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数学理卷·2014届广东省珠海市高三第二学期学生学业质量检测


珠海市 2013—2014 学年度第二学期高三学生学业质量监测

数学(理)试题
【试卷综析】本卷为高三模拟训练卷,注重基础知识考查与基本技能训练,考查考纲要求的 知识与能力,覆盖全面,难度适中,全面的考查了学生的综合能力,对常用方法,解题技巧, 解题思路全面考查,对数量关系,空间形式,数形结合,特殊化等都有涉及,注重通性通法, 侧重于知识交汇点的考

查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统 计等,能很好的考查学生的实际能力. 纵 观 全 卷 , 整 卷 难 度 比 高 考 略 低 , 试题体现了 “考查基础知识的同时,注重考查能力”的数学考试原则和全面检测数学素养的考试思想。 注重双基和数学思想数学方法的复习,注重运算能力思维能力的培养。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 A={0,1, 2,3} ,集合 B ? {x ? N || x |? 2} ,则 A A.{ 3 } B.{0,1,2} 【知识点】集合的表示方法 ;交集. 【答案解析】B 解析:解: C.{ 1,2}

B=
D.{0,1,2,3}

B ? ?0,1,2? ? A ? B ? ?0,1, 2?

【思路点拨】可以把 B 集合中描述法表示了元素用列举法表示出来,然后按交集的定义进 行求解即可. 2.设复数 z1=1+i,z2=2+xi( x ? R ) ,若 z1 ? z2 ? R ,则 x = A.- B.- 【知识点】复数代数形式的运算 【答案解析】 A C.1 D.2

解析 :解 : 因 为 z1 ? z2 ? ?1 ? i ?? 2 ? xi ? ? ? 2 ? x ? ? ? x ? 2? i ? R , 所以

x ? 2 ? 0, 即 x ? ?2 .故选 A.
【思路点拨】把复数乘积展开,化简为 a+bi(a、b∈R)的形式,可以判断所在象限. 3.某校高考数学成绩 ? 近似地服从正态分布 N(100,5 2) ,且 p( ? ? 110)=0.98 ,则

P(90 ? ? ? 100) 的值为
A.0.49 B.0.52 【知识点】正态分布的概念与性质. C.0.51 D.0.48

【 答 案 解 析 】 D 解 析 : 解 : 根 据 正 态 分 布 的 对 称 性 可 知 对 称 轴 为 ? ? 100 ,

p ?? ? 110? ? 0.02? p ?? ? 90? ? 0.02 ? p ?90 ? ? ? 110? ? 0.96
称? p ? 90 ? ? ? 100 ? ?

关 于 ? ? 100 对

1 p ? 90 ? ? ? 110 ? ? 0.48 2

【思路点拨】根据正态分布的对称性可以知道 P(90 ? ? ? 100) 的值. 4.通过随机询问 100 名性别不同的小学生是否爱吃零食,得到如下的列联表:

由 K2 ?

100(10 ? 30 ? 20 ? 40)2 n(ad ? bc)2 2 ? 4.762 算得 K ? 50 ? 50 ? 30 ? 70 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参照右上附表,得到的正确结论 A.在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“是否爱吃零食与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“是否爱吃零食与性别无关” C.有 97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关” D.有 97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【知识点】独立性检验的应用, 【答案解析】A 解析 :解 : :∵K2= 100(10×30?20×40)2 50×50×30×70 ≈4.762>3.841,P(K2>3.841)=0.05 ∴在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“是否爱吃零食与性别有关”.故选:A. 【思路点拨】根据 P(K2>3.841)=0.05,即可得出结论. 【典型总结】本题考查独立性检验的应用,考查学生分析解决问题的能力. 5.右上图是一个几何体的三视图,由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是 A.6 B.2 5 C.5 D. 13

【知识点】三视图;三视图与原图的关系. 【答案解析】解 : 由 三 视 图 知 : 几 何 体 为 三 棱 锥 , 如 图 :

S

B A

C
其 中 SA ⊥ 平 面 ABC , AC ⊥ 平 面 SAB , SA=2 , AB=4 , AC=3 , ∴ BC=5 ,

SC ? 4 ? 9 ? 13 , SB ? 4 ? 16 ? 2 5
∴ 最 长 棱 为 BC ? 5 故 选 : C. 【思路点拨】可根据三视图找到原图的线面关系,根据图中所给数据进行计算.

6.执行如右图所示的程序框图,则输出的 y = A.

1 2

B.1

C.-1

D.2

【知识点】循 环 结 构 的 程 序 框 图 【答案解析】D 解析 :解 : 第 1 次 循 环 , y=2,i=1 第 2 次 循 环 , y= y=2,i=1,i=2 第 3 次 循 环 , y=-1,i=3 第 4 次 循 环 , y=2,i=4 ........... 框 图 的 作 用 是 求 周 期 为 3 的 数 列 ,输 出 y 的 值 ,满 足 2014 ? 2014 ,退 出 循 环 ,循 环 次 数 是 2014 次 , 即 输 出 的 结 果 为 2 , 故 答 案 为 : 2. 【思路点拨】分 析 程 序 中 各 变 量 、 各 语 句 的 作 用 , 再 根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序 , 可 知: 该 程 序 的 作 用 是 利 用 循 环 计 算 循 环 变 量 y, i 的值, 并 输 出 满 足 i ? 2014 的 值 .

?3 x ? y ? 2 ? 0 ? 7.变量 x y 、 满足线性约束条件 ? y ? x ? 2 ,则目标函数 z =kx-y,仅在点(0 , 2) ? y ? ?x ?1 ?
取得最小值,则 k 的取值范围是 A.k<-3 B.k>1 C.-3<k<1 【知识点】线性规划;不等式表示平面区域. 【答案解析】C 解析:解 : 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 , D.—1<k<1

由 z=kx-y 得 y=kx-z , 要 使 目 标 函 数 y=kx-z 仅 在 点 A ( 0 , 2 ) 处 取 得 最 小 值 , 则 阴 影 部 分 区 域 在 直 线 y=kx-z 的 下 方 , ∴ 目 标 函 数 的 斜 率 k 满 足 -3 < k < 1 , 故 选 : C. 【思路点拨】可由数形结合的方法找出目标函数取最小值的位置,进而求出 k 的值. 8 . 设 函 数 y ? f ( x) 在 R 上 有 定 义 , 对 于 任 一 给 定 的 正 数 P , 定 义 函 数

? f ( x), f ( x) ? p ,则称函数 f p ( x) 为 f ( x ) 的“ P 界函数” .若给定函数 f p ( x) ? ? ? p, f ( x) ? p
f ( x) ? x2 ? 2x ?1, p ? 2 ,则下列结论不成立的是
A. f p [ f (0)] ? f [ f p (0)] C. f [ f (2)] ? f p [ f p (2)] 【知识点】新定义函数;分段函数求值.
2 【答案解析】B 解析 :解 : 因 为 f ( x) ? x ,所以 ? 2 x ? 1, p ? 2

B. f p [ f (1)] ? f [ f p (1)] D. f [ f (3)] ? f p [ f p (3)]

f p [ f (0)] ? f2 ? ?1? ? f ? ?1? =2 , f [ f p (0)]=f [ f (0)]=f ? ?1? =2 .故 A 正确.
f p [ f (1)] ? f p (?2) ? f2 ? ?2? ? 2 , f [ f p (1)]=f [ f (1)]=f ? ?2? ? 7 故 B 不正确.

f [ f (2)] ? f ? ?1? ? 2 , f p [ f p (2)] ? f2[ f2 (2)] ? f2 (?1) ? 2 故 C 正确.
f [ f (3)] ? f (2) ? ?1, f p [ f p (3)] ? f2[ f 2 (3)] ? f 2 (2) ? ?1故 D 正确.
综上:选项 B 不正确. 【思路点拨】结合“P 界函数”的定义计算即可. 二、 填空题: 本大题共 7 小题,考生做答 6 小题, 每小题 5 分, 满分 30 分.其中第 14~ 15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在 答题卡相应位置. 9.已知数列 {an } 是等差数列,且 a2=3,a6=11,则 {an } 的公差 d 为 【知识点】等差数列的定义. .

【答案解析】2 解析:解:由等差数列的定义可知 a6 ? a3 ? 11 ? 3 ? 4d ? d ? 2 【思路点拨】依据等差数列的公式可求出公差的值. 10.曲线 f ( x) ? e3 x 在点(0,1)处的切线方程为 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【答案解析】B 解析 :解 : ∵ f ( x) ? e3 x ,∴ f ?( x) ? 3e3 x , ∴曲线 f ( x) ? e3 x 在点 P(0,1)处的切线的斜率为:k=3e0=3, ∴曲线 f ( x) ? e3 x 在点 P(0,1)处的切线的方程为:y=3x+1, 故答案为:y=3x+1. 【思路点拨】欲求在点 P(0,1)处的切线的方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求 出在 x=0 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 【典型总结】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础 知识,考查运算求解能力,化归与转化思想.属于基础题. 11.在区间 [0, .

3? ] 上的余弦曲线 y= c 2

与坐标轴围成的面积为



【知识点】根 据 图 形 的 对 称 性 ,可 得 曲 线 y=cosx , x ? ?0,

? 3? ? ,与 坐 标 轴 围 成 的 面 ? 2? ?

积 等 于 曲 线 y=cosx , x ? ?0,

? ?? 与坐标轴围成的面积的 3 倍. ? 2? ? ? 3? ? ,与 ? 2? ?

【答案解析】3 解析 :解:根 据 图 形 的 对 称 性 ,可 得 曲 线 y=cosx , x ? ?0, 坐标轴围成的面各积的 3 倍, S ? 3

?

?
2 0

2 cos xdx ? 3sin x |0 ?3

?

【思路点拨】本 题 考 查 定 积 分 在 求 面 积 中 的 应 用 , 解 题 的 关 键 是 利 用 余 弦 函 数 的 对称性. 12 . 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 a , ∠ DAB=60 ° , EC ? 2 DE, 则 AE.DB 的 值 为 .

【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 . 【答案解析】 ?

a2 3

解析 :解:如图所示

1 EC ? 2 DE ,? DE ? DC , 因为菱形 ABCD的边长为a, ∠DAB=60° 3 1 ? DA ? DC ? a, DA ? DC ? DA DC cos120 ? ? a 2 , DB ? DA ? DC, 2

1 ? AE ? DB ? ( AD ? DE )( DA ? DC ) ? ( AD ? DC )( DA ? DC ) 3
2 2 1 2 1 1 a2 ? ? DA ? DC ? DA ? DC ? ?a 2 ? a 2 ? a 2 ? ? . 3 3 3 3 3

【思路点拨】利 用 菱 形 的 性 质 、 向 量 的 三 角 形 法 则 及 其 平 行 四 边 形 法 则 、 数 量 积 运算、向量共线定理即可得出.

13.有一个半径为 4 的圆,现在将一枚半径为 1 的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在 圆外的情况,则硬币完全落入圆内的概率为 . 【知识点】几何概型. 【答案解析】

9 解析 :解 : 记“硬币完全落入小圆内”为事件 A, 25

事件 A 对应的图形是硬币圆心与纸板的圆心距离小于 3 的圆内,其面积为 9π 而所有的基本事件对应的图形是硬币圆心与纸板的圆心距离小于 5 的圆内,其面积为 25π ∴硬币完全落入小圆内的概率为 P(A)= 故答案为:

9 . 25

9 . 25

【思路点拨】根据题意,算出硬币完全落入小圆内的事件对应的图形面积,以及所有基本事 件对应图形的面积,结合几何概型计算公式即可算出所求的概率. 【典型总结】本题给出硬币落入圆开纸板内的事件,求硬币完全落入小圆内的概率.着重 考查了圆的面积公式和几何概型计算公式等知识. 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心为(2, 直线 ? ? ? (0 ? ? ?

?
2

? ) ,半径为 2, 2


, ? ? R) 被圆 C 截得的弦长为 2

3 ,则 ? 的值等于

【知识点】极坐标方程的意义. 【答案解析】

? 2 2 解析 :解:圆 C 的普通方程为: x ? ? y ? 2 ? ? 4 ,直线的方 3
2 tan 2 ? ? 1 ?1

程为: y ? tan ? ? x .圆心C(0,2)到直线的距离为1得:

tan 2 ? ? 3 ,所以 tan ? ? ? 3, 因为 0 ? ? ?

?
2

所以 tan ? ? 3 所以 ? ?

?
3

.

【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程求解. 15. (几何证明选讲选做题) 如图, CD 是圆 O 的切线, 切点为 C, 点 B 在圆 O 上, BC=2 3 ∠BCD=60°,则圆 O 的面积为________.

【知识点】弦 切 角 .

【答案解析】 4?

解析 : 解:因 为 弦 切 角 等 于 同 弧 上 的 圆 周 角 , ∠ BCD=60 °, 因 为 BC=2 3 ,所 以 圆 的 半 径 为 2,所 以 圆 的 面

所 以 ∠ A=60 °, 则 ∠ BOC=120 °,

积 为 : 4π 【思路点拨】通 过 弦 切 角 转 化 为 , 圆 周 角 , 然 后 求 出 圆 心 角 , 结 合 弦 长 , 得 到 半 径,然后求出圆的面积. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x cos ? ? cos 2 x sin ? , x ? R, 0 ? ? ? ? , f ( ) ? ?

?

4

3 2

(1)求 f ( x ) 的表达式; (2)若 f (

?

? 5 ? ? ) ? , ? ? ( , ? ) ,求 cos ? 的值。 2 3 13 2
? ? 5 ? 12 3 5? ? ? (2) 26 6 ?

【知识点】两角和的正弦公式;两角差的余弦公式. 【答案解析】 (1) f ? x ? ? sin ? 2 x ?

解析 :解 : (1) f ?

? ? 3 3 ?? ? ,所以 , 可得 sin cos ? ? cos sin ? ? ? ??? 2 2 2 2 ?4?

cos ? ? ?

5? 3 。 。 。 (3 分) 0 ? ? ? ? .?? ? 。 。 。 。 (5 分) 6 2

? f ? x ? ? sin 2 x cos

5? 5? 5? ? ? cos 2 x sin ? sin ? 2 x ? 6 6 6 ?

? 。 。 。 (6 分) ?。 ?

(2)由 f ?

?? 5 ? ? ? ? ? 5? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? ? ,可得 sin ?2 ? ? ? ? ? ? , 化简得 sin ? ? ? ? ? 。 6 ? 13 ? 2 3 ? 13 ? ? ? 2 3 ? 6 ? 13
? ? ? ? ?

? ? 2? 7? ? ?? 12 ?? ? ? 。 。 。 (10 分) ? ? ? , ? ? ,?? ? ? ? , ? ,? cos ? ? ? ? ? ? 。 2 6 3 6 6 13
?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 5 ? 12 3 ? ? 。 。 。 (12 ? cos ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? sin = 26 6 ? 6? 6? 6 6? 6 ? ? ??
分)

【思路点拨】 (1)先由 f ?

3 ?? ? , 可得 ? 进而得到 f ( x) 的表达式; ??? 2 ?4?

(2)由 f ?

?? 5 ? ? ? ? ? 5? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? ? ,可得 sin ?2 ? ? ? ? ? ? , 化简得 sin ? ? ? ? ? . 6 ? 13 ? 2 3 ? 13 ? ? ? 2 3 ? 6 ? 13
?
6
的范围,最后变形为 cos ? ? cos ?? ? ?

再求出 ? 及 ? ?

?? ??

?? ??

,再代入数值即可. ?? 6 ? 6? ?

17. (本小题满分 12 分) 为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩(单位:分) ,从甲、乙两个班 级中分别随机抽取 5 名学生的成绩作样本,如图是样本的茎叶图.规定:成绩不低 于 120 分时为优秀成绩. (1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据,求其中只有一个优秀成绩 的概率; (2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取 2 名同学的成绩,记获优秀成绩的人数 为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? . 【知识点】概率的定义;随机变量的分布列与数学期望. 【答案解析】解析:解:(1)设事件 A 表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据, 其中只有一个优秀成绩” p ? A ? ? C2 ?
1

2 3 12 ? ? 5 5 25

(2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3

p ?? ? 0 ? ? p ?? ? 1? ? p ?? ? 2 ? ?

2 C32 ? C4 18 9 ? ? 2 2 C5 ? C5 100 50 1 1 1 2 C32 ? C4 ? C3 ? C2 ? C4 48 12 ? ? 2 2 C5 ? C5 100 25 1 1 1 2 2 C3 ? C2 ? C4 ? C2 ? C4 30 3 ? ? 2 2 C5 ? C5 100 10

2 1 1 C2 ? C1 C 4 1 p ? ? ? 3? ? 2 2 4 ? ? C5 ? C5 100 25

? ? 的分布列为

?
p

0

1

2

3

12 3 25 10 9 12 3 1 6 ? ? ? 的数学期望为 E ?? ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? 50 25 10 25 5

9 50

1 25

【思路点拨】可根据事件的个数按定义求出所求事件的概率,找出随机变量的取值,然后分 别求出各变量的概率列出分布列,最后代入公式求出数学期望. 18. (本小题满分 14 分) 在下图的几何体中,面 ABC //面 DEFG , ∠BAC=∠EDG=120° ,四边形 ABED 是 矩形,四 边形 ADGC 是直角梯形, ∠ADG=90°, 四边形 DEFG 是梯形, EF // DG , AB=AC=AD =EF =1, DG=2. (1)求证:FG⊥面 ADF ; (2)求二面角 F —GC—D 的余弦值.

【知识点】线面垂直的判定定理;二面角. 【答案解析】 (1)略,(2) 解析 :解:(1)

15 . 5

EF DH,EF=DH=ED=1? 四边形 DEFH 是菱形

? EH ? DF 又 EF HG, EF=HG? 四边形 EFGH 是平行四边形。
? FG EH ,? FG ? DF 。 。 。 (4 分)有已知条件可知 AD ? DG, AD ? ED
所以 AD ? 面EDGF , 所以 AD ? FG .

? FG ? AD ? FG ? DF ? ? 又 ? AD ? 面ADF ,? FG ? 面ADF 。 。 。 (6 分) ? DF ? 面ADF ? ? ? AD DF ? D (2)过 F 作 FO ? DG 于 O,过 O 作 OM ? CG 于 M,连接 FM
? FO ? CG , FO ? DG, FO ? AD,? FO ? 面ADGC,


? CG ? MF ,??FMO 是二面角 CG ? OM,FO ? CG, ?GC ? 面FOM,

F ? CG ? D 的平面角…………………………………………………………………..10 分
根据平面几何知识,可求得 FO ?

3 3 2 30 ,在直角三角形 FMO 中, ,OM ? ,FM ? 2 4 4

cos ?FMO ?

OM 15 ……………………………………………………………..13 分 ? FM 5 15 . 5

二面角 F ? CG ? D 的余弦值为

【思路点拨】 (1)证明 FG ? DF , FG ? AD 即可.(2)先找出二面角 F ? CG ? D 的平角, 然后在直角三角形 FMO 中求出其余弦值即可. 19. (本小题满分 14 分) 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 数 列 {Sn } 的 前 n 项 和 为 Tn , 且 满 足

Tn ?

3 S n ? 3n, n ? N * 2

(1)求 a 1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)记 bn ?

2an , n ? N * ,求证: b1 ? b2 ? 2 (an ? 2)

? bn ? 1 .

【知识点】(1)(2)前n项和与通项的关系;(3)防缩法证明与数列有关的不等式。 【答案解析】 (1)6,(2) 2 ? 3 , (3)略.
n

3 3 S1 ? 3, T1 ? S1 ? a1 ,? a1 ? a1 ? 3, 解得 a1 ? 6 …..2 分 2 2 3 3 3 3 (2)当 n ? 2 时, S n ? Tn ? Tn ?1 ? S n ? 3n ? [ S n ?1 ? 3(n ? 1)] ? S n ? S n ?1 ? 3 2 2 2 2 3 所以 S n ? an ? 3 ①,………………………………………………………………4 分 2 3 所以 S n ?1 ? an ?1 ? 3 ②,由② ? ①得: an ? 3an?1 , 所以数列 2
解析 :解:(1)当 n ? 1 时, T1 ?

?an ? 是以 6 为首项,以 3 为公比的等比数列,所以 an ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n. ……….7 分
(3)当 n ? 1 时, b1 ?

3 2an 3n 4 ? 3n ? 1 ,当 n ? 1 时, bn ? ? ? ? 4 (an ? 2)2 (2 ? 3n ? 2)2 (3n ? 1)2

1 1 3n 3n?1 1 ? ? ( n ?1 ? n ) ……………………..10 分 n n n n ?1 (3 ? 1)(3 ? 3) (3 ? 1)(3 ? 1) 2 3 ? 1 3 ? 1

所以 b1 ? b2 ?

1 1 1 1 1 1 ? bn ? b1 ? ( ? 2 )? ( 2 ? 3 )? ? 2 3 ?1 3 ?1 2 3 ?1 3 ?1 1 1 1 ( ? ) ……………………………………………………………….12 分 2 3n ?1 ? 1 3n ? 1

?

3 1 1 1 1 ? ( ? n ) ? 1? ? 1. ……………………………………..14 分 n 4 2 3 ?1 3 ?1 2(3 ? 1)
3 an ?1 ? 3 2

【思路点拨】(1)由 T1 ? S1 ? a1 求得 a1 , (2)由 Sn ? Tn ? Tn?1 求得 S n ?1 ? 所以 S n ?1 ?

3 an ?1 ? 3 ,从而 an ? 3an?1 , 所以数列 2

?an ? 是以6为首项,以3为公比的等比数列,所以 an ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n.
(3)把 bn ?

2an 4 ? 3n 适当放大为 ? (an ? 2)2 (2 ? 3n ? 2)2

1 1 3n 3n?1 1 ? n ? ( n ?1 ? n ) ,再用裂项相消法证明结论。 n n n ?1 (3 ? 1)(3 ? 3) (3 ? 1)(3 ? 1) 2 3 ? 1 3 ? 1
20. (本小题满分14 分) 已知抛物线 C:x2=y,直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 不同两点,且 OA ? OB ? ( p,6) . (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程; (2)设直线 m 为线段 AB 的中垂线,请判断直线 m 是否恒过定点?若是,请求出定点 坐标;若不是, 请说明理由; (3)记点 A、B 在 x 轴上的射影分别为 A 1、B1,记曲线 E 是以 A1B1 为直径的圆,当 直线 l 与曲线 E 的相离时,求 p 的取值范围. 【知识点】抛物线的几何性质;直线与抛物线的关系 ;中点坐标;根与系数的关系. 【答案解析】 (1) 焦点坐标为 ? 0, ? , 准线方程为:y ? ?

? ?

1? 4?

1 ? 7? 2 2 , (2) ? 0, ? (3)p ? 8或p ? 3 4 ? 2? 1 ,(2) 设 4

解 析 : 解 : (1) 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ? 0, ? , 准 线 方 程 为 : y ? ?

? ?

1? 4?

A ? x A , x A 2 ? , B ? xB , xB 2 ? ,因为 A、B 是不同的两点,所以 xA ? xB 且 l 不与 x 轴
垂直
2 2 OA ? OB ? ? p, 6 ? ? x A ? xB ? p, x A ? xB ? 6 ? AB 的 中 点 坐 标 为

2 2 xA ? xb ?p ? ,3 k ? k ? ? xA ? xB ? p, 讨论:当 p ? 0 时,直线 m 的斜率 AB ? ? l xA ? xB ?2 ?

km ? ?

1 7 1 1 1? p? ? ? ? 直线 m 的方程为: y ? 3 ? ? ? x ? ? 即 y ? ? x ? 令 p 2 k AB p p? 2?

x ? 0得y ?

7 ? 7? :即直线 m 恒过定点 ? 0, ? ,当 p=0 时,直线 m 的方程为:x=0, 2 ? 2?

也过点 ? 0, ? 故 m 恒过定点 ? 0, ? ,

? ?

7? 2?

? ?

7? 2?

p? p2 ? (3)由第(2)问可设直线 AB 的方程为: y ? 3 ? p ? x ? ? ,即y ? px ? 3 ? ,联立 2? 2 ?
? p2 p2 ? y ? px ? 3 ? 2 x ? px ? ? 3 ? 0 所以 ,消去 y 得 2 ? 2 2 ? x ?y ?

? ? p2 ? 2 ? 3? ? 0 ? ?? ? p ? 4 ? ? p 2 ? 12 ? 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? p 即 ? x1 ? x2 ? p 所以 ? ? ? 2 2 p ? ? x1 ? x2 ? p ? 3 x1 ? x2 ? ?3 2 ? 2 ? ?

A1B1 ? x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 12 ? p 2 所以以 A1B1 为直径的圆的方

2 ? 12 ? p 2 p? ? 程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? 2? 2 ? ?

? ? 当直线 l 与曲线 E 相离时,圆心到直线 l 的距 ? ?

2

p?
离d ? r

p p2 ? 3? 2 2 p 2 ? ? ?1?
2

?

12 ? p 2 所以 2

3 p2 ? 1

?

12 ? p 2 ? 6 ? 12 ? p 2 ? p 2 ? 1 即 36 ? ?12 ? p 2 ?? p 2 ? 1? 所以 2

p 4 ? 11 p 2 ? 24 ? 0 ? ? p 2 ? 3? ? ? p 2 ? 8 ? ? 0 所以 p2 ? 8或p2 ? 3
【思路点拨】根据方程可求出焦点和准线方程,按中点坐标关系列出直线方程可求出定点, 根据直线 l 与曲线 E 相离位置关系可解出 p 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1)1nx ? ax ?
2

1 ,a?R 2

(1)当 a ? ?

1 时,求 ( ) f x 的最大值; 3

(2)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

(3)如果对任意 x1 , x2 ? (0, ??),| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | 恒成立,求实数 a 的取 值范围. 【知识点】(1)导数法求函数的最大值。(2)导数法求函数的单调区间。(3)分类讨论 确定不等式恒成立的条件。 【答案解析】 (1) , (2) f ( x ) 在 x ? (0, ? 上单调递减(3) ? ??, ? 2?

1 6

a ?1 a ?1 ) 上单调递增;在 x ? ( ? , ??) 2a 2a

? ?? . ?1,
1 3

解析 :解:( 1 )当 a ? ? 时, f ( x) ?

2 1 1 ln x ? x 2 ? , 3 3 2

f ?( x) ?
所 以

2 ? x ? 1?? x ? 1? 2 2 2 ? 2 x2 ? x? ?? , .........................2 分. 3x 3 3x 3x
f ( x)
的 增 区 间 为 ( 0,1 ) , 减 区 间 为

?1, ??? ...................................3 分
1 ..............................................4 分 6 1 2 (2) 对函数 f ( x) ? (a ? 1)1nx ? ax ? , 定义域为 ? 0, ??? 2
所以 f ( x) max ? f (1) ? 求导得: f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? ,................................ 5 分 x x

下面对参数 a 进行讨论如下: 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f(x)在 ? 0, ??? 上单调递 增................................................6 分 当 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,故 f(x)在 ? 0, ??? 上单调递 减.............................................7 分 当 ?1 ? a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

?

a ?1 , 2a

则当 x ? (0, ?

a ?1 a ?1 ), f ?( x) ? 0; 当 x ? ( ? , ??), f ?( x) ? 0; 2a 2a a ?1 a ?1 ) 上单调递增;在 x ? ( ? , ??) 上单调递减.........8 分 2a 2a

故 f ( x ) 在 x ? (0, ?

(3) 不妨设 0 ? x1 ? x2 :

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上单调递增,即 f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1 恒 成立,构造函数 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ,须证 g ( x) ? f ( x) ? 4 x 在 ? 0, ??? 上单调递增,即证

a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0, 即 2ax2 ? 4x ? a ?1 ? 0 ? x ? 0? 恒成立. x 1 当 a ? 0 时,则由-4x+1>0 得 x ? ,不合题意,即 a ? 0 ,则 a ? 0 ; 4 1 ?0; 根据二次函数 y= 2ax2 ? 4x ? a ?1? x ? 0? 开口方向向上,对称轴 x= a g ?( x) ? f ?( x) ? 4 ?
所以只需 ? ? 0 可得 16 ? 8a(a ? 1) ? 0 ,解得

a ? 1? a ? ?2舍去? .........................10 分
②当 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上单调递减,去绝对值整理,即有

f ( x2 ) ? 4x2 ? f ( x1 ) ? 4x1 恒成立,构造函数 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ,须证 g ( x) ? f ( x) ? 4 x 在

? 0, ??? 上单调递减,令 g ?( x) ?
1 ?0; a

f ?( x) ? 4 ?

a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0, 得 x

2ax2 ? 4x ? a ?1 ? 0 ? x ? 0? 恒成立. 根据二次函数 y ? 2ax2 ? 4x ? a ?1? x ? 0? 开口方向
向下,对称轴 x= -

所以只需 ? ? 0 可得 16 ? 8a(a ? 1) ? 0 ,解得 a ? ?2 a ? 1舍去 .......12 分. ③当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? (0, ?

?

?

a ?1 a ?1 ) 上单调递增;在 x ? ( ? , ??) 上单调递 2a 2a

减;此时 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | 等价于 f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1 恒成立或者 由前面过程可知:a ? 1或a ? ?2 , 这与 ?1 ? a ? 0 不符, f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1 恒成立, 故此种情况无解. 综上所述:实数 a 的取值范围是 ? ??, ? 2?

? ?? . ?1,

【 思 路 点 拨】 对 函数 f(x) 求 导 , 得 到递 增 和递 减区 间 , 进 而 得到 最 小值 ; (2) 对 函数

1 f ( x) ? (a ? 1)1nx ? ax 2 ? , 求导,然后对 a 分情况进行讨论得到其单调区间; (3)分①当 2 a ? 0 时, ②当 a ? ?1 时, ③当 ?1 ? a ? 0 时进行讨论,在这三种情况中分别找到 a 的范围,
最后再把值取并集.


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