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浙江省2013年高考数学仿真模拟试卷2(文科)


2012 年高考模拟文科数学试卷 2
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求) 1.已知集合 A={x|-1<x≤1},B={x|x2-x≥0},则 A∩B 等于 ( ) A.(0,1) B.(-1,0] C.[0,1) D.(-1,0] ∪{1} ( D. ?1 ? i ( ) D.既不充分也不必要条件 )

2 2. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 z ?

2 z

A. 1 ? i

B. ?1 ? i

C. 1 ? i

3.已知 A={x||x-1|≤1, x∈R},B={x|log2x≤1,x∈R},则“x∈A”是“x∈B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 4.设 m,n 是不同的直线, ? ? 是不同的平面,则下列四个命题 ① α∥ m ? ? ,则 m∥ 若 β, β ③ α⊥ 若 β,m∥ α,则 m⊥ β 其中正确的是 A.① ③ B.② ③ C.① ④ D.② ④ ② m∥ n ? ? ,则 m ∥ 若 α, n ④ m⊥ 若 α,m∥ β,则 α⊥ β ( )

5.各项都是正数的等比数列 {an } 中,且 a2 、

1 a ?a a3 、 a1 成等差数列,则 3 4 的值为 2 a4 ? a5





A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 1? 5 或 2 2
开始

6. 计算机执行右边程序框图设计的程序语言后,输出的 数据是 55,则判断框内应填 A.n<7 B.n≤7 C.n≤8 ( D.n≤9 )

x=1,y=1,n=1

7. 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, 满足 a ? 零点的一个区间是 A.(-2,0) B.( -1,0) (

c b ? 且c ? 0, 则含有 f ( x ) 4 2
D.(0,2)

z=x+y ? 是 x=y y=z n=n+1 输出 z 结束 否



C.(0,1)

8.如果正数 a 、 b 、 c 、 d 满足 a ? b ? cd ? 4 ,则下列各式 恒成立的是 A. ab ? c ? d C. ab ? c ? d 9.已知 B. ab ? c ? d D. ab ? c ? d ( )

f ( x) ? x ? sin x, x1, x2 , x3 ? R, 且 x1 ? x2 ? 0 ,


x2 ? x3 ? 0 x1 ? x3 ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) (
A.是正数 10.函数 y ? tan? B.是负数 C.是零 D.不能确定

?? ?? x ? ??0 ? x ? 4? 的图像如图所示, A 为图像与 x 轴 的交点, 2? ?4

过点 A 的直线 l A. ?8

与函数的图像交于 B、C 两点,则 OB ? OC ? OA ? C.4 D.8

?

?

(

)

B. ?4

二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在题中横线上) 11.某高中共有 2000 名学生,采用分层抽样的方法,分别在三个年级的学生中抽取容量为 100 的一个样 本,其中在高一、高二年级中分别抽取 30、30 名学生,则该校高三有 _________名学生.

12. 经过点 M(l, 2)的直线 l 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 64 相文于 A、 两点, B 则|AB|的最大值等于_______。

?log 2 x, (0 ? x ? 1) 13. 函数 f ( x) ? ? 的值域是__________。 ??2( x ? 1)( x ? 3), ( x ? 1)
14. 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为_____。

1

1

1
1 2 1 2 1 2

1
1 2

1

1

?y ? 2 y ? 15.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 的最小值为 x ?x ? y ? 2 ? 0 ?
16.甲、乙、丙、三本书按任意次序放置在书架的同一排上, 则甲在乙前面,丙不在甲前面的概率为 17. 定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足: ①对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) 成立;
/ ② f (0) ? ?1 ; ③当 x ? (?1,0) 时,都有 f ( x) ? 0 .

正视图

左视图



1
1

俯视图



若方程 f ( x) ? 0 在区间 [a,3] 上恰有 3 个不同实根,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(共 5 小题,共 72 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)



18、(本题满分 14 分)已知向量 a ? (2 cos x,sin x) , b ? (cos x, 2 3 cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1 。 (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间. (2)在△ABC 中, a , b, c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 1 且 f ( A) ? 3 ,求△ABC 面积 S 的最大值.

?

?

?

?

19.(本题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足:S n ? a (S n ? an ? 1) ( a 为常数,a ? 0, a ? 1)
2 (1)求 ?an ? 的通项公式;(2)设 bn ? an ? S n ? an ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值。

20、(本题满分 14 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , AD ? 2 , E 为 AB 的中点,现将△ ADE 沿直 线 DE 翻折成△ A?DE ,使 A 在平面 BCDE 的射影在 DE 上, F 为线段 A?D 的中点. (1)求证: EF ∥平面 A?BC ; (2)求直线 A?C 与平面 A?DE 所成角的 正切值. A' C D F
'

C D

A

E

B

E

B

21.(本小题 15 分)已知函数

f ( x) ? ax ?

1 1 ? ln x , a ? R , x ? [ , 2] 。 x 2

(1)当 a ? ?2 时,求 f ( x ) 的最大值; (2) g ( ) ?f( x n ? x x? 设 x [ ) l ]
2

,k 是 g ( x) 图像上不同的两点的连线的斜率, 是否存在实数 a , 使得 k ? 1

恒成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

2 22、(本题满分 15 分)已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) , F 为抛物线 C 的焦点, A 为抛物线 C 上的动

点,过 A 作抛物线准线 l 的垂线,垂足为 Q . (1)若点 P(0,4) 与点 F 的连线恰好过点 A ,且 ?PQF ? 90 ,求抛物线方程;
?

(2)设点 M (m,0) 在 x 轴上,若要使 ?MAF 总为锐角,求 m 的取值范围.

2012 年高考模拟文科数学试卷 2 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C C B A B A D 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 (11) 800 (15) (12)16 (16) (13) (??, 2] (14) ? ? 1

1 3

1 3

(17) (?3,?1]

三. 解答题: 本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 解:因为 f ( x) ? a ? b ? 2 cos x 2 ? 2 3 sin x. cos x ? 1 = cos2x ? 3 sin 2x ? 2 = 2 sin( 2 x ? ??????2 分 ??????3 分 ??????5 分

?

? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

6

)?2

, (k ? Z )

解得: k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

所以 f (x) 的单调增区间为 [ k? ? (2) f ( A) ? 3,? sin( 2 A ?

?
3

, k? ?

?
6

]( k ? Z )

??????7 分

?
6

) ?1
?? ????9 分

5? ? ,? A ? 6 6 6 2 2 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? c ? 2bc ?bc ? 1 0 ? A ? ? ,? 2 A ? ?

?

??????12 分 ??????14 分

?S ?

1 3 3 bc sin A ? 的最大值 ? S 的最大值为 2 4 4
∴ a1 ? a,

19. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ) S1 ? a(S1 ? a1 ? 1) 当 n ? 2 时, S n ? a(S n ? an ? 1) 两式相减得: an ? a ? an?1 , ∴ an ? a ? an?1 ? an (Ⅱ)由 a≠1 得 bn ? (a ) ?
n 2 n

??????2 分

S n?1 ? a(S n?1 ? an?1 ? 1)

an ? a (a≠0,n≥2)即 {an } 是等比数列 ?????? 5 分 an ?1
?????? 7 分
2n n

a(a ? 1) n (2a ? 1)a ? aa a ? , ?????? 10 分 a ?1 a ?1 2 3 若 {bn } 为等比数列,则有 b2 2 ? b1b3 , 而 b1 ? 2a , b2 ? a (2a ? 1) , b3 ? a4 (2a2 ? a ? 1)
故 [a (2a ? 1)] ? 2a ? a (2a ? a ? 1) ,
3 2
2 4 2

1 , 2 1 1 n 再将 a ? 代入得 bn ? ( ) 成立, 2 2 1 所以 a ? . 2
解得 a ? 20.(本题满分 14 分)

??????12 分

??????14 分

解:(I)证明:取 A?C 的中点 M ,连接 MF , MB , 则 FM ∥ DC , 且 FM = FM

1 1 DC ,又 EB ∥ DC ,且 EB = DC ,从而有 2 2
??????4 分 ??????6 分

//

EB,所以四边形 EBMF 为平行四边形, 故有 EF ∥ MB , 又 EF ? 平面 A?BC , MB ? 平面 A?BC , 所以 EF ∥平面 A?BC . (II)过 C 作 CO ? DE , O 为垂足,连接 A?O ,
'

因为 A 在平面 BCDE 的射影在 DE 上,所以平面 A?DE ⊥平面 BCDE , 且面 A?DE 交平面 BCDE = DE ,所以 CO ⊥ 平面 A?DE , 所以 ? CA?O 就是直线 A?B 与平面 A?DE 所成的角.?10 分 因为 E 为 AB 中点,? CE ? DE 因为平面 A?DE ⊥平面 BCDE ,且面 A?DE ? 平面 BCDE = DE , 所以 O 与 E 重合 因为 A?E ? 2, CE ? 2 2 所以 tan ? EA?C ?

CE ? 2, A?E
?????14 分

故直线 A?C 与平面 A?DE 所成角的正切值 2 . 21.(本题满分 15 分) 解: f ( x ) 的定义域为 [ , 2] , f ( x) ? a ?
'

1 1 ? ??2 分 x2 x 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ' ? 0 , ?????4 分 (1)当 a ? ?2 时,在 x ? [ , 2] , f ( x) ? ? 2 x2 1 所以 f ( x ) 在区间 [ , 2] 上单调递减, ??????6 分 2 1 故 f ( x) max ? f ( ) ? ln 2 ? 3 。 ??????7 分 2 1 (2)存在 a ? (??, ) 符合条件。 6 3 2 解法一:据题意在 y ? g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x = ax ? x 图像上总可以找到一点 P ( x0 , y0 ) 使以 p 为 0
??????9 分

1 2

切点的切线平行图像上的任意两点的连线,

y ? y2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 即存在 k ? 1 ? ? g ' ( x0 ) ? 3ax0 2 ? 1 ? 1恒成立,?????12 分 x1 ? x2 x1 ? x2 1 1 1 2 2 因为 x0 ? [ , 2] ,所以 x0 ? [ , 4] ,所以 a ? ( ??????14 分 ) = 2 min 2 4 6 3 x0 1 故存在 a ? (??, ) 符合条件。 ??????15 分 6 3 2 解法二:g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x = ax ? x , 不妨设任意不同两点 P ( x1 , y1 ) ,P ( x2 , y2 ) 其中 x1 ? x2 , 1 2
则k ?

y1 ? y2 y1 ? y2 a( x13 ? x23 ) ? ( x1 ? x2 ) 2 2 = a( x1 ? x2 ? x1x2 ) ?1 ? 1 ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
??????10 分

2 由于 k ? 1 恒成立,则 k ? 3ax22 ?1 ? 1 恒成立,知 a ? 2 恒成立??????12 分 3x

因为 x2 ? [ , 2] ,所以 x2 ? [ , 4] ,故 a ? (
2

1 2

1 4

2 1 ) ? , ????????14 分 2 min 3x 6
????????15 分

故存在 a ? (??, ) 符合条件。 22.(本题满分 15 分) 解(1)由题意知: | AQ |?| AF | ,? ?PQF ? 90? ,

1 6

? A 为 PF 的中点, p p p Q F ( ,0), ? A( ,2) ,且点 A 在抛物线上,代入得 2 ? 2 p ? ? p ? 2 2 2 4 4 2 所以抛物线方程为 y ? 4 2x . ??????5 分 (2)设 A( x, y) , y 2 ? 2 px , ? ? p 根据题意: ?MAF 为锐角 ? AM ? AF ? 0 且 m ? 2 ? ? p AM ? (m ? x, ? y ) AF ? ( ? x, ? y ) 2 ? ? p p pm AM ? AF ? 0 ? ( x ? m)( x ? ) ? y 2 ? 0 ? x 2 ? ( ? m) x ? ? y2 ? 0 2 2 2 3p pm ? 0 对 x ? 0 都成立 ? y 2 ? 2 px , 所以得 x 2 ? ( ? m) x ? 2 2 3p pm 3 p m 2 mp 3p m 2 2 ? m) x ? ? (x ? ? ) ? ?( ? ) ?0 令 f ( x) ? x ? ( 2 2 4 2 2 4 2 对 x ? 0 都成立 ??????9 分 m 3p 3p mp 3p m 2 ? 0 ,即 m ? ?( ? ) ? 0 成立, (1)若 ? 时,只要使 2 4 2 2 4 2 p 9p 3p 2 2 ?m? 整理得: 4m ? 20 mp ? 9 p ? 0 ? ,且 m ? , 2 2 2 3p 9p ?m? 所以 . ??????11 分 2 2 mp m 3p 3p ? 0 成立,得 m ? 0 ? 0 ,即 m ? (2)若 ? ,只要使 2 2 4 2 3p 所以 0 ? m ? ??????13 分 2 p 9p 由(1)(2)得 m 的取值范围是 0 ? m ? 且m ? . ??????15 分 2 2


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