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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练数列的通项公式和数列求和


考点 20 数列的通项公式和数列求和
【考点分类】
热点一 求数列的通项公式
2 1 1.【2013 年全国高考新课标(I)理科】若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列{an}的通项公式是 an=______. 3 3

2.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

3. 【 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 】 设各项均为正数的数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,满足
2 ? 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1,n ? N ,且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ? an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科】 正项数列 ?an ? 满足a n ? (2n ? 1)an ? 2n ? 0.
2

( 1)求数列?an ? 通项公式an . (2)令bn ? 1 , 求数列?bn ? 前n项的和Tn . (n ? 1)an

an ?

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an ?1 ? an ? an ?1 ? n ? 3 3 3 3 an ?1 n ? 1

故有 an ?

an an ?1 a n ?1 n 3 n2 ? n ? ?? ? 2 ? a1 ? ? ??? ?1 ? an ?1 an ?2 a1 n ?1 n ? 2 1 2



12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? . 2 2

{bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn ( n ? N * ). 6. (2012 年高考(上海春) )已知数列 {an }、 

(1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N , 均有 bn ? bk ;
*

1 ? ( ?1)n (3)设 cn ? 2 ? n, an ? . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2
n

当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时,
*

bn ? bn ?1 ? (?1) n ?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n ?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? 3 2 3 2 6

? 2n n 13 ?? ? ? , ( n ? 2k ? 1) ? 3 2 6 * , (k ? N ) ? bn ? ? n (n ? 2k ) ?2 n 5 ? ? , ? ?3 2 3
n ?1 7.(2012 年高考(广东理) )设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 2Sn ? an ?1 ? 2 ? 1 , n ? N* ,且 a1 、 a2 ? 5 、 a3 成等差

数列. (Ⅰ)求 a1 的值 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ??? ? . a1 a2 an 2

?1? 1? ? ? n 1 1 1 1 1 3? ?1? ? 3 3? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 1 a1 a2 an 3 3 2? ? ? 3? ? ? 2 1? 3

n

【方法总结】求数列的通项公式,常见的有六种类型:
(1) 已知数列的前几项,求其通项公式. 常用方法:观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等. 根据数列前几项,观察规律,归纳出数列通项公式是一项重要能力. (2) 已知数列前 n 项和 S n ,或前 n 项和 S n 与 an 的关系求通项.
? S1 , n ? 1 利用 an ? ? 虽然已知 an 求 S n 时,方法千差万别,但已知 S n 求 an 时,方法却相对固定. ? S n ? S n ?1 , n ? 2

(3)已知递推公式求通项公式,对这类问题要求不高,主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.
a1 ? a ? (4)对于 ? (q ? 1, b ? 0) 型,求 an ,其关键是确定待定系数 ? ,使 ? an ?1 ? qan ? b
an?1 ? ? ? q(an ? ? ) ? ? ?

b q ?1

a1 ? a ? (5)对于 ? 型,求 an ,可用 an ? a1 ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) 的方法. ? an ? an ?1 ? f (n)

a1 ? a ? a a a (6)对于 ? 型,求 an ,可用 an ? a1 ? 2 ? 3 ? ?? n 的方法. a1 a2 an ?1 ? an ? f (n)an ?1

热点二 数列求和
8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 】设 S n 为数列 ? an 的前 n 项和,Sn ? (?1) n an ?

?

1 , n ? N ?, 2n

则(1) a3 ? _____; (2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________.

a2 k ?1 ? a2 k ? 2 ? 0 ,所以 S1 ? S 2 ? ??? ? S100

50 1? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? 4? ? ?4? ? ? 1 1 ? S1 ? S3 ? ... ? S99 ? ? ( 100 ? 1) . 1 3 2 1? 4

9. (2012 年高考(福建文) )数列 ? an ? 的通项公式 an ? n cos A.1006 B.2012 C.503

n? ,其前 n 项和为 S n ,则 S 2012 等于( 2



D.0

10.【2013年全国高考新课标(I)文科】 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3 ? 0 , S5 ? ?5 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1

11.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】 等差数列 ? an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ? an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . nan

解得 a1 ? 1, d ?

1 . 2

所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) bn ?

n ?1 . 2

1 2 2 2 , ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1

所以 Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

2 1

2 2

2 2

2 3

2 n

2 2n )? n ?1 n ?1

12.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 】 设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4S 2 , a 2 n ? 2a n ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足
[来源:Z|xx|k.Com]

b b1 b2 1 ? ?? ? ?? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

[来源:学科网 ZXXK]

13.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 】

设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ?N ? (Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ nan }的前 n 项和.

14.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)】 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通 项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 T n ,且 Tn ? 和Rn.

an ? 1 ? ? ( ? 为常数),令 cn ? b2 n ? n ? N * ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项 n 2

15. (2012 年高考(江西理) )已知数列 {an}的前 n 项和 Sn ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn. 2n

16. ( 2012 年高考(山东理) )在等差数列 ? an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)对任意 m ? N *,将数列 ?an ? 中落入区间 (9 ,9
m

2m

) 内的项的个数记为 bm ,求数列 ?bm ? 的前 m 项和 S m .

【方法总结】数列求和的常用方法
1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式: n?a1+an? n?n-1? Sn= 2 =na1+ 2 d; (2)等比数列的前 n 项和公式: na1,q=1, ? ? Sn=?a1-anq a1?1-qn? = ,q≠1. ? ? 1-q 1-q 2.倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数, 那么求这个数列 的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这 个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 5.分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和 法,分别求和而后相加减. 6.并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两 项合并求解.

【考点剖析】
一.明确要求
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.熟练掌握和应用等差、等比数列的前 n 项和公式. 3.熟练掌握常考的错位相减法,裂项相消以及分组求和这些基本方法,注意计算的准确性和方法选 择的灵活性.

二.命题方向
1.数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和,特别是错位相减出现的机率较高.题型上以解答题为主. 2.数列的通项公式的考查在高考中主要考查利用 an 和 Sn 的关系求通项 an,以选择、填空题为主,较为简单,若涉 及递推公式常为解答题,属中等难度题目.

三.规律总结
由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等. 1.构造等比数列,已知首项 a1,如果递推关系为 an+1=qan+b(n∈N*)时,求数列{an}的通项公式的关键是将 an+1=qan+b 转化为 an+1+a=q(an+a )的形式, 其中 a 的值可由待定系数法确定, 即 qan+b=an+1=qan+(q-1)a?a = b (q≠1).(此种方法称为待定系数法) q-1 2. 已知 a1 且 an-an-1= + f(n-1)+…+ f(n)(n≥2), 可以用“累加法”, 得(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)= f(n)

f(3)+ f(2), f(n). f(n)· f(n-1)·…· f(3)· f(2),即 an

即 an=a1+ f(2)+ f(3)+…+ f(n-1)+ an 3.已知 a1 且 = an-1

an an-1 a3 a2 f(n)(n≥2),可以用“累乘法”,得 · ·…· · = an-1 an-2 a2 a1

=a1· f(2)· f(3 )·…·

f(n-1)· f(n).

一种思路 一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有 关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. 两个提醒 在利用裂项相消法求和时应注意: (1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差; (2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下两项. 三个公式: (1) (2) (3) 1 1 1 =n- ; n?n+1? n+1 1 ? 1 1? 1 =2?2n-1-2n+1?; ?2n-1??2n+1? ? ? 1 n+ n+1 = n+1- n.

【考点模拟】
一.扎实基础 1. 【广东省惠州市 2013 届四月高三第一次模拟考试】在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第 25 项为 (
A.2 B.6 C.7 D.8 )

2. 【广东省惠州市 2013 届高三第三次调研考试】数列{ a n } 中, an ?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则数列{ a n }前 12 项和 等于( A.76 ) B.78 C. 80 D.82

3. 【2013 届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若数列 ?a n ?的通项为 an ?

2 ,则其 n(n ? 2)

前 n 项和 S n 为( A. 1 ?

) B.

1 n?2

3 1 1 ? ? 2 n n ?1

C.

3 1 1 ? ? 2 n n?2

D.

3 1 1 ? ? 2 n ?1 n ? 2

4. 【2012-2013 学年度河北省普通高中 11 月高三教学质量监测】 已知数 列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? ( n ? N* ) ,则数列 {an } 的通项公式为( A. an ? 2n ? 1 B. an ? 2 ?

an , an ? 2



1 2n ?1

C. an ?

1 2 ?1
n

D. an ?

1 3 ?2
n

5. 【云南玉溪一中高 2013 届高三上学期第三次月考】数列{an}的通项公式是 an= 则项数 n 为( A.120 【答案】A 【解析】由 an ? ) B.99 C.11 D.121

1 n ? n ?1

,若前 n 项和为 10,

n ?1 ? n ?? n ? 1 ? n ,所以 ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n )

a1 ? a2 ? ? ? an ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? 10 ,即 n ? 1 ? 1 ? 10 ,即 n ? 1 ? 11 ,解得
n ? 1 ? 121, n ? 120 .选 A.
6. 【山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试】下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规 律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是___________.

7. 【天津市新华中学 2013 届高三上学期第三次月考数学试卷】 设数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 2n ,(n∈N﹡),且
a1 ? 1 ,则数列 {an } 的通项公式为
.

8. 【天津市新华中学 2013 届高三上学期第三次月考数学试卷】
若S ?

1 1 1 ,则 S ? ? ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

.

[来源:学科网]

?

1 1 n 。 (1 ? )? 2 2n ? 1 2 n ? 1

9. 【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1=1 ,an =Sn-1,(n≥2), 则 an =_____.

10. 【山东省滨州市 2013 届高三第一次模拟】若等比数列 {an } 的首项是 a1 ,公比为 q , S n 是其前 n 项和,则
S n =_____________.

二.能力拔高 11. 【 浙 江 省 镇 海 中 学 2013 年 高 三 考 前 模 拟 】 数 列 ?an ? 满 足 a1 ?
m? 1 1 1 的整数部分是( ) ? ? ? ? a1 a2 a2 0 1 3
A.1 B.2 C.3 D.4

4 2 , an ?1 ? an ? an ? 1(n ? N* ) , 则 3

12. 【 2013 年 东 北 三 省 四 市 教 研 协 作 体 等 值 诊 断 联 合 考 试 长 春 三 模 】 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 0 ,
an ?1 ? an ? 2 an ? 1 ? 1 ,则 a13 ? (
A. 143 B. 156 ) C. 168 D. 195

13. 【2013 年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】已知等差数列 {an } 的通项公式为 an ?
An ?| an ? an?1 ? ??? ? an?12 | (n ? N ? ) ,则当 An 取最小值时, n 的取值为(


64 ? 4n ,设 5

A.16

B.14

C.12

D.10

14. 【2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】 在数列 ? a n ?中,a1 ? 1 ,a 2 ? 2 , 若 a n ? 2 ? 2a n ? 1 ? a n ? 2 ,
则 a n 等于( (A) ) (B) n 3 ? 5n 2 ? 9n ? 4 (D) 2n ? 5 n ? 4
2

1 3 2 6 n ? n? 5 5 5
2

(C) n ? 2 n ? 2

事实上,可以配凑成 (a n ? 2 ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ) ? 2 ,但这需要一定配凑意识、观察能力和思维的灵活,而这正是 解决本题的难点所在. 15. 【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1,an ? log n (n ? 1) (n ? 2,n ? N ) .定义:使乘积 a1 ? a2 ? … ?ak 为正整数的
*

k (k ? N * ) 叫做“简易数”.则在 [1, 2012] 内所有“简易数”的和为

.

【答案】2036 【解析】? an ? log n (n ? 1) ?

lg(n ? 1) , lg n

? a1 ? a2 ? … ?ak ? 1?

lg 3 lg 4 lg(k ? 1) lg(k ? 1) ? ????? ? ? log 2 (k ? 1) ,则“简易数”为使 log 2 ( k ? 1) 为整数,即满足 lg 2 lg 3 lg k lg 2

2n ? k ? 1, 所以 k ? 2n ? 1, 则在 [1, 2012] 内所有“简易数”的和为

21 ? 1 ? 22 ? 1 ? ??? ? 210 ? 1 ?

2(1 ? 210 ) ? 10 ? 1023 ? 2 ? 10 ? 2036. 1? 2

16. 【河北省邯郸市 2013 年高三第二次模拟考试】
数列? an ? 的前 n 项和为 s n ,若 数 列 ?an ? 的各项排列如下:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 , , , , , , , , , …, , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n



n ?1 ,…,若 S k ? 18 ,则 ak =___. n

17. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】

在数列

{a n }

中,

a1 ? 1, a2 ? 2



an ? 2

等于

a n ? a n ?1

除以 3 的余数,则

{a n }

的前 89 项的和等于________.

【答案】 100 【解析】设 an? 2 等于 an ? an ?1 除以 3 的余数为 an ? 2 ? [

an ? an ?1 a ?a ] ,则 a3 ? [ 1 2 ] ? 0, 3 3

a4 ? [

a2 ? a3 a ?a a ? a5 a ?a a ? a7 ] ? 2, a5 ? [ 3 4 ] ? 2, a6 ? [ 4 ] ? 1, a7 ? [ 5 6 ] ? 0, a8 ? [ 6 ] ? 1, 3 3 3 3 3 故数列前八项为
{a n }
的前 89 项的和等于 11(1 ? 2 ? 0 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1) ? 1 ? 100.

1,2,0,2,2,1,0,1,且周期为 8,故

18. 【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】
2 设 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和,且 an 和 S n 满足: 4Sn ? (an ? 1) (n ? 1, 2,3,?) ,则

Sn =



19. 【上海市崇明 2013 届高三一模】 数 列 {an } 满足 an ?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {an } 的前 60 项和等于 .

20. 【北京市顺义区 2013 届高三第一次统练】已知 ?a n ? 为等差数列,且 a 2 ? ?1, a5 ? 8 . (I)求数列 a n 的前 n 项和; (II)求数列 2 n ? a n 的前 n 项和.

? ?

?

?

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

所以 ? Tn ? 2a1 ? d 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? 2 n ?1 a n . 由(I)可知, a1 ? ?4, d ? 3, a n ? 3n ? 7 ,

?

?

4 1 ? 2 n ?1 ? ?3n ? 7 ? ? 2 n ?1 ? ?20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1 , 所以 ? Tn ? ?8 ? 3 ? 1? 2
故 Tn ? 20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1 .………………………………………………13 分

?

?

三.提升自我

21. 【安徽省马鞍山市 2013 届高三第三次教学质量检测】数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? an ? 2n ? 5 .
(Ⅰ)求 a2 、 a3 、 a4 ; (Ⅱ)求 an 的表达式; (Ⅲ)令 Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? ? a2 n ?1a2 n ?a2 na2 n ?1 ,求 Tn .

(Ⅲ) Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ? ? a2n?1a2 n ? a2 n a2 n?1
? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2n (a2n ?1 ? a2n ?1 ) ? ?2(a2 ? a4 ? ? ? a2n )

…10 分

2 n(a2 ? a2 n ) ? ? n( 4 ? 2 n ?2 ) ? ? n 2 ?. n 6 2 22. 【2013 年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市(州)高三联合考试】

? ?2 ?

数列{an}是公比为

1 的等比数列, 且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列,b1=8,其前n 2

项和Tn满足Tn=n ? · bn+1( ? 为常数,且 ? ≠1). (I)求数列{an}的通项公式及 ? 的值; (Ⅱ)比较

1 1 1 1 1 + + +…+ 与了 Sn的大小. T1 T2 T3 Tn 2

23. 【2013 年山东省日照高三一模模拟考试】 若数列 ?bn ? : 对于 n ? N ? , 都有 bn ? 2 ? bn ? d (常数) , 则称数列 ?bn ?
是公差为 d 的准等差数列.如数列 cn :若 cn ? ?

? 4n ? 1, 当n为奇数时; ? 4n ? 9, 当n为偶数时.

则数列?cn ? 是公差为 8 的准等差数列.设数列

?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ? ,都有 an ? an?1 ? 2n .
(I)求证: ? an ? 为准等差数列; (II)求证: ? an ? 的通项公式及前 20 项和 S20 .

24. . 【 2013 年 天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 高 三 毕 业 班 联 考 】 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且
,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且点 P(bn , bn ?1 ) (n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上. Sn ? 2an ? 2 ( n? N* ) (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ; (Ⅲ)设 cn ? an ? sin 2

n? n? ? bn ? cos 2 ( n ? N *) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2 n . 2 2

25. 【山东省淄博市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试】
设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( an , S n ) 在直线 y ? (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)在 a n 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的 等差数列,求数列 ?

3 x ? 1 上. 2

?1? ? ? 的前 n 项和 Tn . ? dn ? ?

1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 n ? 1 5 2n ? 5 3 ……………………………………11 分 ? ? ?3 ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 8 8 ? 3n 1? 3 15 2n ? 5 ……………………………………12 分 ?Tn ? ? 16 16 ? 3n ?1

【考点预测】
1. 数列{ an }的通项公式 an ? ? sin ? A. 1232 . 2580 C: 3019

? n ?1 ? ,则 S 2013 =( ? ? +1,前 n 项和为 Sn( n ? N * ) ? 2 ?



D. 4321

2.已知函数 f ? n ? ? n cos ? n? ? ,且 an ? f ? n ? ? f ? n ? 1? , 则 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a100 ? (
2



A. ?100

B.0

C.100

D.10200

3.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , n(an ?1 ? an ) ? an ? 2, n ? N ? ,则数列 {an } 的前 n 项和 S n 等于

.

4.已知向量 p ? (an , 2 ), q ? (2
n

? ?

?

n ?1

? ? ? , ?an ?1 ), n ? N * , 向量 p 与 q 垂直,且 a1 ? 1.

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log 2 an ? 1 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n .

5.已知等比数列{a n }满足 a1 a 2 ? ? , a3 ? (I) 求{a n } 的通项公式; (II) 设 bn ?

1 3

1 9



]

bn n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ... ? ,求数列 { } 的前 n 项的和. an 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

= (n+1) 1-

[(

1 1 1 1 1 + - +…+ - =n. 2 2 3 n n+1

) (
n n

)

(

)]

…7 分

记数列

{b }的前 n 项的和为 S ,则 a
n

[来源:学+科+网]

Sn=1+2× (-3)+3× (-3)2+…+n× (-3)n 1, -3Sn=-3+2× (-3)2+3× (-3)3+…+n× (-3)n, 两式相减,得 1-(-3)n - 4Sn=1+(-3)+(-3)2+…+(-3)n 1-n× (-3)n= -n× (-3)n, 4 1-(4n+1)(-3)n 故 Sn= . 16


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