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2011高考数学北师大版一轮复习:1.7《函数的图象》


第七节

函数的图象

知识整合

1.作图 (1)描点法:其步骤是: 列表 、描点 、 连线 . (2)图象变换法:通过基本函数的图象经过 对称 、 平移 、 伸缩 等变换作出 相应的函数图象. (3)作函数图象的一般步骤 ①求出函数的定义域; ②化简函数式; ③讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图象上的特殊点、

线(如渐近线、

对称轴等);
(4)利用基本函数的图象画出所给函数的图象.

归纳拓展
(1)平移变换

(2)伸缩变换:

(3)对称变换:

2.识图
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围,变化趋势,对 称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象 与函数解析式中参数的关系.

3.用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的 直观性,它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具,要重视数形结合解 题的思想方法.

活学巧用

1.下列图象表示具有奇偶性的函数的是(

)

【答案】 B

2.函数f(x)= A.y轴对称

-x的图象关于(

)

B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称

D.直线y=x对称

【解析】 f(-x)=

∵f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又 -(-x)=- =-f(x),

∴f(x)是奇函数,它的图象关于原点对称,故选C.

【答案】

C

3.为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象上所有的点( A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

)

【解析】 由y=2x得到y=2x-3-1,需用x-3换x,用y+1换y,即
∴按平移向量(3,-1)平移,即向右平移3个单位,向下平移1个单位.

【答案】

A

4.已知下列曲线:

以下编号为①②③④的四个方程: ① =0;②|x|-|y|=0;③x-|y|=0;④|x|-y=0.

请按曲线A、B、C、D的顺序,依次写出与之对应的方程的编号________. 【解析】 【答案】 按图象逐个分析,注意x、y的取值范围. ④②①③

5.一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截,设截面上部的小棱 锥的体积为y,截面下部的几何体的体积为x,则y与x的函数关系可以表示 为如下图所示中的________(填入正确图象的序号).

【解析】 【答案】

∵x+y=V,所以y=-x+V.故填③. ③

感悟高考

识图 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图.

则函数y=f(x)· g(x)的图象可能是(

)

【思路点拨】

根据图象可知f(x)和g(x)分别为偶函数和奇函数,结合函数

的其他性质,如最值点及其他特殊值即可做出判断.

【解析】 从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数,故f(x)· g(x)
是奇函数,排除B. 又∵g(x)的定义域为{x|x≠0},

故排除C、D.

【答案】

A

作图 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lgx|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1.

【解析】

?lg x ? (1)y= ? ?-lg x ?

(x≥1) (0<x<1)

.图象如图(1).

(2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图(2). ?x2-2x-1 (x≥0) ? (3)y= ? 2 .图象如图(3). ? x +2x-1 (x<0) ?

注: 本题先将函数化简,转化为作基本函数的图象的问题.作分段函数的
图象时要注意各段间的“触点”.同时也可利用图象变换得出.

精练解析

1.作出下列函数的图象:
(1)y=|x-2|·(x+1); (2)y= ;

(3)y=|log2(x+1)|.

【解析】 (1)先化简,再作图. ?x2-x-2 (x≥2) ? y= ? .(如图(1).) 2 ?-x +x+2 (x<2) ? (2)此函数为偶函数, ?1? x 利用 y= ? ? (x≥0)的图象进行变换.(如图(2)). ? 2?

(3)利用y=log2x的图象进行平移和翻折变换.(如图(3)).

用图 已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|. (1)作出函数y=f(x)的图象; (2)解不等式|x-8|-|x-4|>2.

【解析】 (1)f(x)=

图象如右图所示
(2)不等式|x-8|-|x-4|>2,即f(x)>2. 由-2x+12=2得x=5. 由函数f(x)图象可知,原不等式的解集为(-∞,5).

注: 函数的图象是函数的表示方法,可以与数结合起来,所以

利用图象可以研究函数的性质、研究不等式、研究方程根的个数
等等.而用图象时,一般经历作图和识图两个环节,识图时一般 从定义域、单调性、奇偶性、最值、极值、特殊点等方面去认识

图象.

精练解析
2.方程2-x+x2=3的实数解的个数为________. 【解析】 方程变形为3-x2=2-x= . ,

令y=3-x2,y=

由图象可知有2个交点. 【答案】 2

高考瞭望

数学研究的主要对象就是数和形,而数形结合是数学最重要的 思想方法.毫无疑问是高考的热点.高考主要考查作函数图象的

方法,如何判断函数的图象以及函数图象的应用(如解不等式,判
断方程解的个数等问题).

1.为了得到函数y=lg 点( )

的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 【解析】 ∵y=lg =lg(x+3)-1,∴将y=lg x的图象上的点向左

平移3个单位长度得到y=lg(x+3)的图象,再将y=lg(x+3)的图象上的点向下 平移1个单位长度得到y=lg(x+3)-1的图象.

【答案】 C

2.设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a的值为( A.3 B.2

)

C.1
【解析】

D.-1
由题意可得对于x∈R,f(x+1)=f(1-x)恒成立,A

|x+2|+|x+1-a|=|-x+2|+|-x+1-a|,即: |x+2|+|x+1-a|=|x-2|+|x-1+a|, ∴1-a=-2,得a=3.故选A. 【答案】 A


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