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高考零模冲刺讲义C级考点讲解与训练三角函数与平面向量(教师版)


高三零模冲刺讲义 C 级考点讲解与训练

三角函数与平面向量
C 级考点回顾:两角和与差的余弦、正弦与正切;平面向量的数量积 一、课本回顾与拓展 1. (P6 例 2)已知 ? 是第三象限角,则 变式:已知 ? ? ? ? ? 4k? ,
?

? 在第________象限. 2

? ?


? 3 ? ,则 在第________象限. 第二象限 ? ? 4k? ? ( k ? Z ) 2 2 ?

2. 已知角 ? 是小于 180 的正角,如果角 7? 的终边与角 ? 的终边重合,则 ? 的值为________. 3. (P10 习题 9)蒸汽机飞轮的直径为 1.2 m ,以 300r / min 转/分 的速度作逆时针旋转,求: (1)飞轮 1s 内转过的弧度数; (2)轮周上一点 1s 内所经过的路程. 变:在直径为 10 cm 的轮子上有一长为 6cm 的弦, P 是弦的中点,轮子每秒转 5rad ,则经过 5s 后点 P 转 过的弧长为___________. 100 cm 4. 如图, 一长为 3dm , 宽为 1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚, 翻滚到第三面时被一小木板挡住, 使木块底面与桌面成 30 的角,则点 A 走过的弧的总长为 _ _____ dm .

?

?

9?2 3 ? 6

5.(P10 习题 10) 已知 ? =

?
6

, 角 ? 的终边与角 ? 的终边关于直线 y ? x 对称, 则角 ? 的集合为___________.

6. (P15 练习 2)已知角 ? 的终边经过点 P(? x,?6) ,且 cos ? ? ? 7. (1) (P21 例 3) 已知 cos( 75 ? ? ) ?
?

5 5 ,则 x 的值为_________. 2 13

1 ? ? , 且 ? 180 ? ? ? ?90 , 则 cos( 15? ? ? ) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

.?

2 2 3

(2)已知 cos(75 ? ? ) ?

1 , 其中 ? 180 ? ? ? ?90 ,则 sin(105 ? ? ) ? cos(375 3

? )? 的值为_________.

(3) (p23 习题 17)已知 sin( x ?

?
6

)?

1 5 2 ? ,则 sin( ? ? x) ? sin ( ? x) ? ________ . 4 6 3

? 3? cos( ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? sin(?? ? ) 2 2 =____________. 8. (P22 练习 6)化简 f (? ) ? 3? sin(?? ? ? ) ? sin( ? ? ) 2

9.(P23 习题 11) (1)设 tan ? ? 2 ,则 (2)设 tan ? ? ?

sin ? ? cos ? ? _________ . sin ? ? cos ?

1 1 ,计算 的值为__________. 2 2 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ?

10.(P23 习题 18)已知角 ? 的终边经过点 P(4a,3a)(a ? 0) ,则 2sin ? ? cos ? 的值为_______ 变:角 ? 的终边上有一点 P( x,?2) 且 cos ? ?

x ,则 sin ? ? _______ -1 或-2/3 3

11.(P23 习题 19)利用单位圆分别写出符合下列条件的角 ? 的集合: (1) sin ? ? ?

1 1 ; (2) sin ? ? ? 2 2

变:函数 y ? lgsin x ? 1 ? 2cos x 的定义域为___________________. 12. (P23 习题 20) (1)已知 sin ? ? cos ? ? 2 ,求 sin ? cos ? 及 sin 4 ? ? cos4 ? 的值; (2)已知 sin ? ? cos ? ?

1 ? 0 ? ? ? ? ? ,求 tan ? 的值. 5

13. (P26 练习 3 改编)若函数 f ( x) ? sin( kx ?

?

2 ) 的最小正周期为 ? ,则实数 k 的值为_______. 5 3

14. (P40 习题 4 改编)将函数 y ? 2sin π x 的图象上每一点向右平移 1 个单位,再将所得图象上每一点的 3 横坐标扩大为原来的 π 倍 (纵坐标保持不变) , 得函数 y ? f ( x) 的图象, 则 f ( x) 的一个解析式为 _______ . 3

y ? 2sin x ? π 3

?

?

15. (P41 例 1)在图中,点 O 为做简弦运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若 已知振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。 (1)求物体对平衡位置的位移 x (cm)和时间 t (s)之间的函数关系; (2)求该物体在 t ? 5s 时的位置.

O

16. (P42 例 2 改编) 如图, 摩天轮的半径为 50 m, 点 O 距地面的高度为 60 m, 摩天轮做匀速转动, 每 3 min 转一圈,摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距离地面的高度;

(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 85 m?

(第 15 题) 解: (1)解:设点 P 离地 面的距离为 y,则可令 y=Asin(ωt+φ)+b. 由题设可知 A=50,b=60. 2π 2π 2π 又 T= =3,所以 ω= ,从而 y=50sin( t+φ)+60. ω 3 3 2π π 再由题设知 t=0 时 y=10,代入 y=50sin( t+φ)+60,得 sinφ=-1,从而 φ=- . 3 2 2π 因此,y=60-50cos t 3 (t≥0).

2π 2π 1 (2)要使点 P 距离地面超过 85 m,则有 y=60-50cos t>85,即 cos t<- . 3 3 2 2π 2π 4π 于是由三角函数基本性质推得 < t< ,即 1<t<2. 3 3 3 所以,在摩天轮转动的一圈内,点 P 距离地面超过 85 m 的时间有 1 分钟. 17.(P55 习题 15)已知定义在区间 ?则实数 a , b 的值.

? ? ?? , 上的函数 f ( x) ? 2a sin 2 x ? b 的最大值为 1,最小值为-5,求 ? 4 4? ?

18.(P62 习题 10)如图,以 1 ? 3 方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中,有多少种大小不同的 模?有多少种不同的方向?

19.(P71 习题 7 改编)与 a ? 共线的单位向量的坐标为______________. ( 12,5) 20.(P71 例 4)在 ?OAB 中,C 为直线 AB 上一点, AC ? ?CB(? ? ?1) ,求证: OC ?

OA ? ? OB 1? ?

21.(P71 练习 2)已知 e 是单位向量,向量 a 的模为 2,且 a ? ? e ,则实数 ? 的值为_________. 22.(P72 习题 10)设点 P,Q 是线段 AB 的三等分点,若 OA ? a, OB ? b ,试用 a, b 表示 OP, OQ.

(OP ?

2 1 1 2 a ? b, OQ ? a ? b) 3 3 3 3

23.(P76 练习 5)设 e1 和 e2 是不共线的向量,而 e1 ? k e2 与 k e1 ? e2 共线,则实数 k ? ______ . 24.(P82 习题 14)设向量 OA ? (k ,12) , OB ? (4,5) , OC ? (10, k ) ,若 A, B, C 三点共线时,实数 k 的 值为_________. 11 或-2 25. (P82 习题 17) 已知 O 是坐标原点,A(3,1), B(?1,3) , 若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB , 其中 ? , ? ? R , 且 ? ? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为_______________. 26. (P87 例 4) 在 ?ABC 中, 设 AB ? (2,3), AC ? (1, k ) , 且 ?ABC 是直角三角形, 则实数 k 的值为_______. (?

2 11 3 ? 13 或 或 ) 3 3 2

27.(P89 习题 13)在平行四边形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, ?BAD ? 60? ,则 AB ? AC 的值为______. 28.(P89 习题 15)设 a ? ( x,3),b ? (2,?1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围是__________. 29.(P89 习题 16)设 a, b 是两个非零向量,如果 (a ? 3b) ? (7a ? 5b) ,且 (a ? 4b) ? (7a ? 2b) ,则 a, b 的 夹角为______________. 29.(P90 习题 20)已知 | a |? 1,| b |? 3, a ? b ? ( 3,1), 试求 | a ? b |? ___, a ? b 与 a ? b 的夹角为______. 30.(P92 练习 4,5) (1)直线 l 平行于向量 a ? (2,3) ,则直线 l 的斜率为_______. (2)直线 l 经过原点且与向量 a ? (2,3) 垂直,则直线 l 的方程为___________. 31.(P93 习题 8)在平面直角坐标系中,已知 A(3,4) , B(5,12) ,O 为坐标原点, ?AOB 的平分线交线段 AB 于点 D,则点 D 的坐标为___________. 32.(P98 习题 19) 已知坐标平面内 OA ? (1 , 5),OB ? (7, 1),OM ? (1,2) ,P 是直线 OM 上一个动点,当

PA ? PB 取最小值时,求 OP 的坐标,并求 cos ?APB 的值.

33.(P98 习题 25)如图所示,一根绳穿过两个定滑轮,且两端分别挂有 3N,2N 的重物,现在两个滑轮之 间的绳上挂一个重量为 m(N)的重物,恰好使得系统处于平衡状态,求正数 m 的取值范围.

34.(P99 习题 15)设向量 a, b 的夹角为 135 ,且 a ? 与 b 的夹角大小为_________. 35.(P107 习题 4)已知 cos( ? ? ? ) ?

?

2 , b ? 2 , c ? a ? xb ,当 c 取最小值时,则 c

1 1 , cos( ? ? ? ) ? , 则 tan? tan? =__________. 3 5 1 1 , cos ? ? cos ? ? ? , 则 cos( ? ? ? ) ? __________. 2 4

36.(P107 习题 5)已知 sin ? ? sin ? ? 变:已知 sin ? ? sin ? ?

1 1 , cos ? ? cos ? ? , 则 cos( ? ? ? ) ? _____________. 2 3 5 4 , cos ? ? , ? , ? 均为锐角,则 sin ? 的值为________. 13 5

37.(P108 例 2)已知 cos( ? ? ? ) ?

38.(P110 例 5) (1)求值:

2 cos10? ? sin 20? ? ________ . cos20?

(2)求值: sin 50? (1 ? 3 tan10? ) =___________. (3)求值: sin (? ?
2

?
6

) ? sin 2 (? ?

?
6

) ? sin 2 ? ? _________ .
,且 sin( ? ? ? ) ?

39.(P112 习题 10)已知

?
4

?? ? ? ?

?
2

4 12 ,cos( ? ? ? ) ? ,则 sin 2? 的值为______. 5 13

40.(P112 习题 12)在 ?ABC 中, (1)已知 cos A ? (2)已知 sin A ?

4 12 , cos B ? ,则 cos C 的值为________; 5 13 3 5 , cos B ? ,则 cos C 的值为________. 5 13

41.(P116 例 4)在斜三角形 ?ABC 中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C

42.(P123 习题 5 改编) (1)已知 ? 为锐角, sin(? ? 15 ) ?
?

4 ? ,则 cos(2? ? 15 ) ? _____ 5

(2)已知 cos ? ?

4 4 4 ,则 sin ? ? cos ? ? __________ . 5

(3)已知 ? ? ? ? ,2? ? ,化简: 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? =____________.

?3 ?2

? ?

?? 4 ? ? (4)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2? ? ) 的值为 6? 5 12 ?
(5)已知 tan( ? ? ? ) ?

______

1 1 , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? ?0, ? ? ,则 2? ? ? 的值为__________. 2 7
? 16 65

(6)设 ?,? ? ? ?,?? ,且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值为 _____ . 2 2 13

43.(P124 习题 10)如图,将矩形纸片的右下角折起,使得该角的顶点落在矩形的左边上,那么折痕长度 l 取决于角 ? 的大小.探求 l, ? 之间的关系式,并导出用 ? 表示 l 的函数表达式.

44.(P125 链接改编)如图,在矩形 ABCD 中,AB ? 2,AD ? 1,将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转 60° 后得到矩形 A?BC ?D ? ,则点 D' 到直线 AB 的距离是 .

D? A?
D A
B B

C

C?
B
B

45. (P132 习题 18)如图,在半径为 3 、圆心角为 60 ? 的扇形的 AB 弧上任取一点 P ,作扇形的内接矩形

PNMQ ,使点 Q 在 OA 上,点 M , N 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y .
(1)按下列要求写出函数关系式; ① 设 PN ? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ② 设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求 y 的最大值.

A

Q
P

x
B

N

M

?

O

46.(P131 习题 10)函数 y ? cos2 x ? 2 cos x ? 1 的值域为___________. 47.(P51 习题 19 改编)一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (1)求棒长 L 关于 ? 的函数关系式: L?? ? ; (2)求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值.

2

?

2
2 2 ? ?? ? ?0 ? ? ? ? cos? sin ? ? 2?

解: (1)如图, AB ? (2) L?? ? ?

2 2 , BC ? cos? sin ?

L?? ? ? AC ? AB ? BC ?

2 ?cos? ? sin ? ? sin ? cos?

令 t ? cos? ? sin ? ?

? ?? ? 2 sin?? ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 t ? 1, 2 , 4 4? ?
2 2
C

?

?

则 sin ? cos? ?

?sin ? ? cos? ?2 ? 1 ? t 2 ? 1

1 2 2t 2 2 L? 2 ? ,当 t ? 1, 2 时,t ? 随着 t 的增大而增大, 1 t t ?1 t? t
所以 t ? ? ? 0,

?

?

?
B

2

1 ? t ? ?

2? ? 所以 L ? ?4,??? 2 ?
………15

A

2

所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 4 分

变:如图所示,一条直角走廊宽为 2 米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形 ABEF,它的宽为 1 米. 直线 EF 分别交直线 AC、BC 于 M、N,过墙角 D 作 DP⊥AC 于 P,DQ⊥BC 于 Q; (1) 若平板车卡在直角走廊内, 且∠ CAB ? ? , 试求平板面的长 (用 2m N E D 2m M F AP l C Q B

? 表示);
(2)若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?

2 1 2 解: (1)DM= ,DN= ,MF= ,EN= tan ? , sin ? cos ? tan ?

? EF=DM+DN-MF-EN=

2 1 2 + - - tan ? sin ? cos ? tan ?

=

2(sin ? ? cos ? ) ? 1 sin ? cos ?

(0 ? ? ?

?
2



(2)“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角( 0 ? ? ?

?
2

) ,平板车的长度不能通过,即平板车的长

度 ? l min ;记 sin ? ? cos? ? t , 1 ? t ? 2 ,有 sin ? cos ? = =

t 2 ?1 , 2

2(sin ? ? cos ? ) ? 1 4t ? 2 = 2 sin ? cos ? t ?1
m?2 ) 或直接求导, 以确定函数在 [1, 2 ] 4

此后研究函数的最小值, 方法很多; 如换元 (记 4t ? 2 ? m , 则t ? 上的单调性;当 t ?

2 时取得最小值 4 2 ? 2

48.(P15 练习 2 改编)若锐角三角形的三边长分别是 2,3, x ,则 x 的取值范围是_____________. 变:已知三角形 ?ABC 的三边长 a,b,c 成等差数列,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 84 ,则实数 b 的取值范围是_________.

?2

6, 2 7 ? ?

? 49.(P11 习题 9)如图,在ΔABC 中,∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D,求证: DC AC A

BD

AB

B

D

C

50.(P11 习题 5 改编)在 ?ABC 中,设

cos B cos C cos A ? ? ,则 cos A 的值为________. 3b 2c a

3 6

51. 如图,已知圆内接四边形 ABCD 中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,如何求四边形 ABCD 的面积? 8 3

变: A, P, Q, B 为平面上四点,其中 A, B 为定点,且 AB ? 3 ,动点 P, Q 满足 AP ? PQ ? QB ? 1 ,设

?APB 和 ?PQB 的面积分别为 S , T ,试求:
2 2 2 (1)求 S ? T 的最大值; S ? T ? ? cos ? ?
2 2

3 2

3 3 cos? ? (设角 A 为 ? ) 2 4

(2)当 S ? T 取最大值时, ?APB 的形状如何?等腰三角形
2 2

52. 在 △ ABC 中,若 sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A ,则 △ ABC 的形状为________. 等腰或直角三角形 53. (P19 例 4)半圆 O 的直径为 2, A 为直径延长线上的一点,OA ? 2 ,B 为半圆上的任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC ,问点 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大?

54.(P20 练习 4)如图,某人在高出海面 600m 的山上 P 处,测得海面上的航标 A 在正东,俯角为 30o, 航标 B 在南偏东 60o,俯角为 450,求这两个航标间的距离.

B C 中,已知 B ? 55. (P21 习题 6) 在 ?A
的长为____________.

?
4

,D 是 BC 边上一点, AD ? 10 , AC ? 14 ,DC ? 6 , 则 AB

56. ( P21 习题 7 )把一根长为 30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC ,且
? ?ABC ? 120 ,如何锯断木条,才能使第三条边 AC 最短?

57. (P24 习题 5)已知向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a, b 的夹角等于 135o, b 与 c 的夹角等于 120o,

| c |? 2, 求 | a |, | b | .
58.(P24 习题 8)一船在海上由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 ? 角,前进 m(km) 后 在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 ? 角,已知该岛周围 n(km) 范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东 行.试确定 ? , ? 满足的条件,使船能安全航行. m cos? cos? ? n sin(? ? ? ) 59.(P24 习题 7)如图,已知 ? A 是定角, P, Q 分别在 ? A 的两边上, PQ 为定长,当 P, Q 处于什么位置 时, ?APQ 的面积最大?

研究 1: ? A 是定角, P, Q 分别在 ? A 的两边上, PQ 为定长 m ,设 AQ ? a , AP ? b ,则: ① 当 a ? b 时, ?APQ 的面积有最大值;②当 a ? b 时, ?APQ 的周长有最大值

研究 2:如图,已知 ?POQ ? ? 为定值,,过定点 M 引线段 AB ,分别交 OP 、 OQ 于 A, B . (1)求证:当 MA ? MB 即 M 是线段 AB 中点时,△ OAB 的面积最小; (2)△ OAB 是以 O 为顶点的等腰三角形时,截线段的乘积 MA ? MB 最小.
P A

M O θ B Q

二、典例剖析 例 1.(2008 年江苏高考题)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α,β,它们的终 边分别与单位圆交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2? 的值.
y A B

2 2 5 , . 10 5

O

x

变:直线 y=2x+1 和圆 x2+y2=1 交于 A,B 两点,以 x 轴的正方向为始边,OA 为终边(O 是坐标原点)的 角为 α,OB 为终边的角为 β,则 sin(α+β)=________. 4 答案: - 5 4 3? 4 解析: 将 y=2x+1 代入 x2+y2=1 中得, 5x2+4x=0, ∴x=0 或- , ∴A(0,1), B? ?-5,-5?, 5

3 4 4 故 sinα=1,cosα=0,sinβ=- ,cosβ=- ,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=- . 5 5 5

例 2. (1)函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (其中 ? ? 0 , ?

?
2

?? ?

?
2

)的图象如图所示,若点 A 是函数 f ( x) 的

图象与 x 轴的交点,点 B、D 分别是函数 f ( x) 的图象的最高点和最低点,点 C ( , 0) 是点 B 在 x 轴上的 12 射影,则 AB ? BD = .

?

?2
8

?8
y l A P π x

第 1 题图

B O C 第 2 题图

(2)直线 l 与函数 y ? sin x ( x ? [0, ?] )的图象相切于点 A,且 l ∥ OP ,O 为坐标原点,P 为图象的极值点, 直线 l 与 x 轴交于点 B,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C,则 BA ? BC = (3)在 ?ABC 中,已知 BC ? 2 , AB ? AC ? 1 ,则 ?ABC 面积的最大值为_______ .

?2 ?1 4

2

( 4 ) O 为 ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 , AB ? 2, AC ? 1, ?BAC ? 120? , 若 AO ? ?1 AB ? ?2 AC, 则

?2 ? ?1 ? ______.

1 2

(5)已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°, 面积为 3 . 设 O 为△ABC 的外心, 当 BC ? 21 时, 则 AO ? BC 的值为___________. 【 解 】 由 BC ? 21 得 b2 ? c 2 ? 4 ? 21 , 即 b2 ? 16 ? 17 ? 0 , 解 得 b ? 1 或 4 . 设 BC 的 中 点为 D , 则 b2 uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AO ? AD? DO ,因为 O 为△ABC 的外心,所以 DO ? BC ? 0 ,
uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r 2 2 于是 AO ? BC ? AD ? BC ? 1 AB ? AC ? AC ? AB ? b ? c . 2 2 uuu r uuu r b2 ? c 2 uuu r uuu r 2 2 ? ? 15 ;当 b ? 4 时, c ? 1 , AO ? BC ? b ? c ? 15 . 所以当 b ? 1 时, c ? 4 , AO ? BC ? 2 2 2 2

?

??

?

例 3. 已知向量 a=(cos ?? ,cos( 10 ? ? )? ),b=( sin(10 ? ? )? ,sin ?? ), ? ,? ? R .

(1)求 a ? b 的值; (2)若 a ? b ,求 ? ; (3) ? ? 解: (1)| a |2+| b |2=2,

2

2

?
20

,求证: a // b

?

?

(2)∵ a ⊥ b ,∴cos ? ? · sin(10- ? ) ? +cos(10- ? ) ? · sin ? ? =0 ∴sin((10- ? ) ? + ? ? )=0,∴sin10 ? =0 ∴10 ? =kπ,k∈Z,∴ ? = (3)∵ ? = =cos

?

?

k? ,k∈Z 10

? , cos ? ? · sin ? θ-cos(10- ? ) ? · sin[(10- ? ) ? ] 20
· sin

? ?? ? ?? - )· sin( - ) 20 20 20 20 2 2 ? ? ?? ?? ?? ?? =cos · sin -sin · cos =0, ∴ a ∥ b 20 20 20 20

??

??

-cos(

变:如图,半径为 1 圆心角为

︵ 3? 圆弧AB上有一点 C. 2

︵ (1)当 C 为圆弧 AB中点时,D 为线段 OA 上任一点,求 | OC ? OD | 的最小值. ︵ (2)当 C 在圆弧 AB 上运动时,D、E 分别为线段 OA、OB 的中点,求 CE · DE 的取值范围. C

D E B

A

解: (1)以 O 为原点,以 OA 为 x 轴正方向,建立图示坐标系, 设 D(t,0) (0≤t≤1) ,C( ? ∴ | OC ? OD | 2 =

2 2 2 2 , ),∴ OC ? OD =( ? ? t, ) 2 2 2 2

1 1 2 2 ? 2t ? t 2 ? = t 2 ? 2t ? 1 (0≤t≤1) ,当 t ? 时,最小值为 2 2 2 2
3 π) 2

(2)设 OC =(cosα,sinα) (0≤α≤

CE ? OE ? OC =(0, ?
0) 又∵D( , ,E(0, ?
∴ DE = (?

1 1 )—(cosα,sinα)=( ? cos ?,? ? sin ? ) 2 2 1 ) 2


1 2

1 1 1 1 2 ? 1 ,? ) ∴ CE · sin(? ? ) ? DE = (cos ? ? ? sin ? ) = 2 2 2 2 2 4 4

? 7? ? ≤? ? ≤ 4 4 4

∴ CE · DE ∈[

1 2 1 2 ] ? , ? 4 2 4 2

例 4. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围. 解: (1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? . 3 (2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . ? ? 2? 3 3 2 ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 . 2 4 2 3 3 3 3

变:在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围. 解: (1)在△ABC 中,

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B , 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2 abcos C bcos C sin Bcos C

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C) ? sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 , 2 因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π 3 (2) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) 2 4 2

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ? ? 4 2 4 2? 3 ?

?

?

? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3

?

?

?

?

因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π , 3 3 故 π ? 2 A ? π ? 5π ,因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 , 3 3 3 3 2 所以 3 ? T ≤ 9 2 4

?

?

三、自主练习 1. 已知 A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、二象限.C 是圆 O 与轴正半轴的交点,△AOB 为正三角形.记∠AOC=α. sin2α+sin2α 3 4 (1)若 A 点的坐标为( , ).求 2 的值; 5 5 cos α+cos2α (2)求|BC|2 的取值范围. 3 4 4 解:(1)∵A 点的坐标为( , ),∴tanα= , 5 5 3 sin2α sinα 16 8 + 2 +2× cosα tan2α+2tanα 9 3 sin α+sin2α sin α+2sinαcosα cos α ∴ 2 = = = = =20. 2 sin α 16 cos α+cos2α 2cos2α-sin2α 2-tan2α 2- 2 2- cos α 9
2 2

(2)设 A 点的坐标为(x,y),∵△AOB 为正三角形, π π ∴B 点的坐标为(cos(α+ ),sin(α+ )),且 C(1,0), 3 3 π π π ∴|BC|2=[cos(α+ )-1]2+sin2(α+ )=2-2cos(α+ ). 3 3 3 π π π π 5π 而 A、B 分别在第一、二象限,∴α∈( , ). ∴α+ ∈( , ), 6 2 3 2 6 π 3 ∴cos(α+ )∈(- ,0). ∴|BC|2 的取值范围是(2,2+ 3). 3 2

2. 已知 a =(1+cos ? ,sin ? ), b =( 1-cos ? ,sin? ), c ? (1, 0) , ? ? (0, ? ), ? ? (? , 2? ) ,向量 a 与 c 夹角为 ?1 , 向量 b 与 c 夹角为 ? 2 ,且 ?1 - ? 2 = (1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的外接圆半径为 4 3 ,试求 b+c 取值范围. 解: (1)据题设,并注意到 ?、? 的范围, cos ?1 ?

?
6

,若 ?ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A= ? ? ? .

a ?b a b

? cos

?
2

cos ? 2 ?

1 ? cos ? (1 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ?

? sin

?
2

? cos(

?

? ), 2 2

?

? 2 为向量夹角,故 ?1、 ? 2 ? ? 0,? ? , 由于 ?1、



?

? ? ? ? ? ? ? 2? ? (0, ), ? ? (0, ), 故有 ? ?1 , ? ? ? 2 , 得 A ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 3
a sin

(2)由正弦定理

?
3

?

b c ? ?8 3, sin B sin C

得 b ? c ? 8 3(sin B ? sin C ) ? 8 3[sin B ? sin( 注意到 B ?

?

? B)] ? 8 3 sin( B ? ) 3 3

?

?

? 2? ? ( , ) ,从而得 b ? c ? (12,8 3]. 3 3 3
?x
2 ? 3 sin ?x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为

3. 函数 f ( x) ? 6 cos

2

图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (1)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (2)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5
2

解: (1)由已知可得: f ( x) ? 6 cos

?x
2

? 3 sin ?x ? 3(? ? 0)

=3cosωx+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ?

?
3

)

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 所以,函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即 所以,函数 f ( x)的值域为 [?2 3,2 3] (2)因为 f ( x0 ) ?

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

8 3 ,由 (Ⅰ)有 5

f ( x0 ) ? 2 3sin (
由 x0 ? (?

?x0

?x ? 4 ? 8 3 ( 0 ? )? ? )? , 即s i n 4 3 5 4 3 5

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 4 3 5 5
?x0
4 ?

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3[sin(

?x0

4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2

?

?

) cos

?

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4

?

7 6 . 5

4. 已知向量 m ? ?1,1? , 向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ;

3? ,且 m ? n ? ?1 4

(2)若向量 n 与 q ? (1, 0) 共线,向量 p ? ? 2 cos 2

? ?

C ? , cos A ? ,其中 A 、C 为 ?ABC 的内角,且 A 、 B 、 2 ?

C 依次成等差数列,求 n ? p 的取值范围.
解: (1)设 n ? ( x, y ) .由 m ? n ? ?1 ,得 x ? y ? ?1 ① 又向量 n 与向量 m 的夹角为

3? 2 2 ,得 x ? y ? 1 ② 4

由①、②解得 ?

? x ? ?1 ? x ? 0 或? ,? n ? (?1,0) 或 n ? (0, ?1) ?y ? 0 ? y ? ?1

(2)向量 n 与 q ? (1, 0) 共线知 n ? (?1,0) ; 由 2B ? A ? C 知 B ?

?
3

,

A?C ?

2? 2? , 0? A? . 3 3

C ? ? n ? p ? ? ?1 ? 2 cos 2 , cos A ? ? ? cos C , cos A ? , 2 ? ?

? n ? p ? cos 2 C ? cos 2 A ?

2

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ? 2 2
.

1? 1 ?? ? 4? ?? ? ? 1 ? ?cos 2 A ? cos ? ? 2 A ? ? ? 1 ? cos ? 2 A ? ? 2? 2 3? ? 3 ?? ?
0? A? 2? ? ? 5? ?? 1 ? , ? 2A ? ? , ??1 ? cos ? 2 A ? ? ? , 3 3 3 3 3? 2 ?



2 ? 2 5? 1 ?? 5 ? ?1 5 ? , ? 1 ? cos ? 2 A ? ? ? ,即 n ? p ? ? , ? ,? n ? p ? ? ? ?. 2 2 ? 2 3? 4 ? ?2 4 ? ?


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