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广西钦州市高新区2017届高三上学期11月月考数学试卷(理科) Word版含答案


2016-2017 学年广西钦州市高新区高三(上)11 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题 1.定义在 R 上的函数 y=f(x) ,满足 f(1﹣x)=f(x) , (x﹣ )f′(x)>0,若 x1<x2 且 x1+x2>1,则有( )

A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不能确定 2.已知函数 f(x)= .下列命题:

①函数 f(x)的图象关于原点对称; ②函数 f(x)是周期函数; ③当 x= 时,函数 f(x)取最大值;

④函数 f(x)的图象与函数 y= 的图象没有公共点. 其中正确命题的序号是( A.①③ B.②③ ) D.②④ )

C.①④

3.若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行 x 轴,则 k=( A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2

4.若点 P(a,b)在函数 y=﹣x2+3lnx 的图象上,点 Q(c,d)在函数 y=x+2 的 图象上,则(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值为( A. B.2 C.2 D.8 )

5.已知 f(x)为 R 上的可导函数,且? x∈R,均有 f(x)>f′(x) ,则以下判断 正确的是( A.f B.f C.f D.f 大小无法确定 6.已知函数 g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数为 f(x) ,且 a+2b+3c=0,f ?f x2 是方程 ( f x) =0 的两根, (0) (1) >0, 设 x1, 则|x1﹣x2|的取值范围是 ( ) )

1

A.[0, )

B.[0, )

C. ( , )

D. ( , ) )

7.如果 f(x)为偶函数,且 f(x)导数存在,则 f′(0)的值为( A.2 B.1 C.0 D.﹣1

8.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象 如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

9.设函数 f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x) ,且有 2f(x)+xf′(x)>x2,则不等式(x+2014)2f(x+2014)﹣4f(﹣2)>0 的解集 为( ) B. (﹣2012,0) C. (﹣∞,﹣2016) D .( ﹣

A. (﹣∞,﹣2012) 2016,0)

10.已知函数 f(x)=1+x﹣

+



+…+

,设 F(x)=f(x+4) ,且函数

F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,圆 x2+y2=b﹣a 的面积的最 小值是( A.π )

B.2π C.3π D.4π )

11.满足 f ( x )=f′( x )的函数是(

A.f ( x )=1﹣x B.f ( x )=x C.f ( x )=0 D.f ( x )=1 12.已知函数 f(x)=sinx+lnx,则 f′(1)的值为( A.1﹣cos1 B.1+cos1 C.cos1﹣1 D.﹣1﹣cos1 )

二、填空题 13.对任意实数 a,b,定义 F(a,b)= (a+b﹣|a﹣b|) ,如果函数 f(x)=ln (e2x) ,g(x)=3﹣x,那么 G(x)=F(f(x) ,g(x) )的最大值为 .

14.设点 P 是曲线 y=2x2 上的一个动点,曲线 y=2x2 在点 P 处的切线为 l,过点 P 且与直线 l 垂直的直线与曲线 y=2x2 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为
2



15.G(x)表示函数 y=2cosx+3 的导数,在区间 (a)<1 的概率为 .

上,随机取值 a,G

16.已知函数 f(x)= x3+ax2+6x 的单调递减区间是[2,3],则实数 a=



17.若存在实常数 k 和 b,使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分别满足:f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b,则称直线 l:y=kx+b 为 f(x)和 g(x) 的“隔离直线”.已知函数 f(x)=x2﹣1 和函数 g(x)=2lnx,那么函数 f(x)和 函数 g(x)的隔离直线方程为 .

三、解答题 18.设函数 f(x)=x2+ax﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)过坐标原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为 1. 19.已知函数 f(x)=x2﹣2a2lnx(a>0) . (Ⅰ)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若 f(x)在[1,e]上没有零点,求实数 a 的取值范围. 20.某风景区在一个直径 AB 为 100 米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图 所示) .在点 A 与圆弧上的一点 C 之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植 绿化带; 从点 C 到点 B 设计为沿弧的弧形小路, 在路的一侧边缘种植绿化带. (注: 小路及绿化带的宽度忽略不计) (1)设∠BAC=θ(弧度) ,将绿化带总长度表示为 θ 的函数 S(θ) ; (2)试确定 θ 的值,使得绿化带总长度最大.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ ,其中 a∈R. (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程;
3

(Ⅱ)如果对于任意 x∈(1,+∞) ,都有 f(x)>﹣x+2,求 a 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; ( 3 ) 在 ( 2 ) 的 条 件 下 . , 证 明 :

2016-2017 学年广西钦州市高新区高三(上)11 月月考 数学试卷(理科)
参考答案与试题解+析

一、选择题 1.定义在 R 上的函数 y=f(x) ,满足 f(1﹣x)=f(x) , (x﹣ )f′(x)>0,若 x1<x2 且 x1+x2>1,则有( )

A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不能确定 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 【分析】由题意可得函数 f(x)关于直线 x= 对称,且当 x 当x 与 时,f′(x)>0; ,

f′ f x) 时, (x) <0, 即可得出函数 ( 在区间上单调性. 分类讨论 ,即可得出.

【解答】解:∵定义在 R 上的函数 y=f(x) ,满足 f(1﹣x)=f(x) ,∴函数 f(x) 关于直线 x= 对称. ∵(x﹣ )f′(x)>0,∴当 x 递增;当 x ①若 时,f′(x)>0,函数 f(x)在此区间上单调

时,f′(x)<0,函数 f(x)在此区间上单调递减. , ∵函数 f(x) 在区间 上单调递增,∴f(x2)>f(x1) .

4

②若

,又 x1+x2>1,∴

,∴f(x2)>f(1﹣x1)=f(x1) .

综上可知:f(x2)>f(x1) . 故选 A.

2.已知函数 f(x)=

.下列命题:

①函数 f(x)的图象关于原点对称; ②函数 f(x)是周期函数; ③当 x= 时,函数 f(x)取最大值;

④函数 f(x)的图象与函数 y= 的图象没有公共点. 其中正确命题的序号是( A.①③ B.②③ ) D.②④

C.①④

【考点】函数的图象. 【分析】研究函数相应性质,逐一判断. 【解答】解:函数定义域为 R,且 f(﹣x)=﹣f(x) ,即函数为奇函数,故①正 确; y=sinx 是周期函数,而 y=x2+1 不是周期函数,故 f(x)不是周期函数,即②错误; , ,故 不是最值,即③错误;

因为 f(x)<0; 当 x<0 时,

,当 x>0 时,

,故



,故

,f(x)>0.即函数 f(x)的

图象与函数 y= 的图象没有公共点,④正确. 故选:C.

3.若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行 x 轴,则 k=( A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2



5

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】先求出函数的导数,再由题意知在 1 处的导数值为 0,列出方程求出 k 的值. 【解答】解:由题意得,y′=k+ , ∵在点(1,k)处的切线平行于 x 轴, ∴k+1=0,得 k=﹣1, 故选:A.

4.若点 P(a,b)在函数 y=﹣x2+3lnx 的图象上,点 Q(c,d)在函数 y=x+2 的 图象上,则(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值为( A. B.2 C.2 D.8 )

【考点】两点间距离公式的应用. 【分析】先求出与直线 y=x+2 平行且与曲线 y=﹣x2+3lnx 相切的直线 y=x+m.再 求出此两条平行线之间的距离(的平方)即可得出. 【解答】解:设直线 y=x+m 与曲线 y=﹣x2+3lnx 相切于 P(x0,y0) , 由函数 y=﹣x2+3lnx,∴ 令 ,

,又 x0>0,解得 x0=1.

∴y0=﹣1+3ln1=﹣1, 可得切点 P(1,﹣1) . 代入﹣1=1+m,解得 m=﹣2. 可得与直线 y=x+2 平行且与曲线 y=﹣x2+3lnx 相切的直线 y=x﹣2. 而两条平行线 y=x+2 与 y=x﹣2 的距离 d= ∴(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值= 故选:D. =8. =2 .

5.已知 f(x)为 R 上的可导函数,且? x∈R,均有 f(x)>f′(x) ,则以下判断 正确的是( A.f
6



B.f C.f D.f 大小无法确定 【考点】导数的运算. 【分析】设函数 h(x)= ,求得 h′(x)<0,可得 h(x)在 R 上单调递减,

可得 h,再进一步化简,可得结论. 【解答】解:设函数 h(x)= , <0, ,

∵? x∈R,均有 f(x)>f′(x) ,则 h′(x)= ∴h(x)在 R 上单调递减,∴h,即 即 f, 故选:B. <

6.已知函数 g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数为 f(x) ,且 a+2b+3c=0,f ?f x2 是方程 ( f x) =0 的两根, (0) (1) >0, 设 x1, 则|x1﹣x2|的取值范围是 ( A.[0, ) B.[0, ) C. ( , ) D. ( , ) )

【考点】导数的运算;二次函数的性质. 【分析】由求出函数的导数 g′(x)=f(x)=3ax2+2bx+c,利用根与系数之间的关 系得到 x1+x2,x1x2 的值,将|x1﹣x2|进行转化即可求出结论. 【解答】解:∵g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) , ∴g′(x)=f(x)=3ax2+2bx+c, ∵x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个根,故 x1+x2= ∵|x1﹣x2|2=(x1+x2)2﹣4x1x2= 又 a+2b+3c=0, ∴3c=﹣a﹣2b 代入上式, 得 |x1 ﹣ x2|2= = , ,x1x2= ,

7

=

= (

1)2 ,

又∵f(0)?f(1)>0, ∴c(3a+2b+c)>0 即 ? >0,

∴(a+2b) (2a+b)<0, ∵a≠0,两边同除以 a2 得: ( +2 ) (2 ∴﹣2< <﹣ , ∴0≤ ( 1)2< +1)<0;

∴|x1﹣x2|∈[0, ) . 故选:A.

7.如果 f(x)为偶函数,且 f(x)导数存在,则 f′(0)的值为( A.2 B.1 C.0 D.﹣1



【考点】导数的概念;偶函数. 【分析】由函数为偶函数得到 f(x)等于 f(﹣x) ,然后两边对 x 求导后,因为 导函数在 x=0 有定义,所以令 x 等于 0,得到关于 f′(0)的方程,求出方程的解 即可得到 f′(0)的值. 【解答】解:因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(﹣x) , 此时两边对 x 求导得:f′(x)=﹣f′(﹣x) , 又因为 f′(0)存在, 把 x=0 代入得:f′(0)=﹣f′(0) , 解得 f′(0)=0. 故选 C

8.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象 如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( )

8

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据当 f'(x)>0 时函数 f(x)单调递增,f'(x)<0 时 f(x)单调递 减,可从 f′(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→ 减→增→减,然后得到答案. 【解答】解:从 f′(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次 为增→减→增→减, 根据极值点的定义可知在(a,b)内只有一个极小值点. 故选:A.

9.设函数 f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x) ,且有 2f(x)+xf′(x)>x2,则不等式(x+2014)2f(x+2014)﹣4f(﹣2)>0 的解集 为( ) B. (﹣2012,0) C. (﹣∞,﹣2016) D .( ﹣

A. (﹣∞,﹣2012) 2016,0) 【考点】导数的运算.

【分析】根据条件,构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系,将不等式 进行转化即可得到结论. 【解答】解:由 2f(x)+xf′(x)>x2, (x<0) , 得:2xf(x)+x2f′(x)<x3, 即[x2f(x)]′<x3<0, 令 F(x)=x2f(x) , 则当 x<0 时, 得 F′(x)<0,即 F(x)在(﹣∞,0)上是减函数, ∴F(x+2014)=(x+2014)2f(x+2014) ,F(﹣2)=4f(﹣2) , 即不等式等价为 F(x+2014)﹣F(﹣2)>0,
9

∵F(x)在(﹣∞,0)是减函数, ∴由 F(x+2014)>F(﹣2)得,x+2014<﹣2, 即 x<﹣2016, 故选:C.

10.已知函数 f(x)=1+x﹣

+



+…+

,设 F(x)=f(x+4) ,且函数

F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,圆 x2+y2=b﹣a 的面积的最 小值是( A.π )

B.2π C.3π D.4π

【考点】圆的标准方程;函数的零点. 【分析】利用导数研究函数 f(x)的单调性,得函数 f(x)是 R 上的增函数.再 用零点存在性定理,得 f(x)在 R 上有唯一零点 x0∈(﹣1,0) ,结合函数图象 的平移知识可得数 F(x)的零点必在区间(﹣5,﹣4) .由此不难得到 b﹣a 的 最小值,进而得到所求圆面积的最小值. 【解答】解:∵f(x)=1+x﹣ , >0.

∴当 x<﹣1 或 x>﹣1 时,f'(x)=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012= 而当 x=﹣1 时,f'(x)=2013>0

∴f'(x)>0 对任意 x∈R 恒成立,得函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数 ∵f(﹣1)=(1﹣1)+(﹣ ﹣ )+…+(﹣ ∴函数 f(x)在 R 上有唯一零点 x0∈(﹣1,0) ∵F(x)=f(x+4) ,得函数 F(x)的零点是 x0﹣4∈(﹣5,﹣4) ∴a≤﹣5 且 b≥﹣4,得 b﹣a 的最小值为﹣4﹣(﹣5)=1 ∵圆 x2+y2=b﹣a 的圆心为原点,半径 r= ∴圆 x2+y2=b﹣a 的面积为 πr2=π(b﹣a)≤π,可得面积的最小值为 π 故选:A ﹣ )<0,f(0)=1>0

11.满足 f ( x )=f′( x )的函数是(



A.f ( x )=1﹣x B.f ( x )=x C.f ( x )=0 D.f ( x )=1
10

【考点】导数的运算. 【分析】f ( x )=0 时,满足 f ( x )=f′( x ) ,即可得出结论. 【解答】解:f ( x )=0 时,满足 f ( x )=f′( x ) , 故选 C.

12.已知函数 f(x)=sinx+lnx,则 f′(1)的值为( A.1﹣cos1 B.1+cos1 C.cos1﹣1 D.﹣1﹣cos1 【考点】导数的加法与减法法则. 【分析】求函数在某点处的导数值,先求导函数



【解答】解:因为 f′(x)=cosx+ ,则 f′(1)=cos1+1. 故选 B.

二、填空题 13.对任意实数 a,b,定义 F(a,b)= (a+b﹣|a﹣b|) ,如果函数 f(x)=ln (e2x) ,g(x)=3﹣x,那么 G(x)=F(f(x) ,g(x) )的最大值为 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】“对任意实数 a,b,定义:定义 F(a,b)= (a+b﹣|a﹣b|)”的意思 是两个函数的函数值进行比较, 较大的舍去留下较小的函数值,结合图象即可求 出函数值. 【解答】解: :“对任意实数 a,b,定义:定义 F(a,b)= (a+b﹣|a﹣b|)” 的意思是两个函数的函数值进行比较, 较大的舍去留下较小的函数值. ∵f(x)=ln(e2x)=2+lnx,g(x)=3﹣x, 2 .

11

如图示:

故 G(x)的最大值等于 2. 故答案为:2.

14.设点 P 是曲线 y=2x2 上的一个动点,曲线 y=2x2 在点 P 处的切线为 l,过点 P 且与直线 l 垂直的直线与曲线 y=2x2 的另一交点为 Q, 则 PQ 的最小值为 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】设出 P 点坐标,求导得直线 l 的斜率,则过点 P 且与直线 l 垂直的直线 方程可求,和抛物线联立后求出 Q 点的坐标,利用两点式写出 PQ 的距离,先利 用换元法降幂,然后利用导数求最值. 【解答】解:设 P 的坐标为(a,2a2) ,由 y‘=4x 得 l 的斜率为 4a,所以,直线 PQ 的斜率为=﹣ , (x﹣a) , x﹣2a2﹣ =0, ,x1x2=﹣a2﹣ , ? .

所以,PQ 的方程为:y﹣2a2=﹣ 与 y=2x2 联立,整理得,2x2+ 所以,由韦达定理,x1+x2=﹣

由 弦 长 公 式 得 , PQ=

= 令 t=4a2>0.g(t)=

, .

12

则 g′(t)= 可得 PQ 的最小值为 故答案为: .



15.G(x)表示函数 y=2cosx+3 的导数,在区间 (a)<1 的概率为 【考点】几何概型. .

上,随机取值 a,G

【分析】先求出 G(x)的解+析式,再根据所给的不等式解出 a 的范围,再结合 几何概率模型的公式 P= 【解答】解:∵G(x)表示函数 y=2cosx+3 的导数 ∴G(x)=﹣2sinx ∵G(a)<1 ∴﹣2sina<1 而 x∈ 解得 x∈( ,π) , 得 求出答案即可.

由几何概率模型的公式 P=

P=

=

故答案为: .

16.已知函数 f(x)= x3+ax2+6x 的单调递减区间是[2,3],则实数 a= ﹣ 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】由 f′(x)=x2+2ax+6,判断知△=4a2﹣24>0,得 函数



,由

的单调递减区间是[2,3],则 f′(x)=x2+2ax+6=0 的根

为 2 和 3,则﹣2a=2+3,得 a=﹣ .
13

【解答】解:函数的导数为 f′(x)=x2+2ax+6, 判断知△=4a2﹣24>0,得 由函数 , 的单调递减区间是[2,3],

则 f′(x)=x2+2ax+6=0 的根为 2 和 3,则﹣2a=2+3,得 a=﹣ , 故答案为:﹣ .

17.若存在实常数 k 和 b,使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分别满足:f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b,则称直线 l:y=kx+b 为 f(x)和 g(x) 的“隔离直线”.已知函数 f(x)=x2﹣1 和函数 g(x)=2lnx,那么函数 f(x)和 函数 g(x)的隔离直线方程为 【考点】函数的值. 【分析】求出函数的交点坐标,利用函数的导数求出切线方程即可得到结论. 【解答】解:作出函数 f(x)=x2﹣1 和函数 g(x)=2lnx 的图象,由图象可知, 两个函数的交点坐标为(1,0) , 要使 f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b, 则 y=kx+b,必须是两个函数在(1,0)处的公共切线, 即 k+b=0,解得 b=﹣k, 函数 f′(x)=2x, 即 k=f′(1)=2,∴b=﹣2, 即隔离直线方程为 y=2x﹣2, 故答案为:y=2x﹣2 y=2x﹣2 .

14

三、解答题 18.设函数 f(x)=x2+ax﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)过坐标原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为 1. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)判断导函数的正负性,求出原函数的单调区间; (Ⅱ)f(x)在区间(0,1]上是减函数,即 f′(x)≤0 在(0,1]上恒成立; (Ⅲ)设出切点,利用低斜率的两种表示,列出等式,再根据函数是单调函数, 且存在零点,从而说明存在唯一零点. 【 解 答 】 解 :( Ⅰ ) 当 a=1 时 , f ( x ) =x2+x ﹣ lnx ( x > 0 ), ∴ , 当 ∴f(x)的单调递减区间为 (Ⅱ) ,单调递增区间 , .

,∵f(x)在区间(0,1]上是减函数,∴f'(x)≤0 对

任意 x∈(0,1]恒成立, 即 立, 令 ,∴a≤g(x)min, 对任意 x∈(0,1]恒成立,∴ 对任意 x∈(0,1]恒成

易知 g(x)在(0,1]单调递减,∴g(x)min=g(1)=﹣1.∴a≤﹣1. (Ⅲ)设切点为 M(t,f(t) ) , 切线的斜率 ,又切线过原点 , ,

,即:t2+at﹣lnt=2t2+at﹣1,∴t2﹣1+lnt=0, 令 g(t)=t2﹣1+lnt, ,∴g(t)在(0,+∞)上单调递增,

又 g(1)=0,所以方程 t2﹣1+lnt=0 有唯一解 t=1.
15

综上,切点的横坐标为 1.

19.已知函数 f(x)=x2﹣2a2lnx(a>0) . (Ⅰ)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若 f(x)在[1,e]上没有零点,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (Ⅰ)利用极值点的导函数为零,求出参数的值,再通过单调性验证参 数适合题意; (Ⅱ)利用导函数值的正负求出函数的单调区间; (Ⅲ) 利用导函数值研究函数的单调性和极值,必须讨论极值点与区间的位置关 系. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)=x2﹣2a2lnx(a>0)的定义域为(0,+∞) . , ∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=0,解得 a=1 或 a=﹣1(舍) . ∴a=1. 当 a=1 时,x∈(0,1) ,f′(x)<0; x∈(1,+∞) ,f′(x)>0, 所以 a 的值为 1. (Ⅱ)令 f′(x)=0,解得 x=a 或 x=﹣a(舍) . 当 x 在(0,+∞)内变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) (0,a) ﹣ ↘ a 0 极小值 (a,+∞) + ↗

由上表知 f(x)的单调递增区间为(a,+∞) ,单调递减区间为(0,a) . (Ⅲ)要使 f(x)在[1,e]上没有零点,只需在[1,e]上 f(x)min>0 或 f(x)
max<0,

16

又 f(1)=1>0,只须在区间[1,e]上 f(x)min>0. (1)当 a≥e 时,f(x)在区间[1,e]上单调递减, 解得 与 a≥e 矛盾. ,

(2)当 1<a<e 时,f(x)在区间[1,a)上单调递减,在区间(a,e]上单调 递增, ,解得 所以 . ,

(3)当 0<a≤1 时,f(x)在区间[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)>0,满 足题意. 综上,a 的取值范围为: .

20.某风景区在一个直径 AB 为 100 米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图 所示) .在点 A 与圆弧上的一点 C 之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植 绿化带; 从点 C 到点 B 设计为沿弧的弧形小路, 在路的一侧边缘种植绿化带. (注: 小路及绿化带的宽度忽略不计) (1)设∠BAC=θ(弧度) ,将绿化带总长度表示为 θ 的函数 S(θ) ; (2)试确定 θ 的值,使得绿化带总长度最大.

【考点】弧度制的应用. 【分析】 (1)利用三角函数结合弧长公式,可将绿化带总长度表示为 θ 的函数 S (θ) ; (2)求导数,确定函数的单调性,即可确定 θ 的值,使得绿化带总长度最大. 【解答】解: (1)由题意,AC=100cosθ,直径 AB 为 100 米, ∴半径为 50 米,圆心角为 2θ,∴ =100θ, ) ;

∴绿化带总长度 S(θ)=200cosθ+100θ(θ∈(0, (2)∵S(θ)=200cosθ+100θ,
17

∴S′(θ)=﹣200sinθ+100, 令 S′(θ)=0,可得 θ= 函数在(0, ∴θ= . , )上单调递减,

)上单调递增,在(

时,绿化带总长度最大.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ ,其中 a∈R. (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意 x∈(1,+∞) ,都有 f(x)>﹣x+2,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求在某点出的切线方程,关键是求出斜率 k,利用导数就可以斜 率,再利用点斜式求切线方程. (Ⅱ)设 g(x)=xlnx+x2﹣2x,则 g(x)>a,只要求出 g(x)的最小值就可以. 【解答】解: (Ⅰ)由 ∴ ∴k=f′(1)=3, 又∵f(1)=﹣2, ∴函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 3x﹣y﹣5=0; , ,

(Ⅱ)由 f(x)>﹣x+2,得 即 a<xlnx+x2﹣2x, 设函数 g(x)=xlnx+x2﹣2x, 则 g′(x)=lnx+2x﹣1, ∵x∈(1,+∞) , ∴lnx>0,2x﹣1>0,



∴当 x∈(1,+∞)时,g′(x)=lnx+2x﹣1>0, ∴函数 g(x)在 x∈(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时,g(x)>g(1)=﹣1,
18

∵对于任意 x∈(1,+∞) ,都有 f(x)>﹣x+2 成立, ∴对于任意 x∈(1,+∞) ,都有 a<g(x)成立, ∴a≤﹣1.

22.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; ( 3 ) 在 ( 2 ) 的 条 件 下 . 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;导数的运算. 【分析】 (1)求导函数,确定函数的单调性,从而可得 f(x)在 x=lna 处取得极 小值,且为最小值; (2)f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,即在 x∈R 上,f(x)min≥0.由(1) , 构造函数 g(a)=a﹣alna﹣1,所以 g(a)≥0,确定函数的单调性,即可求得实 数 a 的值; (3)由(2)知,对任意实数 x 均有 ex﹣x﹣1≥0,即 1+x≤ex,令 N* , k=0 , 1 , 2 , 3 , … , n ﹣ 1 ), 可 得 (n∈ ,从而有 , 证 明 :

,由此即可证得结论. 【解答】 (1)解:由题意 a>0,f′(x)=ex﹣a, 由 f′(x)=ex﹣a=0 得 x=lna. 当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0;当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增. 即 f(x)在 x=lna 处取得极小值,且为最小值,其最小值为 f(lna)=elna﹣alna ﹣1=a﹣alna﹣1. (2)解:f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,即在 x∈R 上,f(x)min≥0. 由(1) ,设 g(a)=a﹣alna﹣1,所以 g(a)≥0. 由 g′(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna=0 得 a=1.
19

∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴g(a)在 a=1 处取得最大值,而 g(1)=0. 因此 g(a)≥0 的解为 a=1,∴a=1. (3)证明:由(2)知,对任意实数 x 均有 ex﹣x﹣1≥0,即 1+x≤ex. 令 (n∈N*,k=0,1,2,3,…,n﹣1) ,则 .

∴ ∴ =





2017 年 2 月 11 日

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