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两角和与差的正弦、余弦和正切公式


两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学目标: 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的 余弦公式导出两角差的正弦、 正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的 正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用.

自主梳理 1.(1)两角和与差的余弦 cos(α+β)=_____________________________

________________, cos(α-β)=_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α+β)=_____________________________________________, sin(α-β)=_____________________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α+β)=_____________________________________________, tan(α-β)=_____________________________________________. π (α,β,α+β,α-β 均不等于 kπ+2,k∈Z) 其变形为: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.辅助角公式 asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ), cos φ= ? ?sin φ= 其中? b ? tan φ = ? a, 自我检测 1 . 计 算 ) 1 A.2 2 . 已 知 ( ) 2 3 2 3 4 4 A.- 5 B. 5 C.-5 D.5 3 . 函 数 f(x) = sin 2x - cos 2x 的 最 小 正 周 期 是 ) π A.2 B.π C.2π D.4π 4.设 0≤α<2π,若 sin α> 3cos α,则 α 的取值范围是 ( ) ?π π? ?π ? A.?3,2? B.?3,π? ? ? ? ? sin 43° cos , , 角 φ 称为辅助角.

13° - cos

43° sin

13° 的 结 果 等 于

(

3 2 3 B. 3 C. 2 D. 2 π? 7π? 4 3 ? ? cos ?α-6? + sin α = 5 , 则 sin ?α+ 6 ? 的 值 是 ? ? ? ?

(

?π 4π? ?π 3π? C.?3, 3 ? D.?3, 2 ? ? ? ? ? 5.已知向量 a=(sin x,cos x),向量 b=(1, 3),则|a+b|的最大值为( A.1 B. 3 C.3 D.9

)

考点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 1 求值: (1)[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )] 2sin280° ; (2)sin(θ+75° )+cos(θ+45° )- 3· cos(θ+15° ).

2cos 10° -sin 20° ; sin 70° π π π π (2)tan(6-θ)+tan(6+θ)+ 3tan(6-θ)tan(6+θ). 变式迁移 1 求值:(1)

探究点二

给值求值问题(已知某角的三角函数值,求另一角的三角函数值) π 3π ?π ? 3 例 2 已知 0<β<4<α< 4 ,cos?4-α?=5, ? ? 3π 5 ? ? sin? 4 +β?=13,求 sin(α+β)的值. ? ?

1 ?π ? 已知 tan?4+α?=2,tan β=2. ? ? (1)求 tan α 的值; sin?α+β?-2sin αcos β (2)求 的值. 2sin αsin β+cos?α+β? 变式迁移 2

考点三

给值求角问题(已知某角的三角函数值,求另一角的值) π α 1 2 例 3 已知 0<α<2<β<π,tan 2=2,cos(β-α)= 10 . (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值.

变式迁移 3

5 10 若 sin A= 5 ,sin B= 10 ,且 A、B 均为钝角,求 A+B 的值.

转化与化归思想的应用 2 5 (12 分)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= 5 . (1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若- <β<0<α< ,且 sin β=- ,求 sin α 的值. 2 2 13 【答题模板】 2 5 4 解 (1)∵|a-b|= 5 ,∴a2-2a· b+b2=5.[2 分] 又∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),∴a2=b2=1, a· b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),[4 分] 4 4 a2+b2-5 2-5 3 故 cos(α-β)= = = 2 2 5.[6 分] π π 3 4 (2)∵-2<β<0<α<2,∴0<α-β<π.∵cos(α-β)=5,∴sin(α-β)=5.[8 分] 5 π 12 又∵sin β=- ,- <β<0,∴cos β= .[9 分] 13 2 13 故 sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β 4 12 3 ? 5 ? 33 =5×13+5×?-13?=65.[12 分] ? ? 【突破思维障碍】 2 5 本题是三角函数问题与向量的综合题,唯一一个等式条件 |a-b|= 5 ,必 须从这个等式出发,利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第 (1)问, 在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求, 即将 α 变为(α-β) +β. 【易错点剖析】 |a-b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点,把未知角转化成已知角并利 用角的范围确定三角函数符号也是易错点. 例

1.转化思想是实施三角变换的主导思想,变换包括:函数名称变换,角的 变换,“1”的变换,和积变换,幂的升降变换等等. 2.变换则必须熟悉公式.分清和掌握哪些公式会实现哪种变换,也要掌握 各个公式的相互联系和适用条件. 3.恒等变形前需已知式中角的差异,函数名称的差异,运算结构的差异,

寻求联系,实现转化. 4.基本技巧:切割化弦,异名化同,异角化同或尽量减少名称、角数,化 为同次幂,化为比例式,化为常数.

课后练习(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) π? 2π? 4 3 ? ? 1 已知 sin?α+3?+sin α=- 5 ,则 cos?α+ 3 ?等于 ( ) ? ? ? ? 4 3 3 4 A.-5 B.-5 C.5 D.5 π? 7π? 2 3 ? ? 2 . 已 知 cos ?α+6? - sin α = 3 , 则 sin ?α- 6 ? 的 值 是 ? ? ? ? ( ) 2 3 2 3 2 2 A.- 3 B. 3 C.-3 D.3 π? ? 4π? ? ? ? 3.已知向量 a=?sin?α+6?,1?,b=(4,4cos α- 3),若 a⊥b,则 sin?α+ 3 ? ? ? ? ? ? ? 等 于 ( ) 3 1 3 1 A.- 4 B.-4 C. 4 D.4 4 . 函 数 y = sin x + cos x 图 象 的 一 条 对 称 轴 方 程 是 ( ) 5π 3π A.x= 4 B.x= 4 π π C.x=-4 D.x=-2 5.在△ABC 中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1,则 C 的大小为 ( ) π 5 A.6 B.6π π 5 π 2 C.6或6π D.3或3π 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.如图,

图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C, 各段弧所在的圆经过 同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等.设第 i 段弧所对的圆心角为 αi (i=1,2,3),

α2+α3 α1 则 cos 3 cos 3 - α2+α3 α1 sin 3 · sin 3 =________. 3 ?π 1 ? 7.设 sin α=5 ?2<α<π?,tan(π-β)=2,则 tan(α-β)=________. ? ? ? π π? 8.已知 tan α、tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,且 α、β∈?-2,2?, ? ? 则 tan(α+β)=__________,α+β 的值为________. 三、解答题(共 38 分) π? 33 5 ? ?π ? 9. (12 分)(1)已知 α∈?0,2?, β∈?2,π?且 sin(α+β)=65, cos β=-13.求 sin ? ? ? ? α; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α-β 的值.

10.(12 分)(1)①证明两角和的余弦公式 C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β- sin αsin β;②由 C(α+β)推导两角和的正弦公式 S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β. 3 1 → → (2)已知△ABC 的面积 S= ,AB · AC=3,且 cos B=5,求 cos C. 2

11.(14 分)设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x), x∈R. ? π π? (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈?-3,3?,求 x; ? ? (2)求函数 y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0, π]上的图象.

答案 自主梳理 1.(1)cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β (2)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β tan α+tan β tan α-tan β a b (3) 2. 2 2 2 1-tan αtan β 1+tan αtan β a +b a +b2 自我检测 1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 课堂活动区 例 1 解题导引 在三角函数求值的问题中,要注意“三看”口诀,即(1) 看角,把角尽量向特殊角或可计算的角转化,合理拆角,化异为同;(2)看名称, 把算式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为弦,或把所有 的弦都转化为切;(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足则直 接使用,如果不满足需转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 解 (1)原式 ? ? ?? 3sin 10° ?1+ ??· 2sin 80° =?2sin 50° +sin 10° · cos 10° ?? ? ? ? ? cos 10° + 3sin 10° ?· 2 sin 80° =?2sin 50° +sin 10° · cos 10° ? ? ? 1 3 ? cos 10° + sin 10° ? ?· 2cos 10° 2 2 =? ? 2sin 50° +2sin 10° · cos 10° ? ? 2sin 10° sin 40° ? ? + =?2sin 50° · 2cos 10° cos 10° ? ? ? 2sin 60° = cos 10° · 2cos 10° =2 2sin 60° 3 =2 2× 2 = 6. (2)原式=sin[(θ+45° )+30° ]+cos(θ+45° )- 3· cos[(θ+45° )-30° ] 3 1 3 3 = 2 sin(θ+45° )+2cos(θ+45° )+cos(θ+45° )-2cos(θ+45° )- 2 sin(θ+45° ) =0. 2cos?30° -20° ?-sin 20° 变式迁移 1 解 (1)原式= sin 70° 3cos 20° +sin 20° -sin 20° 3cos 20° = = sin 70° = 3. sin 70° π π π π π π (2)原式=tan[(6-θ)+(6+θ)][1-tan(6-θ)· tan(6+θ)]+ 3tan(6-θ)tan(6+θ) = 3. 例 2 解题导引 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值, 求另外一些角的三角函数值, 关键在于“变角”, 使“所求角”变为“已知角”, 若角所在象限没有确定,则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其结构特 征,还要学会拆角、拼角等技巧. ?π ? ?π ? 3 解 cos?4-α?=sin?4+α?=5, ? ? ? ?

π 3π ∵0<β<4<α< 4 , π π 3π 3π ∴2<4+α<π, 4 < 4 +β<π. 4 ?π ? ?π ? ∴cos?4+α?=- 1-sin2?4+α?=-5, ? ? ? ? 12 ?3π ? ?3π ? cos? 4 +β?=- 1-sin2? 4 +β?=-13. ? ? ? ? ??π ? ?3π ?? ∴sin[π+(α+β)]=sin??4+α?+? 4 +β?? ?? ? ? ?? π 3 π π 3 ? ? ? ? ? ? ? π ? =sin?4+α?cos? 4 +β?+cos?4+α?sin? 4 +β? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 12? 4 5 56 =5×?-13?-5×13=-65. ? ? 56 ∴sin(α+β)=65. 1+tan α ?π ? 变式迁移 2 解 (1)由 tan?4+α?=2,得 =2, ? ? 1-tan α 1 即 1+tan α=2-2tan α,∴tan α=3. sin?α+β?-2sin αcos β (2) 2sin αsin β+cos?α+β? sin αcos β+cos αsin β-2sin αcos β = 2sin αsin β+cos αcos β-sin αsin β -?sin αcos β-cos αsin β? -sin?α-β? = = cos αcos β+sin αsin β cos?α-β? tan α-tan β =-tan(α-β)=- 1+tan αtan β 1 1 3-2 1 =- 1 1=7. 1+3×2 例 3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时, 遵循以下原则: ①已知正切函数值,选正切函数; π? ? ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2?,选正、 ? ? π π ? ? 余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2,2?,选正弦 ? ? 较好. (2)解这类问题的一般步骤: ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; ③根据角的范围写出所求的角. α 1 解 (1)∵tan 2=2,

α α ? α? ? ∴sin α=sin?2· = 2sin cos 2 2 ? 2? α α α 1 2sin 2cos 2 2tan 2 2×2 4 = = = = . ?1?2 5 2α 2α 2α sin 2+cos 2 1+tan 2 1+?2? ? ? π 4 3 (2)∵0<α<2,sin α=5,∴cos α=5. π 又 0<α<2<β<π,∴0<β-α<π. 2 7 2 由 cos(β-α)= 10 ,得 sin(β-α)= 10 . ∴sin β=sin[(β-α)+α] =sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α 7 2 3 2 4 25 2 2 = 10 ×5+ 10 ×5= 50 = 2 . π 3 由 <β<π 得 β= π. 2 4 2 3 (或求 cos β=- 2 ,得 β=4π) 5 10 ∵A、B 均为钝角且 sin A= 5 ,sin B= 10 , 2 2 5 ∴cos A=- 1-sin2A=- =- 5 , 5 3 3 10 cos B=- 1-sin2B=- =- 10 . 10 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B 2 5 ? 3 10? 5 10 2 ?- × =- 5 ×?- = 10 2 .① 10 ? 5 ? π π 又∵2<A<π,2<B<π, ∴π<A+B<2π.② 7π 由①②,知 A+B= 4 . 课后练习区 1.D 2.D 3.B 4.A 5.A 1 2 2 6.-2 7.-11 8. 3 -3π 5 ?π ? 9.解 (1)∵β∈?2,π?,cos β=-13, ? ? ∴sin β 变式迁移 3 解 12 13.…………………………………………………………………………(2 分) π π 又∵0<α<2,2<β<π,



π 3π 33 ∴2<α+β< 2 ,又 sin(α+β)=65, ∴cos(α+β)=- 1-sin2?α+β? = - ?33? 1-?65?2 ? ? = -

56 65,…………………………………………………………(4 分) ∴sin α=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β 33 ? 5? ? 56? ?-13? ?-65? = · - · 65 ? ? ? ? 3 5.…………………………………………………………(6 分) (2)∵tan α=tan[(α-β)+β] 1 1 2-7 tan?α-β?+tan β = = 1 1 1-tan?α-β?tan β 1+2×7 1 3,……………………………………………………(8 分) ∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)] 1 1 3+2 tan α+tan?α-β? = = 1 1 1-tan αtan?α-β? 1-3×2 1.……………………………………………………(10 分) 1 1 ∵α,β∈(0,π),tan α=3<1,tan β=-7<0, π π ∴0<α<4,2<β<π, ∴ - π<2α - β<0 , ∴2α - β 3π 4 .……………………………………………………(12 分) 10.(1)

12 13











①证明 如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α、β 与-β,使 角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终 边交⊙O 于点 P3;角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4. 则 P1(1,0), P2(cos α, sin α), P3(cos(α+β), sin(α+β)), P4(cos(-β), sin(-β)), …………………………………………………………………………………… ……(2 分)

由|P1P3|=|P2P4|及两点间的距离公式, 得[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β) =[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2, 展开并整理得: 2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β), ∴cos(α + β) = cos αcos β - β.……………………………………………………(4 分) ?π ? ②解 由①易得,cos?2-α?=sin α, ? ? ?π ? sin?2-α?=cos α. ? ? ?π ? sin(α+β)=cos?2-?α+β?? ? ? ??π ? ? =cos??2-α?+?-β?? ?? ? ? ?π ? ?π ? =cos?2-α?cos(-β)-sin?2-α?sin(-β) ? ? ? ? =sin αcos β+cos αsin β. ∴sin(α + β) = sin αcos β + β.……………………………………………………(7 分) (2)解 由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c. 1 1 则 S=2bcsin A=2, →· → =bccos A=3>0, AB AC ∴A∈

sin

αsin

cos

αsin

π? ? ?0,2? , cos A = 3sin ? ? A,……………………………………………………………(9 分) 又 sin2A+cos2A=1, 10 3 10 ∴sin A= 10 ,cos A= 10 , 3 4 由 cos B=5,得 sin B=5. 10 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= 10 . …………………………………………………………………………………… ………(11 分) 10 故 cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=- 10 . …………………………………………………………………………………… ………(12 分) 11.解 (1)依题设得 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x π? ? =1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin?2x+6?+1. ? ? π ? ? 由 2sin?2x+6?+1=1- 3, ? ?



sin

π? ? ?2x+6? ? ?





3 2 .……………………………………………………………………(3 分) π π π π 5π ∵-3≤x≤3,∴-2≤2x+6≤ 6 . π π ∴2x + = - , 即 x = 6 3 π 4.………………………………………………………………(6 分) π π π (2)-2+2kπ≤2x+6≤2+2kπ (k∈Z), π π 即- +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z), 3 6 π ? π ? 得 函 数 单 调 增 区 间 为 ?-3+kπ,6+kπ? (k ? ? Z).……………………………………(10 分) 列表: π π π 2π 5π x 0 π 6 3 2 3 6 y 2 3 2 0 0 2 -1 描点连线,得函数图象如图所示:





…………………………………………………………………………………… ……(14 分)


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