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2013年中国人民大学附属中学高考冲刺卷(理科数学试卷五)


中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数 学(理) 试 卷(五)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 U ? R , A ? {x x2 ? 5x ? 6 ? 0} ,那么 ? U A ? (A) {x x ? 2 或 x ? 3} (B

) {x 2 ? x ? 3} (C) {x x ? 2 或 x ? 3} (D)

{x 2 ? x ? 3} 2 6 2. ( x ? ) 的展开式中常数项是 x
(A) -160 (A) 2 (B) -20 (B) 7 (C) 20 (C) 2 3 (D) 160 (D) 2 7 3.已知平面向量 a , b 的夹角为 60°, a ? ( 3,1) , | b |? 1 ,则 | a ? 2b |? 4.设等差数列 ?an ? 的公差 d ≠0, a1 ? 4d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ?

(A) 3 或 -1 (B) 3 或 1 (C) 3 (D) 1 5.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③ 若 n ? ? ,n ? ? ,m ? ? , 则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? ,? ? ? ,m ? ? , 则m ? ? . 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①② (C)③④ (D) ②③

? x3 , x ? 0, 2 6.已知函数 f ( x) ? ? 若 f(2-x )>f(x),则实数 x 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x>0. (A) (??, ?1) ? (2, ??) (B) (??, ?2) ? (1, ??) (C) (?1, 2) (D) (?2,1) 7.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 3 4 6 y 8 . 对 于 定 义 域 和 值 域 均 为 [0 , 1] 的 函 数 f(x) , 定 义 f1 ( x)? f ( x) , f2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,?, fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ,n=1,2,3,?.满足 fn ( x) ? x 的 C
1 ? 2 x, 0? x? , ? ? 2 点 x∈[0,1]称为 f 的 n 阶周期点.设 f ( x) ? ? 则 f 的n阶 ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2
周期点的个数是 (A) 2n (B) 2(2n-1) (C) 2
n

y ? x2

B (1,1) A

y? x

O

x

(D) 2n

2

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A, y A

?
O A x

点 A 的纵坐标为

4 ,则 cosα = 5



10.双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,离心率为 3,则该双曲线的标准方程为 近线方程为 . 11.已知圆 M:x +y -2x-4y+1=0,则圆心 M 到直线 ?
2 2

,渐 A M C B P O B

? x ? 4t ? 3, (t 为参数)的距离 ? y ? 3t ? 1,
D N

为 . 12.如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6,则 MP·NP= . 13.对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下: 花期(天) 11~13 14~16 17~19 20~22 个数 20 40 30 10 则这种卉的平均花期为 天. 14.将全体正奇数排成一个三角形数阵: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ?? 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 2 2 2 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b +c -a =bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? 的形状.

3 x x x 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) 取最大值 时,判断△ABC 2 2 2 2

P 16.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC, ∠ADC=90°, 平面 PAD⊥底面 ABCD, Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA=PD=2, BC=

M D Q A C B

1 AD=1,CD= 3 . 2

(Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (Ⅱ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅲ)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值 .

17.(本小题共 13 分) 某商场在店庆日进行抽奖促销活动, 当日在该店消费的顾客可参加抽奖. 抽奖箱中有大 小完全相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆”.顾客从中任意取出 1 个球, 记下上面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取出 “隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球 为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球 中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2

(Ⅰ)设函数 f(x) 的图象与 x 轴交点为 A ,曲线 y=f(x) 在 A 点处的切线方程是 y ? 3x ? 3 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? e
? ax

? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间.

19.(本小题共 14 分) 已知点 A(?1, 0) , B(1, 0) ,动点 P 满足 | PA | ? | PB |? 2 3 ,记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? 1 与曲线 W 交于不同的两点 C , D ,若存在点 M (m, 0) ,使得

CM ? DM 成立,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题共 13 分) 已 知 Sn ? {A A ? ( a1 , a2 a ,
3

, an , , ) ai ? 0 或 1 , i ? 1, 2,

, n} (n ? 2) , 对 于

U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.

(Ⅰ)令 U ? (0, 0, 0, 0, 0) ,存在 m 个 V ? S5 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)令 W ? (0, 0, 0,
n个 0

, 0) ,若 U ,V ? Sn ,求证: d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) ;

(Ⅲ)令 U ? (a1, a2 , a3 ,

, an ) ,若 V ? Sn ,求所有 d (U ,V ) 之和.

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数学(理)试卷(五)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

3 5 25 12. 4
9. ?

10.

x2 y 2 ? ? 1 , y ? ?2 2x 4 32

11.2 14.n -n+5
2

13.16 天(15.9 天给满分)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) 在△ABC 中, 因为 b +c -a =bc, 由余弦定理 a = b +c -2bccosA 可得 cosA= 弦定理或公式必须有一个,否则扣 1 分) ????? 3 分 ∵ 0<A<π , (或写成 A 是三角形内角) ????????4 分 ∴A?
2 2 2 2 2 2

1 . (余 2

? . 3

????????5 分

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? ??????7 分 sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? sin( x ? ) ? , ????????9 分 6 2 ? 2? ? ? 5? ) ∵A? ∴ B ? (0, ∴ ? B? ? (没讨论,扣 1 分) ???10 分 3 3 6 6 6 3 ? ? ? ∴当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 ???????11 分 2 6 2 3 ? ? 又∵ A ? , ∴C ? ∴△ABC 为等边三角形. ??????13 分 3 3
(Ⅱ) f ( x) ? 16.(本小题共 14 分)

证明: (Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ????????1 分 ∵BC∥AD 且 BC=

1 AD,即 BC // AQ. 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 是棱 PC 的中点, ∴ MN // PA ????????2 分 ∵ MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB,???????3 分 ∴ PA // 平面 MBQ. ????????4 分 (Ⅱ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ????????6 分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ????????7 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ????????8 分 ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ???????9 分 另证:AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点∴ BC // DQ 且 BC= DQ, 2

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. ???????6 分 ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ????????7 分 ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ???????8 分 ∵ AD ? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ????????9 分 (Ⅲ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. ????? 10 分 z (不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) P 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .???11 分 设 M ( x, y, z ) ,
则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z) ,∵ PM ? tMC , ∴

M D Q A x N B y C

? x ? t (?1 ? x) ? ? y ? t ( 3 ? y) ? ? z ? 3 ? t (? z)





t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? ? 1? t

????????12 分

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ∵二面角 M-BQ-C 为 30°,

????????13 分

cos 30? ?

n?m n m

?

t 3? 0?t
2

?

3 ,∴ t ? 3 .??14 分 2
??1 分 ???3

17.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C.

1 1 1 1 1 则 P(A)= ? ? ? ? , (列式正确,计算错误,扣 1 分) 4 4 4 4 256
分 P(B) ?

A3 5 3 -1 ? 3 256 4

(列式正确,计算错误,扣 1 分) ???5 分

三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三种情 况. P(C) ? ( ?

9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 )? .?7 分 64 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 (Ⅱ)设摸球的次数为 ? ,则 ? ? 1, 2,3 . ??8 分

3 1 3 1 P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 1) ? , 4 4 16 4 3 3 1 9 27 , P(? ? 4) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? . (各 1 分) P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 4 64 64 故取球次数 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

1 4

3 16

9 64

27 64
?12 分 ?13 分

1 3 9 27 E? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 2.75 .(约为 2.7) 4 16 64 64
18.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , 3 2 2 ∴ f '( x) ? x ? ax ? 1 . ????????1 分 ∵ f ( x ) 在 (1, 0) 处切线方程为 y ? 3x ? 3 , ? f '(1) ? 3 ∴? , ????????3 分 ? f (1) ? 0 11 ∴ a ? 1 , b ? ? . (各 1 分) ???????5 分 6 f '( x) x 2 ? ax ? 1 ( x ? R) . (Ⅱ) g ( x) ? ax ? e e ax (2 x ? a)eax ? a( x 2 ? ax ? 1)eax g '( x) ? ? ? x[ax ? (a2 ? 2)]e?ax . ??????7 分 (eax )2 ①当 a ? 0 时, g '( x) ? 2 x ,

x

(??, 0)

0

(0, ??)

极小值 g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) . ②当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? (ⅰ)当

g '( x ) g ( x)

-

0

+ ??????9 分 ?????10 分

2 ?a a

2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, a

x
g '( x ) g ( x)

(??, 0)
2

0 0 极小值

(0,

2 ? a2 ) a
+
2

2 ? a2 a
0 极大值

(

2 ? a2 , ??) a
-

g ( x) 的单调递增区间为 (0,
(ⅱ)当

2?a 2?a ) ,单调递减区间为 (??, 0) , ( , ??) ;??11 分 a a

2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, g '( x) ? ? ?2 x2e?2 x ? 0 , a 故 g ( x) 在 (??, ??) 单调递减; ??12 分 2 (ⅲ)当 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, a 2 2 2 ?a (??, ? a) ( ? a, 0) 0 x a a a g '( x ) 0 + 0 g ( x) 极小值 极大值

(0, ??)
-

g ( x) 在 (

2 ? a2 2 ? a2 , 0) 上单调递增,在 (0, ??) , (??, ) 上单调递减 ???13 分 a a 综上所述, 当 a ? 0 时,g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) , 单调递减区间为 ( ??, 0) ; 2 ? a2 ) ,单调递减区间为 (??, 0) , 当 0 ? a ? 2 时, g ( x) 的单调递增区间为 (0, a 当 a ? 2 时, g ( x) 的单调递减区间为 (??, ??) ;

2 ? a2 2 ? a2 , 0) , (??, ). g ( x) 的单调递增区间为 ( 当 a ? 2 时, 单调递减区间为 (0, ??) , a a
( “综上所述”要求一定要写出来) 19.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点,长 轴长为 2 3 的椭圆.2 分 ∴ c ? 1 , a ? 3 , b2 ? 2 .??3 分 W 的方程是

x2 y 2 ? ? 1 .????4 分 3 2

(另解:设坐标 1 分,列方程 1 分,得结果 2 分) (Ⅱ)设 C,D 两点坐标分别为 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) ,C,D 中点为 N ( x0 , y0 ) .

? y ? kx ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 2 ?3

得 (3k ? 2) x ? 6kx ? 3 ? 0 .
2 2

??6 分

6k 3k 2 ? 2 x ? x2 3k ?? 2 ∴ x0 ? 1 , 2 3k ? 2
所以 x1 ? x2 ? ? ∴ MN 斜率 kMN

????7 分 从而 y0 ? kx0 ? 1 ?

2 . 3k ? 2
2

2 2 y0 . ? ? 3k ? 2 x0 ? m ? 3k ? m 3k 2 ? 2

???9 分

又 ∵ CM ? DM ,

2 1 3k ? 2 ∴ CD ? MN , ∴ ?? 3k k ? 2 ?m 3k ? 2
2



m??

k ?10 分 3k ? 2 当 k ? 0 时, m ? 0 ;
2

??11 分
2

6 6 k 1 ??13 分 ? [? ,0) ? (0, ]. ?? 2 12 12 3k ? 2 3k ? k 6 6 故所求 m 的取范围是 [? ??14 分 , ]. 12 12
当 k ? 0 时, m ? ? 20.(本小题共 13 分)
2 解: (Ⅰ) C5 ? 10 ;

???3 分

(Ⅱ)证明:令 u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1 , b2 , b3……bn ) ∵ ai ? 0 或 1, bi ? 0 或 1; 当 ai ? 0 , bi ? 0 时, | ai | ? | bi |? 0 ?| ai ? bi | 当 ai ? 0 , bi ? 1 时, | ai | ? | bi |? 1 ?| ai ? bi | 当 ai ? 1 , bi ? 0 时, | ai | ? | bi |? 1 ?| ai ? bi | 当 ai ? 1 , bi ? 1 时, | ai | ? | bi |? 2 ?| ai ? bi |? 0 故 | ai | ? | bi | ?| ai ? bi | ∴ d (u, w) ? d (v, w) ? (a1 ? a2 ? a3 +

+an ) ?(b1 ? b2 ? b3 +

+bn )
???8 分

? (| a1 | ? | a2 | ? | a3|+
n

+|an |) ?(| b1 | ? | b2 | ? | b3|+

+|bn |) , 2n ) v ? (b1, b2 , b3……bn )

? (| a1 ? b1 | ? | a2 ? b2 | ? | a3 ? b3|+
∵ bi ? 0 的 vk 共有 2 ∴
n ?1

+|an ? bn |) ? d (u, v)
n ?1

(Ⅲ) 解: 易知 Sn 中共有 2 个元素, 分别记为 vk (k ? 1, 2, 个, bi ? 1 的 vk 共有 2 个.
2
n

? d (u, v )
k ?1 k

=

(2n?1 | a1 ? 0 | ?2n?1 | a1 ?1| ?2n?1 | a2 ? 0 | ?2n?1 | a2 ?1 |+
=n 2
n ?1

+2n?1|an ? 0 | +2n?1|an ?1|)
n ?1

??13 分



? d (u, v ) = n 2
k ?1 k

2n



r 法二:根据(Ⅰ)知使 d (u, vk ) ? r 的 vk 共有 Cn 个


2n

? d (u, v ) = 0 C
k ?1 k k

2n

0 n

1 2 ? 1 Cn ? 2 Cn ?

n ? n Cn

? d (u, v ) = n C
k ?1 2n

n n

n?1 n ?2 ? (n ?1) Cn ? (n ? 2) Cn ?

0 ? 0 Cn

两式相加得

? d (u, v ) = n 2
k ?1 k

n ?1

(若用其他方法解题,请酌情给分)


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