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湖南省衡阳市常宁三中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷


湖南省衡阳市常宁三中 2014-2015 学年高一上学期 10 月月考数学 试卷
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)若直线过点(1,0) , (4, ) ,则此直线的倾斜角是() A.30° B.45° C.60° D.90° 2. (5 分)设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是()

A.1 B. 3 C. 4 D.8 3. (5 分)直线 L1:x+y+1=0,l2:ax﹣2y+4=0,若 L1∥L2,则 a 等于() A.﹣ B. 2 C . ﹣2 D.

4. (5 分)函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间() A.( , ) B. ( , ) C.( ,1) D.(1,2)

5. (5 分)如图,有一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)则该几何体的表面积和体积分 别为()

A.24πcm ,12πcm 2 3 C. 24πcm ,36πcm

2

3

B. 15πcm ,12πcm D.以上都不正确

2

3

6. (5 分)已知幂函数 f(x)过点(2,8) ,则 f(3)=() A.27 B. 9 C.12

D.4

7. (5 分)已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C. 若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n

8. (5 分)若函数 f(x)= 围是() A.(0,2]

在 R 上为增函数,则实数 a 的取值范

B.(﹣∞,2)

C.(1,2]

D.(﹣∞,2]

二、填空题: (本大题共 7 小题;每小题 5 分,共 35 分) 9. (5 分)函数 y=loga(x﹣1)的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标为. 10. (5 分)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x﹣1,则 f(﹣1)=. 11. (5 分)直线 3x﹣4y﹣4=0 被圆(x﹣3) +y =9 截得的弦长为. 12. (5 分) 如图所示, AB 是⊙O 的直径, PA⊥平面⊙O, C 为圆周上一点, AB=5cm, AC=2cm, 则 B 到平面 PAC 的距离为.
2 2 x

13. (5 分)过点 A(1,﹣1) 、B(﹣1,1)且圆心在直线 x+y﹣2=0 上的圆的方程是. 14. (5 分)已知 A(0,1) ,直线 l 过 B(5,0) ,且 A 到直线 l 的距离为 5,则 l 的方程是. 15. (5 分)已知 f(x)=x ﹣2x+3,在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范 围是.
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分)已知集合.A={x|m<x<m+2},B={x| <2 <1} (1)若 m=﹣1,求 A∪B; (2)若 A?B,求 m 的取值范围. 17. (12 分)如图,已知三角形的顶点为 A(2,4) ,B(0,﹣2) ,C(﹣2,3) ,求: (Ⅰ)AB 边上的中线 CM 所在直线的一般方程; (Ⅱ)求△ ABC 的面积.
x

18. (12 分)如图所示的四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PC 的中点,求证: (1)PA∥平面 BDE; (2)平面 BDE⊥平面 ABCD.

19. (13 分)已知圆 C 在 y 轴上截得的弦为 AB,A 的坐标为(0,5) ,B 的坐标为(0,﹣1) , 且圆心在直线 x=4 上,点 P 的坐标为(﹣1,3) . (1)求圆心 C 的坐标并写出圆 C 的方程; (2)直线 l 过 P 且与圆 C 相切时,求直线 l 的方程. 20. (13 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面是矩形,SA⊥底面 ABCD,P 为 BC 边的中点, AD=2,AB=1.SP 与平面 ABCD 所成角为 (1)求证:平面 SPD⊥平面 SAP; (2)求三棱锥 S﹣APD 的体积. .

21. (13 分)设函数 f(x)=2 +

x

﹣1(a 为实数) .

(Ⅰ)当 a=0 时,求方程|f(x)|=1 的根; (Ⅱ)当 a=﹣1 时, 2 2 ①若对于任意 t∈(1,4],不等式 f(t ﹣2t)﹣f(2t ﹣k)>0 恒成立,求 k 的范围; ②设函数 g(x)=2x+b,若对任意的 x1∈[0,1],总存在着 x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2) , 求实数 b 的取值范围.

湖南省衡阳市常宁三中 2014-2015 学年高一上学期 10 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)若直线过点(1,0) , (4, ) ,则此直线的倾斜角是() A.30° B.45° C.60° D.90° 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜角. 直线与圆. 由两点式求出直线的斜率,由倾斜角的正切值等于斜率得答案. 解:∵直线过点(1,0) , (4, ) , ,

∴直线的斜率为

设直线的倾斜角为 α(0°≤α<180°) , 由 tanα= ,得 α=30°.

故选:A. 点评: 本题考查了直线的倾斜角,考查了直线的斜率,是基础题. 2. (5 分)设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是() A.1 B. 3 C. 4 D.8 考点: 并集及其运算. 分析: 根据题意,分析可得,该问题可转化为求集合 A={1,2}的子集个数问题,再由集合 的元素数目与子集数目的关系可得答案. 解答: 解:A={1,2},A∪B={1,2,3}, 则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合 A={1,2}的子集个数问题, 2 所以满足题目条件的集合 B 共有 2 =4 个. 故选择答案 C. 点评: 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想. 3. (5 分)直线 L1:x+y+1=0,l2:ax﹣2y+4=0,若 L1∥L2,则 a 等于() A.﹣ B. 2 C . ﹣2 D.

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直线平行斜率相等,即可求出 a 的值.

解答: 解:直线 L1:x+y+1=0,l2:ax﹣2y+4=0,若 L1∥L2, ∴a=﹣2. 故选:C. 点评: 本题考查直线平行条件的应用,基本知识的考查. 4. (5 分)函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间() A.( , ) B. ( , ) C.( ,1) D.(1,2)

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 要判断函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点位置,我们可以根据零点存在定理,依次判 断 , , ,1,2 的函数值,然后根据连续函数在区间(a,b)上零点,则 f(a)与 f(b) 异号进行判断. 解答: 解:∵f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣4<0 f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣3<0 f( )=log2\frac{1}{2}+2× ﹣1=1﹣2<0 f(1)=log21+2×1﹣1=2﹣1>0 f(2)=log22+2×2﹣1=5﹣1>0 故函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间( ,1) 故选 C 点评: 本题查察的知识点是函数的零点,解答的关键是零点存在定理:即连续函数在区间 (a,b)上零点,则 f(a)与 f(b)异号. 5. (5 分)如图,有一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)则该几何体的表面积和体积分 别为()

A.24πcm ,12πcm 2 3 C. 24πcm ,36πcm

2

3

B. 15πcm ,12πcm D.以上都不正确

2

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 图表型. 分析: 由已知中的三视图及其尺寸,我们易判断这个几何体是圆锥,且底面直径为 6,圆锥 的母线长为 5,代入圆锥的表面积和体积公式,我们易得结论. 解答: 解:由三视图可得该几何体为圆锥, 且底面直径为 6,即底面半径为 r=3,圆锥的母线长 l=5 则圆锥的底面积 S 底面=π?r =9π 侧面积 S 侧面=π?r?l=15π 2 故几何体的表面积 S=9π+15π=24πcm , 又由圆锥的高 h= 故 V= ?S 底面?h=12πcm
3 2

=4

故选 A. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求面积和体积,考查空间想象能力,根据三视图判断 几何体的底面半径和母线长是解答本题的关键. 6. (5 分)已知幂函数 f(x)过点(2,8) ,则 f(3)=() A.27 B. 9 C.12 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 设幂函数 f(x)=x ,再由幂函数 f(x)过点(2,8) ,将坐标代入,解得 α 的值得 到幂函数的解析式,再求 f(3)即可. 解答: 解:由题意,设 f(x)=x ,又幂函数 f(x)过点(2,8) , α 3 3 ∴f(2)=2 =8,解得 α=3,即 f(x)=x ∴f(3)=3 =27, 故选 A. 点评: 本题考查幂函数的解析式,解题的关键是熟练掌握幂函数的定义及幂函数解析式的 形式. 7. (5 分)已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C. 若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: 通过举反例可得 A、B、C 不正确,根据垂直于同一个平面的两条直线平行,可得 D 正确,从而得出结论. 解答: 解:A、m,n 平行于同一个平面,故 m,n 可能相交,可能平行,也可能是异面直 线,故 A 错误; B、α,β 垂直于同一个平面 γ,故 α,β 可能相交,可能平行,故 B 错误; C、α,β 平行与同一条直线 m,故 α,β 可能相交,可能平行,故 C 错误; D、垂直于同一个平面的两条直线平行,故 D 正确. 故选 D.
α α

D.4

点评: 本题考查两个平面平行的判定和性质,平面与平面垂直的性质,线面垂直的性质, 注意考虑特殊情况,属于中档题.

8. (5 分)若函数 f(x)= 围是() A.(0,2]

在 R 上为增函数,则实数 a 的取值范

B.(﹣∞,2)

C.(1,2]

D.(﹣∞,2]

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由在 R 上为增函数,则 y=ax﹣2 是增函数,且接点处要小于 2,从而得实数 a 的取值 范围. 解答: 解:∵函数 f(x)= 在 R 上为增函数,

∴ 解得,0<a≤2. 故选 A. 点评: 本题考查了分段函数单调性的应用,属于中档题. 二、填空题: (本大题共 7 小题;每小题 5 分,共 35 分) 9. (5 分)函数 y=loga(x﹣1)的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标为(2,0) . 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数定义知,函数 y=logax 图象过定点(1,0) ,故可令 x﹣1=1 求此对数型函数图 象过的定点. 解答: 解:由对数函数的定义, 令 x﹣1=1,此时 y=0, 解得 x=2, 故函数 y=loga(x﹣1)的图象恒过定点(2,0) 故答案为(2,0) . 点评: 本题考点是对数函数的单调性与特殊点,考查对数函数恒过定点的问题,由对数函 数定义可直接得到真数为 1 时对数式的值一定为 0, 利用此规律即可求得函数图象恒过定点的 坐标 10. (5 分)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x﹣1,则 f(﹣1)= ﹣3. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.
x

分析: 根据函数奇偶性的性质,求 f(1)的值即可. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) , x ∵当 x≥0 时,f(x)=2 +2x﹣1, ∴f(1)=2+2﹣1=3, 即 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣3, 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查函数值的计算,根据函数的奇偶性的性质是解决本题的关键. 11. (5 分)直线 3x﹣4y﹣4=0 被圆(x﹣3) +y =9 截得的弦长为 4
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径,进而利用点到直线的距离求得圆心到直 线的距离,进而利用勾股定理求得被截的弦的一半,则弦长可求. 解答: 解:根据圆的方程可得圆心为(3,0) ,半径为 3 则圆心到直线的距离为 ∴弦长为 2× =4 , =1,

故答案为:4 . 点评: 本题主要考查了直线与圆相交的性质.解题的关键是利用数形结合的思想,通过半 径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段,利用勾股定理求得答案. 12. (5 分) 如图所示, AB 是⊙O 的直径, PA⊥平面⊙O, C 为圆周上一点, AB=5cm, AC=2cm, 则 B 到平面 PAC 的距离为 cm.

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 证明平面 PAC⊥平面⊙O,BC⊥平面 PAC,则 BC 为 B 到平面 PAC 的距离,利用勾 股定理即可求解. 解答: 解:∵PA⊥平面⊙O,PA?平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面⊙O, ∵AB 是⊙O 的直径,C 为圆周上一点, ∴BC⊥AC ∵平面 PAC⊥平面⊙O=AC ∴BC⊥平面 PAC ∴BC 为 B 到平面 PAC 的距离 直角△ ABC 中,BC⊥AC,AB=5cm,AC=2cm,∴BC= cm 故答案为: cm

点评: 本题考查面面垂直,线面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 13. (5 分)过点 A(1,﹣1) 、B(﹣1,1)且圆心在直线 x+y﹣2=0 上的圆的方程是(x﹣1)
2

+(y﹣1) =4.

2

考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 先求 AB 的中垂线方程,它和直线 x+y﹣2=0 的交点是圆心坐标,再求半径,可得方 程. 解答: 解:圆心一定在 AB 的中垂线上,AB 的中垂线方程是 y=x,所以 (1,1) ; 圆心到 A 的距离就是半径:
2 2

,圆心

=2,所以所求圆的方程为: (x﹣1)

+(y﹣1) =4. 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣1) =4. 点评: 本题解答灵活,求出圆心与半径是解题的关键,本题考查了求圆的方程的方法.是 基础题目. 14. (5 分)已知 A(0,1) ,直线 l 过 B(5,0) ,且 A 到直线 l 的距离为 5,则 l 的方程是 12x ﹣5y﹣60=0 或 x=5. 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 kx﹣y﹣5k=0,由 线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=5.由此能求出 l 的方程. 解答: 解:∵直线 l 过 B(5,0) , ∴当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣5) ,即 kx﹣y﹣5k=0, ∵A(0,1)到直线 l 的距离为 5, ∴ =5, =5;当直

解得 k=

,∴l 的方程是 y=

,即 12x﹣5y﹣60=0.

当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=5,符合题意. 综上所述,l 的方程是 12x﹣5y﹣60=0 或 x=5. 故答案:12x﹣5y﹣60=0 或 x=5.

点评: 本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公 式的合理运用. 15. (5 分)已知 f(x)=x ﹣2x+3,在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范 围是[1,2]. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 先画出二次函数图象:观察图象,欲使得闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,区 间[0,m]的右端点必须在一定的范围之内(否则最大值会超过 3 或最小值达不到 2) ,从而解 决问题. 解答: 解:通过画二次函数图象 观察图象,欲使得闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2, 区间[0,m]的右端点必须在抛物线顶点的右侧, 且在 2 的左侧(否则最大值会超过 3) ∴知 m∈[1,2]. 答案:[1,2]
2

点评: 本题主要考查利用图象求闭区间上函数的最值,图象法是数学解题中常用的思想方 法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分)已知集合.A={x|m<x<m+2},B={x| <2 <1} (1)若 m=﹣1,求 A∪B; (2)若 A?B,求 m 的取值范围. 考点: 并集及其运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)m=﹣1 时,A={x|﹣1<x<1},B={x|﹣3<x<0},由此能求出 A∪B. (2)由已知得 ,由此能求出 m 的范围.
x

解答: 解: (1)m=﹣1 时,A={x|﹣1<x<1},

B={x| <2 <1}={x|﹣3<x<0}, ∴A∪B={x|﹣3<x<1}. (2)∵A={x|m<x<m+2},B={x| <2 <1}={x|﹣3<x<0}, A?B, ∴ ,
x

x

解得﹣3≤m≤﹣2. 点评: 本题考查并集的求法,考查实数的取值范围的求法,是基础题. 17. (12 分)如图,已知三角形的顶点为 A(2,4) ,B(0,﹣2) ,C(﹣2,3) ,求: (Ⅰ)AB 边上的中线 CM 所在直线的一般方程; (Ⅱ)求△ ABC 的面积.

考点: 直线的一般式方程;中点坐标公式. 专题: 数形结合. 分析: (1)本题是一个求直线方程的问题,要求直线 CM 的方程,C 点的坐标是已知的, 需要求 M 的坐标,根据 M 是 AB 的中点,利用中点坐标公式得到结果,后面只要过两点求直 线方程. (2)已知三角形三个顶点的坐标,求出三条边的长度,根据余弦定理求一个角的余弦值,再 得出正弦值,根据正弦定理得出三角形的面积. 解答: 解: (1)∵A(2,4) ,B(0,﹣2) ,C﹣2,3) , ∴AB 的中点 M(1,1) AB 边上的中线 CM 过点(1,1)和(﹣2,3) ∴中线 CM 的斜率是 k= =

∴直线的方程是 2x+3y﹣5=0 (2) )∵A(2,4) ,B(0,﹣2) ,C﹣2,3) , ∴AB=2 ,AC= ,BC= ∴cosA= ∴sinA= , = ,

∴S△ ABC=

×

=11

点评: 本题是一个求直线方程和求三角形的面积的题目,条件给出的是点的坐标,利用代 数方法来解决几何问题,这是解析几何的特点,这是一个典型的数形结合问题. 18. (12 分)如图所示的四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PC 的中点,求证: (1)PA∥平面 BDE; (2)平面 BDE⊥平面 ABCD.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面平行的判定定理,即可证明 PA∥平面 BDE; (2)根据面面垂直的判定定理即可证明平面 BDE⊥平面 ABCD. 解答: 证明: (1)∵底面 ABCD 为菱形, ∴连结 AC 交 BD 于 O,连结 OE, 则 OE 是△ PAC 的中位线, 则 OE∥PA, ∵OE?平面 BDE,PA?平面 BDE ∴PA∥平面 BDE; (2)由(1)知 OE∥PA, ∵PA⊥平面 ABCD, ∴OE⊥平面 ABCD, ∵OE?平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 ABCD.

点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系:平行和垂直.考查线面平行和垂直的判定和 性质定理的运用,考查空间想象能力,属于中档题. 19. (13 分)已知圆 C 在 y 轴上截得的弦为 AB,A 的坐标为(0,5) ,B 的坐标为(0,﹣1) , 且圆心在直线 x=4 上,点 P 的坐标为(﹣1,3) . (1)求圆心 C 的坐标并写出圆 C 的方程; (2)直线 l 过 P 且与圆 C 相切时,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程.

专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)利用条件直接求圆心 C 的坐标求出半径即可写出圆 C 的方程; (2)设出直线 PQ 的方程,利用直线 PQ 和圆相切,建立方程,即可求得结论. 解答: 解: (1)圆 C 在 y 轴上截得的弦为 AB,A 的坐标为(0,5) ,B 的坐标为(0,﹣1) , 且圆心在直线 x=4 上, 所以圆心 C 的坐标(4,2) ,圆的半径为: 所以圆 C 的方程: (x﹣4) +(y﹣2) =25; (2)斜率不存在时,直线 x=﹣1,满足题意; 设直线 PQ 的方程为:y=kx+k+3,故圆心到直线 l 的距离 d= =5
2 2

=5,

解得 k=

.直线 l 的方程为 12x﹣5y+20=0

所以,直线 l 的方程为 x=﹣1 或 12x﹣5y+20=0. 点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题. 20. (13 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面是矩形,SA⊥底面 ABCD,P 为 BC 边的中点, AD=2,AB=1.SP 与平面 ABCD 所成角为 (1)求证:平面 SPD⊥平面 SAP; (2)求三棱锥 S﹣APD 的体积. .

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)先证明 SA⊥PD,再证明 AP⊥PD,利用线面垂直的判定,可得 PD⊥平面 SAP, 根据面面垂直的判定,即可证得结论; (2)利用三棱锥 S﹣APD 的体积= ,可得结论.

解答: (1)证明:∵SA⊥底面 ABCD,PD?底面 ABCD ∴SA⊥PD 在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,P 为 BC 边的中点,∴AP=PD= 2 2 2 因为 AD=2,所以 AD =AP +PD ,所以 AP⊥PD. ∵SA∩AP=A ∴PD⊥平面 SAP ∵PD?平面 SPD, ∴平面 SPD⊥平面 SAP;

(2)三棱锥 S﹣APD 的体积=

=

=



点评: 本题考查线面、面面垂直,考查三棱锥体积的计算,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 21. (13 分)设函数 f(x)=2 +
x

﹣1(a 为实数) .

(Ⅰ)当 a=0 时,求方程|f(x)|=1 的根; (Ⅱ)当 a=﹣1 时, 2 2 ①若对于任意 t∈(1,4],不等式 f(t ﹣2t)﹣f(2t ﹣k)>0 恒成立,求 k 的范围; ②设函数 g(x)=2x+b,若对任意的 x1∈[0,1],总存在着 x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2) , 求实数 b 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题;函数的零点与方程根的关 系. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=0 时,f(x)=2 ﹣1,代入方程即可求解; 2 2 (Ⅱ)①当 a=﹣1 时,依据函数单调性,不等式 f(t ﹣2t)﹣f(2t ﹣k)>0 恒成立,可化 2 2 2 为 t ﹣2t>2t ﹣k 恒成立,从而转化为 k>(t +2t)max; ②该问题可转化为当 x∈[0,1]时,f(x)的值域为 g(x)值域的子集,利用单调性易求两函 数值域,由集合包含关系可得到不等式组,解出即可. x 解答: 解: (Ⅰ)当 a=0 时,f(x)=2 ﹣1, x 由题意得|2 ﹣1|=1, x x 所以 2 ﹣1=1 或 2 ﹣1=﹣1, 解得 x=1. (Ⅱ)当 a=﹣1 时,f(x)=
2 2 x

,该函数在 R 上单调递增.
2 2 2

①不等式 f(t ﹣2t)﹣f(2t ﹣k)>0 恒成立,即 f(t ﹣2t)>f(2t ﹣k)恒成立,即 t ﹣ 2 2t>2t ﹣k, 2 从而 k>(t +2t)max, 2 2 又当 t∈(1,4]时, (t +2t)max=4 +2×4=24,所以 k>24. ②当 x∈[0,1]时,g(x)=2x+b 的值域为[b,2+b], 当 x∈[0,1]时,f(x)= 根据题意可得[b,2+b]?[﹣1, ], 的值域为[﹣1, ],

从而

解得﹣



故实数 b 的取值范围为:﹣



点评: 本题考查指数方程的求解、函数恒成立及函数零点问题,考查学生分析问题解决问 题的能力,综合性强,难度大.


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