当前位置:首页 >> 数学 >> 福建省三明一中、二中2013届高三上学期期末联考数学理试题 Word版含答案

福建省三明一中、二中2013届高三上学期期末联考数学理试题 Word版含答案


2013 届高三上学期期末联考数学理试题
(考试时间:2013 年 1 月 26 日下午 3:00-5:00 满分:150 分)

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且 只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应

位置。 1.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x , 3) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为 A. 9 B. 1 C. ? 1 D. ? 9 2.设集合 U = ?1 , 2 , 3 , 4 ? , M = ? x ? U x 2 ? 5 x + p = 0 ? ,若 C U M = ? 2 , 3? ,则实数 p 的值为 A. ? 4 B. 4 C. ? 6 D. 6
? ?

?

?

3.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则“ ? // ? ”是“ l ? m ”的 A.充分不必要条件 件 4. 定义: A. 1 ? i
a c b d

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条

? a d ? b c .若复数 z 满足

z ?i

1 i

? ? 1 ? 2 i ,则 z 等于

B. 1 ? i

C. 3 ? i

D. 3 ? i

5.函数 f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? sin 2 x 在 x ? 0 处的切线方程是 A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

6. 某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是

A. f ( x ) ? x

2

B. f ( x ) ?

1 x

C. f ( x ) ? e

x

D. f ( x ) ? sin x

7. 若函数 f ( x ) ? co s( ? x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,

则 ? 和 ? 的取值是

y

?1

O
1

x

A. ? ? C. ? ?

1 4

,? ? ? ,? ?

?
4

B. ? ?

1 4

,? ?

?
4

?
4

?
4

D. ? ?

?
4
x

,? ? ?

?
4

8. 若函数 f ( x ) 的零点与 g ( x ) ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 是 A. f ( x ) ? 4 x ? 1 B. f ( x ) ? ( x ? 1)
2

1 4

,则 f ( x ) 可以

C. f ( x ) ? e ? 1
x

D. f ( x ) ? ln( x ?

1 2

)

1 ? ?1 ? 2 | x ? | 9.已知 f (x) ? ? 2 ?lo g x 2013 ?

( 0 ? x ? 1) ( x ? 1)

,若方程 f (x) ? m 存在三个不等的实根

x 1 , x 2 , x 3 ,则 x 1 ? x 2 ? x 3 的取值范围是

A. (1, 2013 )

B. ( 2 , 2013 )

C. (1, 2014 )

D. ( 2 , 2014 )
2

10 . 已 知 集 合 A ? { ( x , y ) | x ? n , y ? n a ? b , n ? Z } , B ? { ( x , y ) | x ? m , y ? 3 m ? 1 2,
m ? Z } 。若存在实数 a , b 使得 A ? B ? ? 成立,称点 ( a , b ) 为“£”点,则“£”点在平

面区域 C ? { ( x , y ) | x ? y ? 1 0 8} 内的个数是
2 2

A. 0

B.1

C.2

D. 无数个

第二卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在答题卡上. 11. 已知随机变量 ? ~ N ( 0 , ? ) ,若 P ( ? 2 ? ? ? 0 ) ? 0 . 2 ,则 P (? ? 2 ) 等于 ******.
2

12.某几何体的三视图如下右图所示,则这个几何体的体积是 ****** .

13. 已知抛物线 y 2

? 8 x 的准线 l 与双曲线 C :

x a

2 2

? y ? 1 相切,
2

则双曲线 C 的离心率 e ? ****** .

? x ? y ? 0, ? 14.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , 所表示的平面区域的面积是 9,则实数 a ? x ? a ?

的值为

******


2 2

15. 已知不等式 xy ? a x ? 2 y ,若对任意 x ? ?1 , 2 ? 且 y ? ?2 , 3 ? ,该不等式恒成立,则实 数 a 的取值范围是 ****** . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 13 分) 在等差数列 ?a n ? 中, a 1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?b n ? 的各项均为正数, b1 ? 1 , 公比为 q ,且 b 2 ? S 2 ? 12 , q ? (Ⅰ)求 a n 与 b n ; (Ⅱ)证明:
1 3 ? 1 S1 ? 1 S2 ?? ? 1 Sn ? 2 3

S2 b2





17. (本小题满分 13 分) 已知向量 a ? (sin
?
2

? ? 2x
4

? ? ? , c o s x ? sin x ), b ? ( 4 sin x , c o s x ? sin x ), f ( x ) ? a ? b

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求由 f ( x ) 的图象、 y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。 18. (本小题满分 13 分)图一,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, A ?
?
3
CD ? 2 .把 ABD 沿 BD 折起(如图二) ,使二面角 A ? BD ? C 的余弦值等于

,C ?
3 3

?
2





对于图二,完成以下各小题: (Ⅰ)求 A , C 两点间的距离; B

C

A

D C B A 图1 图2 D

(Ⅱ)证明: AC ? 平面 BCD ; (Ⅲ)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 13 分) 二十世纪 50 年代,日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失 调、 四肢麻木等症状, 人们把它称为水俣病. 经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞, 使鱼类受到污染.人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒. 引起世人对食品安全 的关注. 《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm. 罗非鱼是体型较大,生命周期长的食肉鱼,其体内汞含量比其他鱼偏高.现从一批罗 非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前一位数字 为茎,小数点后一位数字为叶)如下:
罗 非 鱼 的 汞 含 量 ( ppm )

0 1 3 2 1 5 9 8 7 3 2

1

1 2 3 5 4

(Ⅰ)若某检查人员从这 15 条鱼中,随机地抽出 3 条,求恰有 1 条鱼汞含量超标的概率; (Ⅱ)以此 15 条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据.若从这批数量很大的鱼中任选 3 ........ 条鱼,记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数,求 ξ 的分布列及 Eξ 20. (本小题满分 14 分) 已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (0 ,1) ,且离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点 ( ?
6 5 , 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点.

3 2

, Q 为椭圆 C 的左顶点.

① 若直线 l 垂直于 x 轴,求 ? A Q B 的大小; ② 若直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得 ? Q A B 为等腰三角形?如果存在,求 出直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由. 21. (本小题共 14 分) 已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意 f ( x ) ? M , ① 方程 f ( x ) ? x ? 0 有实数根;② 函数 f ( x ) 的导数 f ? ( x ) 满足 0 ? f ? ( x ) ? 1 .



普通高中 2012—2013 学年第一学期三明一、二中联合考试

高三数学(理科)答案

三、解答题 16.解: (Ⅰ)设 ?a n ? 的公差为 d ,
? b 2 ? S 2 ? 12 , ? q ? 6 ? d ? 12 , ? ? S2 6? d 因为 ? 所以 ? ????????????????3 q ? . q ? , ? ? q b2 ? ?

分 解得 q ? 3 或 q ? ? 4 (舍) d ? 3 . , 故 a n ? 3 ? 3( n ? 1) ? 3 n (Ⅱ)因为 S n ? 所以
1 Sn 1 S1 1 S2

,bn ? 3

n ?1

.??????????????6 分

n (3 ? 3 n ) 2
? 2


? 2 1 1 ( ? ) .??????????????9 分 3 n n ?1

n (3 ? 3 n ) 1 Sn



?

?? ?

?

2 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 3 ? 2 2 3 3 4 n n ?1 ? ?

?

2 3

(1 ?

1 n ?1

) ?????????????????????????11

分 因为 n ≥ 1 ,所以 0 ? 所以
1 3

1 n ?1 ) ? 2 3
1 Sn

≤ .
?

1 2

,于是

1 2

≤1 ?

1 n ?1

? 1,

1 3


1 S1

2 3

(1 ?
1 S2

1 n ?1

即 分



?

?? ?

2 3

?????????????????13

17.解: (Ⅰ) f ( x ) ? sin

2

? ? 2x
4

? 4 sin x ? (cos x ? sin x )(cos x ? sin x ) ????2 分

1 ? cos( ? 4 sin x ? 2

?
2

? x) ? cos 2 x ????????????4 分
2

? 2 sin x (1 ? sin x ) ? 1 ? 2 sin
? 2 sin x ? 1 ,

x ????????????6 分

∴ 分

f ( x ) ? 2 sin x ? 1 。??????????????????????????7

(Ⅱ)令 f ( x ) ? 2 sin x ? 1 =0,解得 sin x ? ?

1 2 7? 6

易知 f ( x ) 的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为 ( 分

,0 ) 。

????????9

所以 f ( x ) 的图象、 y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积
7?

s ?

?

6 0

( 2 s in x ? 1) d x 。???????????????????????11 分

? 2?

3?

7? 6

???????????????????????13 分 ,

18.解: (Ⅰ)取 BD 的中点 E ,连接 AE , CE

由 AB ? AD , CB ? CD ,得: AE ? BD , CE ? BD
3 3

∴ ? A E C 就是二面角 A ? BD ? C 的平面角,即 c o s ? A E C ?

???????2 分

在 ? ACE 中,解得 AE ?

6 , CE ?
3 3

2 ,又 AC

2

? AE

2

? CE

2

? 2 AE ? CE cos ? AEC

? 6? 2? 2?

6?

2?

? 4 ,解得 A C ? 2 。

????????????????4

分 (Ⅱ)由 A D ? B D ? 2 2 , A C ? B C ? C D ? 2 , ∴ AC
2

? BC

2

? AB , AC
2

2

? CD

2

? AD

2

,∴ ? A C B ? ? A C D ?

?
2



∴ AC ? BC , AC ? CD ,

又 BC ? CD ? C ,∴ A C ? 平面 BCD .?????8 分

(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 ACE , BD ? 平面 ABD ∴平面 ACE ? 平面 ABD ,平面 ACE ? 平面 ABD ? AE , 作 CF ? AE 交 AE 于 F ,则 CF ? 平面 ABD , ? CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角。?????????????????11 分 ∴ sin ? C A F ? sin ? C A E ?
CE AE ? 3 3

.?????????????????13 分

方法二:设点 C 到平面 ABD 的距离为 h , ∵ V C ? ABD ? V A ? BCD ,?
2 3 3

1 3

?

1 2

?2

2?2

2 sin

?
3

?h ?

1 3

?

1 2

?2?2?2 ,



h ?

,?????????????????????????????11 分

于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦为 sin ? ?

h AC

?

3 3

.?????????13 分

方法三:以 CB , CD , CA 所在直线分别为 x 轴, y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz , 则 A ( 0 , 0 , 2 ), B ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 0 , 0 ), D ( 0 , 2 , 0 ) . 设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则

n ? AB ? 0 , n ? AD ? 0 , n ? AD ? 0 , ? 2 x ? 2 z ? 0 , 2 y ? 2 z ? 0 ,

取 x ? y ? z ? 1 ,则 n ? (1,1,1) , ?????????????????????11 分 于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦 sin ? ?
| n ? CA | | n || CA | ? |0?0? 2| 3?2 ? 3 3

.???13 分

19.解: (I)记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A 则 P (A ) ?
C 5 ? C 10
1 2

C 15

3

?

45 91


45 91

∴15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标的概率为

??????5 分
5 15 ? 1 3

(II)解法一:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P= 所有 ξ 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下:

,??7 分

ξ P( ξ )

0
0 1 0 2 3 C3( ) ( ) 3 3

1
C3(
1

2
2 3 )
2

3
3 1 3 2 0 C3( ) ( ) 3 3

1 3

) (

1

2 1 2 2 1 C3( ) ( ) 3 3

???11 分

所以 ξ ~ B (3, 所以 Eξ =1.

1 3

),

???????????????12 分 ??????????????????13 分
5 15 ? 1 3

解法二:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P= 所有 ξ 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下:



??7 分

ξ P( ξ )
所以 Eξ = 0 ?

0
8 27 8 27 4 9

1
4 9 2 9 1 27

2
2 9

3
1 27

???11 分

? 1?

? 2?

? 3?
2 2

? 1.
2 2

??????????????13 分

20.解: (Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为

x a

?

y b

? 1( a ? b ? 0 ) ,且 a = b + c .
2 2 2

由题意可知:b = 1 ,

c a

=

3 2

.

???????????????2 分

解得 a = 4 .
x
2

2



椭圆 C 的标准方程为

? y ? 1.
2

??????????????3 分

4

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 Q ( ? 2 , 0 ) .设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) .

(ⅰ)当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x ? ?
6 6 6 ? ? ? x ? ? , x ? ? , x ? ? , ? ? ? ? ? ? 5 5 5 由? 2 解得: ? 或? ? x ? y2 ? 1 ?y ? 4 ?y ? ? 4. ? ? ? 4 5 5 ? ? ?

6 5

.

即 A(?

6 4 6 4 , ), B ( ? , ? ) (不妨设点 A 在 x 轴上方). ???????5 分 5 5 5 5

则直线 A Q 的斜率 k A Q ? 1 ,直线 B Q 的斜率 k B Q ? ? 1 . ∵ k A Q ? k B Q ? ? 1 ,得 A Q ? B Q . ∴ ?AQB ?
? 2

.

???????????????6 分
6 5 )( k ? 0 ) .

(ⅱ)当直线 l 与 x 轴不垂直时,由题意可设直线 A B 的方程为 y ? k ( x ?

6 ? y ? k ( x ? ), ? ? 5 2 2 2 2 由? 2 消去 y 得: ( 2 5 ? 1 0 0 k ) x ? 2 4 0 k x ? 1 4 4 k ? 1 0 0 ? 0 . ? x ? y2 ? 1 ? 4 ?

因为 点 ( -

6 5

, 0 ) 在椭圆 C 的内部,显然 ? ? 0 .
2

? 240k , ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? 25 ? 100k ? 2 ? x x ? 144k ? 100 . 2 ? 1 2 25 ? 100k ?
??? ? ??? ?

???????????????8 分

因为 Q A ? ( x1 ? 2, y1 ), Q B ? ( x 2 ? 2, y 2 ) , y 1 ? k ( x1 ? 所以 Q A ? Q B ? ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? y 1 y 2
? ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? k ( x1 ? ? (1 ? k ) x1 x 2 ? ( 2 ?
2

6 5

) , y2 ? k ( x2 ?

6 5

),

??? ??? ? ?

6 5

) ? k ( x2 ?

6 5

) 36 25
240 k
2 2

6 5

k )( x1 ? x 2 ) ? 4 ?
2

k

2

? (1 ? k )
2

144k ? 100
2

25 ? 100k

2

? (2 ?

6 5

k )( ?
2

25 ? 100 k

)?4?

36 25

k

2

? 0.



??? ? ??? ? QA ? QB .

即 ? Q A B 为直角三角形.

?????11 分

假设存在直线 l 使得 ? Q A B 为等腰三角形,则 Q A ? Q B .
A Q B O x y

N

取 A B 的中点 M ,连接 Q M ,则 Q M ^ A B . 记点 ( 6 5 , 0) 为 N .
x1 + x 2 2
6 5 6k 5 + 20k
2

另一方面,点 M 的横坐标 x M =

= -

120k

2 2

= -

24k

2 2



25 + 100k

5 + 20k

∴点 M 的纵坐标 y M = k ( x M +
???? ???? ? ? 10 ? 16k 5 ? 20k

)=

.

2 2

又 QM ? NM ? (
???? ?

,

6k 5 ? 20k
2

)?(

6 5 ? 20k
2

,

6k 5 ? 20k
2

) ?

60 ? 132k (5 ? 2 0 k )
2

2 2

? 0

故 Q M 与 N M 不垂直,矛盾. 所以 当直线 l 与 x 轴不垂直时,不存在直线 l 使得 ? Q A B 为等腰三角形. ???????????????13 分 21.解: (Ⅰ)因为①当 x ? 0 时, f ( 0 ) ? 0 , 所以方程 f ( x ) ? x ? 0 有实数根 0; ② f ?( x ) ?
1 2 ? 1 4
?1 3?

???? ?

cos x ,

所以 f ? ( x ) ? ? , ? ,满足条件 0 ? f ? ( x ) ? 1 ; ?4 4? 由①②,函数 f ( x ) ?
x 2 ? sin x 4

是集合 M 中的元素.

????5 分

(Ⅱ)假设方程 f ( x ) ? x ? 0 存在两个实数根 ? , ? (? ? ? ) , 则 f (? ) ? ? ? 0 , f ( β ) ? β ? 0 . 不妨设 ?
? ?

,根据题意存在 c ? (? , ? ) ,

满足 f ( β ) ? f ( α ) ? ( β ? α ) f ? ( c ) . 因为 f (? ) ? ? ,
f (? ) ? ?

,且 ?

? ?

,所以

f ?( c ) ? 1 .

与已知 0 ? f ? ( x ) ? 1 矛盾.又 f ( x ) ? x ? 0 有实数根, 所以方程 f ( x ) ? x ? 0 有且只有一个实数根. ????10 分

(Ⅲ)当 x 2 ? x 3 时,结论显然成立; ?????????????????11 分

当 x 2 ? x 3 ,不妨设 a ? x 2 ? x 3 ? b . 因为 x ? ? a , b ? ,且 f ? ( x ) ? 0 , 所以 f ( x ) 为增函数,那么 f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) . 又因为 f ? ( x ) ? 1 ? 0 ,所以函数 f ( x ) ? x 为减函数,


更多相关文档:

三明一中、 二中2013届高三上学期期末联考理科数学试题

三明一中二中2013届高三上学期期末联考数学(理)试题 (考试时间:2013年1月26日下午3:00-5:00 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共50分) 一、选择题:本大题...

...二中2013届高三上学期期末联考数学理试题...

福建省三明一中二中2013届高三上学期期末联考数学理试题 隐藏>> 三明市 2013 届高三联考数学理试题第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小...

2013届福建省三明一中高三上学期期中考试数学(理)试题

2013届福建省三明一中高三上学期期中考试数学(理)试题_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。第Ⅰ卷一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 ...

福建省三明一中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

福建省三明一中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。福建省三明一中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题 ...

福建省三明一中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

HLLYBQ 整理 供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ” 三明一中 2013 届高三上学期期中考试 数学(理)试题第Ⅰ卷一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题...

...高二上学期期末联考物理试题 Word版含答案

福建省三明一中二中2012-2013学年高二上学期期末联考物理试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2012-2013 学年高二上学期期末联考物理试题一.单项选择题(共...

...二中2012-2013学年高二上学期期末联考数学理试题

福建省三明一中二中2012-2013高二上学期期末联考数学理试题 隐藏>> 2012-2013高二上学期期末联考数学理试题第 I 卷(选择题 共 50 分)一、选择题(...

...二中2012-2013学年高一上学期期末联考数学试题

福建省三明一中二中2012-2013学年高一上学期期末联考数学试题_数学_高中教育_教育专区。(考试时间:2013 年 1 月 25 日上午 8:30-10:30 满分:100 分) 第...

...二中2012-2013学年高二上学期期末联考数学理试题

福建省三明一中二中20... 10页 免费福​建​省​三​明​一​中...2012-2013 学年高二上学期期末联考数学理试题 ‘(考试时间:2013 年 1 月 26...

...二中2012-2013学年高二上学期期末联考数学理试题

福建省三明一中二中2012-2013高二上学期期末联考数学理试题_理化生_高中教育...2012—2013年第一学期三明一、二中联合考试 高二数学(理科)试题参考答案 三...
更多相关标签:
福建省三明市 | 福建省三明市第二中学 | 福建省三明市工商局 | 福建省三明市公务员局 | 福建省三明第一中学 | 福建省三明市尤溪县 | 福建省三明市大田县 | 福建省考是联考吗 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com