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陕西省西安市第六十六中学2011届高三高考数学基础知识训练(8)


备考 2011 高考数学基础知识训练(8) 班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______ 一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.设集合 A={1,2,3,4},B={0,1,2,4,5},全集 U=A∪B,则集合?U (A∩B)中的元 素共有 ____________ 个.

2 已知 x ? ( ?

r />?
2

, 0) , cos x ?

4 ,则 tan 2 x ? ________________. 5

3 在△ABC 中, cos A cos B ? sin Asin B ,则△ABC 为________________三角形.

2

1

1

1

4.化简 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? (

1 6 6 a b ) 的结果是________________. 3

1

5

5

tan 200 ? tan 400 ? 3 tan 200 tan 400 ? ________________.

6 函数 f 的最小正周期是________________. () x ? c o s 2 x ? 2 3 s i n x c o s x

7 已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为

8 已知 cos 2? ?

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为________________. 3

9 若

1 ? tan ? 1 ? ?2009 则 ? tan 2? ? ________________. 1 ? tan ? cos 2?

10

设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ?
0 0 0 0

6 , 则 a, b, c 大 小 关 系 2

________________.

11.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为________________.

12

?ABC 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为
大值,且这个最大值为________________.

时, cos A ? 2 cos

B?C 取得最 2

13 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , f (?1) ? 1 , 则

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 0 0 ) 9的值为________________.

14.函数 f ( x) ? x ? 2 x , x ? [ ?1, m] 图象上的最高点为 A,最低点为 B,A、B 两点之间
2

的距离是 2 5 ,则实数 m 的取值范围是________________.

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15.如图 A 、 B 是单位圆 O 上的点, C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,点 A 的坐标为 ( , ) , 三角形 AOB 为直角三角形. (1)求 sin ?COA , cos ?COA ; (2)求线段 BC 的长. B O

3 4 5 5

y

A( , ) C

3 4 5 5

x

16.已知幂函数 y ? x p?3 ( p ? N? ) 的图象关于 y 轴对称,且在 (0,??) 上是减函数,求满足

(a ? 1) 3 <(3 ? 2a) 3 的 a 的取值范围.

p

p

17.某商店经销一种奥运纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产品需向税务 部门上交 a 元( a 为常数,4<a≤5)的税收.设每件产品的日售价为 x 元(35≤x≤41),根 据市场调查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大 值.
x

18.如图,点 A、B、C 都在幂函数 y ? x 的图像上,它们的横坐标分别是 a、a+1、a+2 又 A、B、C 在 x 轴上的射影分别是 A′、B′、C′,记 AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′的面积为 g(a) (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论

1 2

y C B A



o

A'

B'

C'

x

19. (1) 设函数 g ( x) ?

x ?1 ( x ? R) , cn ? g (c n?1 ) (n∈N, n ? 1 ); 且数列 {cn } 满足 c1 = 1, 2

求数列 {c n } 的通项公式.

(2) 设等差数列 {a n } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,且
Sn An ? 1 ? , S 2 ? 6 ;求常数 A 的值及 {a n } 的通项公式. Tn 2n ? 7

a3 a7 ? b 4 ? b6 b2 ? b8

?

2 , 5

? ?a (n为正奇数 ) (3)若 d n ? ? n ,其中 an 、 cn 即为(1)、(2)中的数列 {a n } 、 {c n } 的第 n 项, ? ?c n (n为正偶数 )
试求 d1 ? d 2 ? ? ? d n .

20.已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? 2 x ? 2 . (1)试判断 F ( x) ? ( x2 ? 1) f ( x) ? g ( x) 在 [1,??) 上的单调性; (2)当 0 ? a ? b 时,求证函数 f ( x)(a ? x ? b) 的值域的长度大于 n]的长度定义为 n-m) .

2a (b ? a ) (闭区间[m, a2 ? b2

参考答案: 1、3 ; 2、 ?
24 ; 7

3、钝角三角形; 4、 ? 9a ; 5、 3 ; 6、 ? ; 7、 , 8、

1 7 ; 3 9

11 ; 18

9、-2009; 10、 a ? c ? b ; 11、120°; 12、 60 ,
0

3 2

13、 ? 1 14、 1 ? m ? 3 15、解:(1) ∵ A 点的坐标为 ( , ) ,根据三角函数定义可知 x ?

3 4 3 4 , y ? , r ?1 ; (2分) 5 5 5 5 x 3 y 4 ∴ sin ?COA ? ? , cos ?COA ? ? . (6 分) r 5 r 5
0

(2) ∵三角形 AOB 为直角三角形, ∴ ?AOB ? 90 , 又由(1)知 sin ?COA ?

4 3 , cos ?COA ? ; 5 5
?

∴ cos ?COB ? cos( ?COA ? 90 ) ? ? sin ?COA ? ? ∴在 ?BOC 中,

4 , 5

(10 分)

4 18 BC 2 ? OC 2 ? OB 2 ? 2OC ? OB ? COS ?BOC ? 1 ? 1 ? 2 ? (? ) ? , 5 5
∴ BC ?

3 10 . 5

(14 分)

18、解:(1)连结 AA′、BB′、CC′,

则 f (a) ? S?AB?C ? S梯形AA?C?C ? S?AA?B? ? S?CC?B? ? (AA? ? CC ?) ? 2 ?

1 2

1 1 AA? ? CC ? 2 2

1 1 ? (AA? ? CC ?) = ( a ? a ? 2 ), 2 2
g(a)=S△A′BC′=

1 A′C′·B′B=B′B= a ? 1 2

1 (2) f (a) ? g (a) ? ( a ? a ? 2 ? 2 a ? 1) 2 1 ? [( a ? 2 ? a ? 1) ? ( a ? 1 ? a )] 2

1 1 1 ? ( ? ) ? 0, 2 a ? 2 ? a ?1 a ?1 ? a
∴f(a)<g(a)

? 2k 2 ?

4 1 n2 ? n 4 1 [1 ? ( ) k ] ? k ? ? [1 ? ( ) n ] . 3 4 2 3 2

(16 分)

20、解: (1)∵ F ( x) ? ( x2 ? 1) f ( x) ? g ( x) ? ( x2 ? 1)ln x ? (2 x ? 2) , (1 分)

1 ( x ? 1) 2 ? 2 ? 2 x ln x ? , (3 分) x x ∴ x ? 1 时 F ?( x) ? 0 , x ? 1 时 F ?( x) ? 0 ; ∴函数 F ( x) 在 [1,??) 上为增函数. (5 分) (2)由(1)知 当x ? 1 (7 分) 时, F ( x) ? F (1), 又F (1) ? 0,? F ( x) ? 0 ; 2x ? 2 2 即 ( x ? 1) ln x ? (2x ? 2) ? 0 , ∴ ln x ? 2 (﹡) (9 分) x ?1 b b 令 x ? , ∵0 ? a ? b, ∴ ? 1, (11 分) a a b 2? ? 2 2ab ? 2a 2 b a ∴由(﹡)式得 ln ? ,即为 ln b ? ln a ? ; (13 分) b a2 ? b2 a ( )2 ?1 a ∵函数 f ( x) ? ln x(a ? x ? b) 的值域为 [ln a, ln b] , ∴函数 f ( x)(a ? x ? b) 的值域的长度为 ln b ? ln a , (15 分) 2a (b ? a ) ∴函数 f ( x)(a ? x ? b) 的值域的长度大于 2 . (16 分) a ? b2
∴ F ?( x) ? 2 x ln x ? ( x ? 1) ?
2

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