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2012年高考新课标理科数学试卷及答案[1] 2


2012 年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学
第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1、已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为 (A)3 (B)6 (C)8 (D)10

>
2、将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践 活动,每个小组有 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 (A)12 种 3、下面是关于复数 z= P1: z =2 P3:z 的共轭复数为 1+i 其中真命题为 (A). P2 ,P3 4、设 F1,F2 是椭圆 E: (B) P1 ,P2
2 2

(B)10 种
2 的四个命题 ?1 ? i

(C)9 种

(D)8 种

P2: z 2 =2i P4 :z 的虚部为-1

(C)P2,P4

(D)P3,P4

2a x y + 2 =1 (a>b>0)的左、右焦点 ,P 为直线 x ? 上 2 3 a b

的一点, △F2 PF 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为 1 (A)
1 2

(B)

2 3

(C)

3 4

(D)

4 5

5、已知{ an }为等比数列, a4 ? a1 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7

6、如果执行右边的程序图,输入正整数 N ( N ? 2) 和 实数 a1 , a2 ,?an ,输入 A,B,则 (A)A+B 为的 a1 , a2 ,?an 和 (B)
A? B 为 a1 , a2 ,?an 的算式平均数 2
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(C)A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?an 中最大的数和最 小的数 (D)A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?an 中最小的数和最 大的数

7、如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出 的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 (A)6 (D)18 8、 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与 抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A ,B 两点, AB ? 4 3 , 则 C 的实轴长为 (A) 2 (D)8 ( B) 2 2 (C) 4 (B)9 (C)12

? ? 9、已知 w>0,函数 f ( x) ? sin(?x ? ) 在 ( , ? ) 单调递减,则 ? 的取值范围是 2 4 1 5 1 3 1 (A) [ , ] (B) [ , ] (C) (0, ] (D) (0,2] 2 4 2 4 2

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10、已知函数 f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大致为 ln(x ? 1) ? x

y

y

1
O 1

1
x
(B)
O 1

x

(A)

y

y

1
O 1

1
x
(D)
O 1

x

(C)

11、已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正 三角形,SC 为 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 (A)
2 6

(B)

3 6

(C)

2 3

(D)

2 2

12、设点 P 在曲线 y ?
1 ? ln 2 (A)

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则|PQ|的最小值为 2

(B) 2 (1 ? ln 2)

1 ? ln 2 (C)

(D) 2 (1 ? ln 2)

第Ⅱ 卷
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本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考试依据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13、已知向量 a , b 夹角为 45° ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ,则 b =____________.

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 ? 14、设 x,y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的取值范围为__________. x ? 0 ? ? ?y ? 0
15、某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作, 且元件 3 正常工作, 则部件正常工作。 设三个电子元件的使用寿命 (单位: 小时) 均服从正态分布 N(1000, 502 ) ,且各个元件能否正常工作互相独立,那么该部 件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_________________.

元件 1 元件 3 元件 2

16、数列 ?an ?满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 ?an ?的前 60 项和为________。

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对 边, a cosC ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。
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(Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a ? 2 , △ ABC 的面积为 3 ,求 b , c 。

18、 (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价 格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需 求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 频数 10 20 16 16 15 13

20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, x 表示当天的利润(单位:元) ,求 x 的分 布列、数学期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由。

19、 (本小题满分 12 分) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AC ? BC ?
DC1 ? BD 。
1 AA1 , D 是 棱 AA1 的 中 点 , 2 C1 B1

(1) 证明: DC1 ? BC ; (2) 求二面角 1 A1 ? BD ? C 的大小。

A1

D
C

B

A
20、 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l, A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点。 (1) 若∠BFD=90° , △ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程;

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(2) 若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 之有一个公共 点,求坐标原点到 m , n 距离的比值。

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ' (1)e x ?1 ? f (0) x ? (1) 求 f ( x) 的解析式及单调区间; (2) 若 f ( x ) ?
1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2

1 2 x 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 作答时请写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC 的外接圆 于 F,G 两点,若 CF∥AB,证明: (Ⅰ)CD=BC;
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A

G

D

E

F

(Ⅱ) △BCD ∽△GBD 。

23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程

? x ? 2 cos? 已知曲线 C1 的参数方程式 ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的 ? y ? 3 sin ?
正半轴为极轴建立坐标系, 曲线C2的极坐标方程式 ? ? 2 。 正方形 A B C D 的顶

? 点都在 C2 上,且 A , B , C , D 依逆时针次序排列,点A的极坐标为 (2, ) 。 2 (Ⅰ)求点 A , B , C , D 的直角坐标;
(Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

24、 (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 x ? 3 的解集; (2)若 f ?x? ? x ? 4 的解集包含 [1,2] ,求 a 的取值范围。

答案
一、选择:

1 D

2 A

3 C
第 7 页,共 11 页

4 C

5 D

6 C

7 B
二、填空:

8 C

9 A

10 B

11 A

12 B

13、 3 2 15、
3 8

14.、[-3,3]
16、1830

三、解答: 17、 (1)由正弦定理得:
a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
b?c?2

18、 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80
当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ?80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为 X
P

60 0.1

70 0.2

80 0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
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(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ?1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝

19、 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC
得: ?ADC ? 45
?

? ? 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90

得: DC1 ? DC , DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1? B1 C1 ? C1 O ? O H? B D ? 1C H ?

,面 A B 1 1 A 1B 1C1 ? 面 A 1BD ? C1O ? 面 A 1BD

H 与点 D 重合 B得:点 D

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2
?

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30

20、 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p
点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p
S?ABD ? 4 2 ?
2

1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2
2

圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8
2 p x0 (2)由对称性设 A( x0 , )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

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3p p ? 3p 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 m : y ? ) ,直线 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

x2 ? 2 py ? y ?

3p p x2 x 3 3 , ) ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ?3。 2 6
1 2

坐标原点到 m, n 距离的比值为

21、(1) f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x
令 x ? 1 得: f (0) ? 1

f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ?
得: f ( x) ? e ? x ?
x

1 2 x ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2

1 2 x ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ?1 ? x 2

g?( x) ? ex ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增
f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 ( ??, 0) (2) f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? ex ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0)
令 F ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)
2 2

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F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当x?

e 时, F ( x ) max ?

e 2
e 2

当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

22、(1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD/ / AD ? CD ? BF
CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD (2) BC / /GF ? BG ? FC ? BD BC / /GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD ? 5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 24、 (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2, ), (2, 3 6 3 6
点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

?GBD

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40

? 56 ? 20sin 2 ? ?[56,76]

23、 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?3 ? a ? 0

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