3 个零点 0,-1,

a?b . a

x 2:若函数 f ( x) ? a ? x ? a(a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点,则 a 的取值范围是_____ a ? 1
m

变式: 若存在实数 m 使得 a
1 ? ? ? ?0,1? ? ?1,e e ? ? ?

?m (其中 a ? 0且a ? 1) 成立, 则实数 a 的取值范围是______

32

33

33


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