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9.示范教案(1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象)


1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 整体设计 教学分析 本节通过图象变换,揭示参数 φ、 ω、 A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及 A、ω、φ 的物理意义,并通过图象的变化过程, 进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一 个直观反映.这节是本章的一个难点. 如何

经过变换由正弦函数 y=sinx 来获取函数 y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函 数 y=sinx 到 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到 一般的化归思想;并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点 的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数 φ、 ω、 A的 分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系. 本节课建议充分利用多媒体 , 倡导学生自主探究 , 在教师的引导下 , 通过图象变换和 “五 点”作图法,正确找出函数 y=sinx 到 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所 在. 三维目标 1.通过学生自主探究,理解 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响,ω 对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出 y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法”画出函 数 y=Asin(ωx+φ)的简图. 3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会 合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系 ,善于从运动的观点观察问题 ,培养学生解决问题 抓主要矛盾的思想 .在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理 ,乐于创新的情感需求,引发 学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观. 重点难点 教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母 φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影 响,掌握函数 y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法. 教学难点:由正弦曲线 y=sinx 到 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如 y=Asin(ωx+φ)的函数 (其中 A、ω、φ 是常数).例如,物体做简谐振动时位移 y 与时间 x 的关系,交流电中电流强度 y 与时间 x 的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观 地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 思路 2.(直接导入)从解析式来看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系? 从图象上看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索 φ、 ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 推进新课 新知探究 提出问题 ①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系?你认为可以怎样讨论参数 φ、

ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响? ②分别在 y=sinx 和 y=sin(x+

? )的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两 3

点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ 对图象有怎样的影响?对 φ 任取不同的值,作出 y=sin(x+φ)的图象,看看与 y=sinx 的图象是否有类似的关系? ③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到 y=sin(x+φ)的图象. ④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数 ω 对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗?为了作图的 方 便 , 先 不 妨 固 定 为 φ= y=sin(x+

? ). 3

? , 从 而 使 y=sin(ωx+φ) 在 ω 变 化 过 程 中 的 比 较 对 象 固 定 为 3

⑤类似地 ,你能讨论一下参数 A 对 y=sin(2x+ ω=2,φ=

? .此时,可以对 A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中 3 ? 的图象,观察它们与 y=sin(2x+ )的图象之间的关系. 3
⑥可否先伸缩后平移?怎样先伸缩后平移的? 活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同 时引导学生观察 y=sin(x+

? ) 的图象的影响吗?为了研究方便 ,不妨令 3

? )图象上点的坐标和 y=sinx 的图象上点的坐标的关系,获得 φ 对 3
? 的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结 3

y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程 ,引导学生观察变 化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差

出:先分别讨论参数 φ、ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.

图1 问题②,由学生作出 φ 取不同值时,函数 y=sin(x+φ)的图象,并探究它与 y=sinx 的图象的关 系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于 φ 对 y=sin(x+φ)的图象影响的经验. 为了研究的方便,不妨先取 φ=

? ,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图 1,分别在 3 ? )的图象上的点 3

两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点 A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们 的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个 y 值,y=sin(x+ 的横坐标总是等于 y=sinx 的图象上对应点的横坐标减去

? .这样的过程可通过多媒体课件, 3

使得图中 A、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察 A、B 的坐标、xB-xA、|AB| 的变化情况,这说明 y=sin(x+

? )的图象,可以看作是把正弦曲线 y=sinx 上所有的点向左平移 3

的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取 φ= ? 到 y=sinx 的图象向右平移

? ? ? 个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示 y=sinx 的图象向左平移 使之与 y=sin(x+ ) 3 3 3 ?
? ? 后与 y=sin(x ? )的图象重合. 4 4
4

,用同样的方法可以得

如果再变换 φ 的值,类似的情况将不断出现,这时 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已 经完成,学生关于 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓. 问题③,引导学生通过自己的研究认识 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论: y=sin(x+φ)(其中 φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当 φ>0 时)或向右(当 φ<0 时)平行移动|φ|个单位长度而得到. 问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究 ,教师作适当指导 .注意提醒学生按照从 具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以 y=sin(x+ y=sin(x+

? )的图象作比较,取点 A、B 观察.发现规律: 3

? ? )为参照,把 y=sin(2x+ )的图象与 3 3

图2 如图 2,对于同一个 y 值,y=sin(2x+ 应点的

? ? )的图象上点的横坐标总是等于 y=sin(x+ )的图象上对 3 3

1 倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导 2 1 1 ? 学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取 ω= ,让学生自己比较 y=sin( x+ )的图象 2 2 3

? )图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论: 3 1 ? ? 把 y=sin(x+ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),就得到 y=sin( x+ ) 2 3 3
与 y=sin(x+ 的图象. 当取 ω 为其他值时,观察相应的函数图象与 y=sin(x+

? )的图象的关系,得出类似的结论. 3

这时 ω 对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于 ω 对 y=sin(ωx+φ)的图象的影 响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳 y=sin(ωx+φ)的图象与 y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论: 函数 y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把 y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当 ω>1 时)或伸长(当 0<ω<1 时)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变)而得到.

图3 问题⑤,教师点拨学生,探索 A 对图象的影响的过程,与探索 ω、 φ 对图象的影响完全一致,鼓励 学生独立完成.学生观察 y=3sin(2x+

? ? )的图象和 y=sin(2x+ )的图象之间的关系.如图 3,分别 3 3

在两条曲线上各取一个横坐标相同的点 A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐

? )的图象上 3 ? ? 的点的纵坐标等于函数 y=sin(2x+ )的图象上点的纵坐标的 3 倍.这说明,y=3sin(2x+ )的图 3 3 ? 象,可以看作是把 y=sin(2x+ )的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) 3
标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个 x 值,函数 y=3sin(2x+ 而得到的.通过实验可以看到,A 取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生 得出一般结论: 函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图象,可以看作是把 y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标 伸长 ( 当 A>1 时 ) 或缩短 ( 当 0<A<1 时 ) 到原来的 A 倍 ( 横坐标不变 ) 而得到 , 从而 , 函数 y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是 A,最小值是-A. 由此我们得到了参数 φ、ω、A 对函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图象变化的影响 情况.一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出 函数 y=sinx 的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数 y=sin(x+φ)的图象; 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的

1

?

倍,得到函数 y=sin(ωx+φ)的图象; 最后把曲线上各

点的纵坐标变为原来的 A 倍,这时的曲线就是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. ⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后 平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细 节. 由此我们完成了参数 φ、ω、A 对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整 个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想. 讨论结果:①把从函数 y=sinx 的图象到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别 考察参数 φ、ω、A 对函数图象的影响,然后整合为对 y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略. ③图象左右平移,φ 影响的是图象与 x 轴交点的位置关系. ④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω 影响了图象的形状. ⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图象的形状. ⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.

纵坐标伸长 ( A?1)或缩短 ( 0? A?1) ? ????????? y=sinx 的图象 这原来的 A倍( 横坐标不变 )

得 y=Asinx 的图象

( 0?? ?1)或缩短 (? ?1) ?横坐标伸长 ??? ? ? ? ??? 1 到原来的 (纵坐标不变 )

?

(? ?0 )或缩短 (? ?1) ?向左 ?? ??? ??
得 y=Asin(ωx)的图象

平移| |个单位

? ?

得 y=Asin(ωx+φ)的图象. 规律总结: 先平移后伸缩的步骤程序如下:

向左(? ?0 )或向右 (? ?0 ) ? ????? ?? y=sinx 的图象 平移|? |个单位长度
横坐标伸长 ( 0?? ?1)或缩短 (? ?1) ? ? ? ? ? ? ? ??? 得 y=sin(x+φ)的图象 1 到原来 (纵坐标不变 )

?

得 y=sin(ωx+φ)的图象

( A?1)或缩短 ( 0? A?1) ?纵坐标伸长 ??? ?????? 为原来的 A倍( 横坐标不变 )

得 y=Asin(ωx+φ)的图象. 先伸缩后平移的步骤程序(见上). 应用示例 例 1 画出函数 y=2sin(

1 ? x- )的简图. 3 6

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的 φ= ?

?

6 1 ? 内容自己写出得到 y=2sin( x- )的图象的过程:只需把 y=sinx 的曲线上所有点向右平行移 3 6


,ω=

1 ,A=2,鼓励学生根据本节所学 3

? ? 个单位长度,得到 y=sin(x- )的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐 6 6 1 ? 标不变),得到 y=sin( x- )的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐 3 6 1 ? 标不变)而得到函数 y=2sin( x- )的图象,如图 4 所示. 3 6

图4 (2)学生完成以上变换后 ,为了进一步掌握图象的变换规律 ,教师可引导学生作换个顺序的图

象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质. (3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数 y=2sin( 步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数 y=2sin( 点法”作图的要求完成这一画图过程. 解:方法一:画出函数 y=2sin(
右移 个单位 6

1 ? x- )的简图,并鼓励学生动手按“五 3 6

1 ? x- ),简图的方法,教师再进一 3 6

1 ? x- )简图的方法为 3 6

y=sinx

?? ? ? ?? y=sin(x- ? )
6

?

横坐标不变 1 ? y=sin( x- ) 纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐标伸长到原来的 3倍 3 6 1 ? y=2sin( x- ). 3 6 1 ? 方法二:画出函数 y=2sin( x- )简图的又一方法为 3 6

?纵坐标不变 ? ???

?? ???

y=sinx

横坐标伸长到原来的 3倍

?纵坐标不变 ? ???

y=sin

1 x 3
右移 个单位 2

?? ??? y=2sin 1 x 纵坐标伸长到原来的 2 倍 3
横坐标不变

?? ? ? ?? y=2sin( 1 x- ? )=2sin 1 (x- ? ).
3

?

6

3

2

方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令 X=

1 ? ? x- ,则 x=3(X+ ).列表: 3 6 6
0

X X Y

?
2
0

? 2
2π 2

π

7? 2
0

3? 2
5π -2



13? 2
0

描点画图,如图 5 所示.

图5 点评 :学生独立完成以上探究后 ,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识 . 但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难 点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲 线与 x 轴相交的点 . 找出它们的方法是先作变量代换 , 设 X=ωx+φ, 再用方程思想由 X 取 0,

? 3? ,π, ,2π 来确定对应的 x 值. 2 2

变式训练 1.2007 山东威海一模统考,12 要得到函数 y=sin(2x+ ( )

? )的图象,只需将函数 y=sinx 的图象 3

? 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? B.向右平移 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 1 ? C.向左平移 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3 1 ? D.向右平移 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3
A.向左平移 答案:C 2.2007 山东菏泽一模统考,7 要得到函数 y=2sin(3x ? ( ) B.向右平移

?
5

)的图象,只需将函数 y=2sin3x 的图象

? 个单位 5 ? C.向左平移 个单位 15
A.向左平移 答案:D 例 2 将 y=sinx 的图象怎样变换得到函数 y=2sin(2x+

? 个单位 5 ? D.向右平移 个单位 15

? )+1 的图象? 4

活动:可以用两种图象变换得到.但无论哪种变换都是针对字母 x 而言的.由 y=sin2x 的图

? ? ? 个单位长度得到的函数图象的解析式是 y=sin2(x+ )而不是 y=sin(2x+ ),把 8 8 8 1 ? ? y=sin(x+ )的图象的横坐标缩小到原来的 ,得到的函数图象的解析式是 y=sin(2x+ ),而 2 4 4 ? 不是 y=sin2(x+ ). 4 ? ? 解:方法一:①把 y=sinx 的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度,得 y=sin(x+ )的图象; ② 4 4 1 ? 将所得图象的横坐标缩小到原来的 ,得 y=sin(2x+ )的图象;③将所得图象的纵坐标伸长 2 4 ? 到原来的 2 倍,得 y=2sin(2x+ )的图象;④最后把所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得 4 ? 到 y=2sin(2x+ )+1 的图象. 4
象向左平移 方法二:①把 y=sinx 的图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y=2sinx 的图象;②将所得图 象的横坐标缩小到原来的 度 , 得 y=2sin2(x+

? )的图象;④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 8

1 ? ,得 y=2sin2x 的图象; ③将所得图象沿 x 轴向左平移 个单位长 2 8

y=2sin(2x+

? )+1 的图象. 4

点评:三角函数图象变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法 ,关键是教师引 导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响. 变式训练 1.将 y=sin2x 的图象怎样变换得到函数 y=cos(2x解:y=sin2x=cos(

? ? -2x)=cos(2x- ). 2 2 ? ? ? 在 y=cos(2x- ) 中以 x-a 代 x, 有 y=cos [ 2(x-a)- ] =cos(2x-2a- ). 根据题意 , 有 2 2 2 ? ? ? 2x-2a- =2x- ,得 a=- . 2 4 8 ? ? 所以将 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 y=cos(2x- )的图象. 8 4 ? 2.如何由函数 y=3sin(2x+ )的图象得到函数 y=sinx 的图象? 3
? ? 3 方法一:y=3sin(2x+ ) ?? ? ? ? ??? y=sin(2x+ ) 3 3
1 纵坐标缩短到原来的 倍

? )的图象? 4

???????? y=sin(x+ ? ) 3
横坐标伸长到原来的 2倍
方法二:y=3sin(2x+

3 ?? ? ? ? y=sinx.

向右平移

?

? ? )=3sin2(x+ ) 3 6

6 ?? ? ? ? y=3sin2x

向右平移

?

倍 ???????? y=sin2x ?横坐标伸长到原来的 ?????2 ? ? y=sinx.
3.2007 山东高考,4 要得到函数 y=sinx 的图象,只需将函数 y=cos(x-

1 纵坐标缩短到原来的 倍 3

? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 3
A.向右平移 答案:A 知能训练 课本本节练习 1、2. 解答: 1.如图 6.

? 个单位 3 ? D.向左平移 个单位 6
B.向右平移

? )的图象( 3

)

点评:第(1)(2)(3)小题分别研究了参数 A、ω、φ 对函数图象的影响,第(4)小题则综合研究 了这三个参数对 y=Asin(ωx+φ)图象的影响. 2.(1)C;(2)B;(3)C. 点评:判定函数 y=A1sin(ω1x+φ1)与 y=A2sin(ω2x+φ2)的图象间的关系.为了降低难度,在 A1 与 A2,ω1 与 ω2,φ1 与 φ2 中,每题只有一对数值不同. 课堂小结 1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法 ,以及对三角函数图象及三角函数解析式的 新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台. 2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出 y=Asin(ωx+

? )的图象,并分别观察参数 φ、 ω、 A 3

对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的 化归思想. 作业 1.用图象变换的方法在同一坐标系内由 y=sinx 的图象画出函数 y= ? 2.要得到函数 y=cos(2x-

? )的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象通过怎样的变换得到? 4

1 sin(-2x)的图象. 2

3.指出函数 y=cos2x+1 与余弦曲线 y=cosx 的关系. 解答:1.∵y= ?

1 1 sin(-2x)= sin2x,作图过程: 2 2
1 纵坐标变为原来的 倍 2 横坐标不变

y=sinx

?? y= 1 sin2x. ?? ? ? ? ? ?? y=sin2x ?? ? ? ? ?
纵坐标不变

1 横坐标变为原来的 倍 2

2

? ? ? ? ? )=sin[ +(2x- )]=sin(2x+ )=sin2(x+ ), 4 2 4 4 8 ? ∴将曲线 y=sin2x 向左平移 个单位长度即可. 8
2.∵y=cos(2x3.∵y=cos2x+1, ∴将余弦曲线 y=cosx 上各点的横坐标缩短到原来的 1 个单位长度,即可得到曲线 y=cos2x+1. 设计感想 1.本节图象较多,学生活动量大,因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整 体上探究参数 φ、ω、A 对函数 y=Asin(ωx+φ)图象整体变化的影响.这符合新课标精神,符合 教育课改新理念.现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习 ,合作探究,教师仅是学生 主动学习的激发者和引导者. 2.对于函数 y=sinx 的图象与函数 y=Asin(ωx+φ)的图象间的变换,由于“平移变换”与“伸缩变 换”在“顺序”上的差别,直接会对图象平移量产生影响,这点也是学习三角函数图象变换的难

1 倍,再将所得曲线上所有的点向上平移 2

点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同. 3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的 变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构 ,外部的变量就不能发挥它们的作用 ,但 外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习. (设计者:张云全) 第 2 课时 导入新课 思路 1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数 φ、ω、A 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图 象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,φ≠0) 的图象变换及其物理背景.由此展开新课. 思路 2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数 y=4sin(

1 ? x- )的 2 3

简图,学生动手画图,教师适时的点拨、 纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节 所学内容的基础上展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的步骤是 什么?

? )的图象; 3 ? (2)把函数 y=sin3x 的图象向_______平移_______个单位长度得到函数 y=sin(3x+ )的图 6 ? 象;(3)如何由函数 y=sinx 的图象通过变换得到函数 y=sin(2x+ )的图象? 3 ? ③将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度,所得到 2
②(1)把函数 y=sin2x 的图象向_____平移_____个单位长度得到函数 y=sin(2x- 的曲线是 y=

1 sinx 的图象,试求函数 y=f(x)的解析式. 2

对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示 各自解法)

1 1 ? ? sinx 的图象先向右平移 个单位长度,得到 y= sin(x- )的 2 2 2 2 1 1 ? 图 象 , 再 将 所 得 的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 , 得 到 y= sin(2x- ), 即 2 2 2 1 1 y= ? cos2x 的图象,∴f(x)= ? cos2x. 2 2
甲生:所给问题即是将 y= 乙 生 : 设 f(x)=Asin(ωx+φ), 将 它 的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 , 得 到

? ? x+φ) 的 图 象 , 再 将 所 得 的 图 象 向 左 平 移 个单位长度,得到 2 2 1 1 ? ? ? ? y=Asin( x+ +φ)= sinx,∴A= , =1, +φ=0, 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ? 1 即 A= ,ω=2,φ=- .∴f(x)= sin(2x- )= ? cos2x. 2 2 2 2 2
y=Asin(

丙 生 : 设 f(x)=Asin(ωx+φ), 将 它 的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 , 得 到

? ? x+φ) 的 图 象 , 再 将 所 得 的 图 象 向 左 平 移 个单位长度,得到 2 2 1 ? ? ? ?? y=Asin[ (x+ )+φ]=Asin( x+ +φ)= sinx, 4 2 2 2 2 1 ? ?? ∴A= , =1, +φ=0. 2 2 4 1 ? 解得 A= ,ω=2,φ=- , 2 2 1 ? 1 ∴f(x)= sin(2x- )= ? cos2x. 2 2 2
y=Asin( 活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生 回答并回忆 A、 ω、 φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复 习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障. 问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致 这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及 使用诱导公式的综合能力. 问题③,甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由 y=

1 sinx 变换 2

到 y=f(x),解答正确.乙、 丙两名同学都是采用代换法,即设 y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换 得到两次变换后图象的函数解析式 ,这种思路清晰,但值得注意的是 :乙生的解答过程中存在

? ? ? x+φ)的图象向左平移 个单位长度时,把 y=Asin( x+φ)函 2 2 2 ? ? ? 数 中 的 自 变 量 x 变 成 x+ , 应 该 变 换 成 y=Asin[ (x+ )+φ], 而 不 是 变 换 成 2 2 2 ? ? y=Asin( x+ +φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是正确的. 2 2
实质性的错误,就是将 y=Asin( 三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就 会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变 换是对自变量 x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.

3? ? ,π, ,2π. 2 2 1 ? ? ? ②(1)右, ; (2)左, ; (3)先 y=sinx 的图象左移 ,再把所有点的横坐标压缩到原来的 2 6 18 3
讨论结果:①将 ωx+φ 看作一个整体,令其分别为 0, 倍(纵坐标不变). ③略. 提出问题 ①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运动的 函数关系吗? ②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与 A、ω、φ 有何关系. 活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解 常数 A、ω、φ 与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对 应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),其中 A>0,ω>0.物理中,描述简谐运动

的物理量,如振幅、 周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐运动的振幅,

2? ,这是做简 ? 1 ? 谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式 f= = 给出,它是 T 2?
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 ;这个简谐运动的周期是 T= 做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ 称为相位;x=0 时的相位 φ 称为初相. 讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),其中 A>0,ω>0. ②略. 应用示例 例 1 图 7 是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从 O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从 A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.

图7 活动 :本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的 相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考 y=Asin(ωx+φ)中的参数 φ、ω、A 在 图象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清 φ、ω、A 等参数在图象 上是如何得到反映的 .让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问 题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的思 想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充. 解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为 2 cm;周期为 0.8 s;频率为

5 . 4

(2)如果从 O 点算起,到曲线上的 D 点,表示完成了一次往复运动;如果从 A 点算起,则到曲线上 的 E 点,表示完成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),

5? 2? =0.8,得 ω= ;由图象知初相 φ=0. 2 ? 5? 于是所求函数表达式是 y=2sin x,x∈[0,+∞). 2
那么 A=2;由 点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方 法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练 函 数 y=6sin(

1 ? x) 的 振 幅 是 , 周 期 是 ____________, 频 率 是 ____________, 初 相 是 4 6 ?

___________,图象最高点的坐标是_______________. 解:6 8π

1 8?

?
6

(8kπ+

8? ,6)(k∈Z) 3

例 2 若函数 y=Asin(ωx+φ)+B(其中 A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(

? ,3) 12

和一个最低点(

? ,-5),求这个函数的解析式. 12

活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象 ,它的解析式 为 y=Asin(ωx+φ)+B( 其 中 A>0,ω>0), 这 是 学 生 未 遇 到 过 的 . 教 师 应 引 导 学 生 思 考 它 与 y=Asin(ωx+φ)的图象的关系,它只是把 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图象向上(B>0)或向下 (B<0)平移|B|个单位.由图象可知,取最大值与最小值时相应的 x 的值之差的绝对值只是半个 周期.这里 φ 的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图象,不像例 1 那样能明显 地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π,如不注明,就取离 y 轴最近的一个即可. 解:由已知条件,知 ymax=3,ymin=-5, 则 A=

1 1 T 7? ? ? (ymax-ymin)=4,B= (ymax+ymin)=-1, = = . 2 2 2 12 12 2

∴T=π,得 ω=2. 故有 y=4sin(2x+φ)-1.

? ? ,3)在函数的图象上,故有 3=4sin(2× +φ)-1, 12 12 ? ? ? ? ? 即 sin( +φ)=1.一般要求|φ|< ,故取 +φ= .∴φ= . 6 2 6 2 3 ? 故所求函数的解析式为 y=4sin(2x+ )-1. 3
由于点( 点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意 画出草图,结合图象可直接求得 A、ω,进而求得初相 φ,但要注意初相 φ 的确定.求初相也是这 节课的一个难点. 变式训练 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)一个周期的图象如图 8 所示,求函数的解析式.

解 :根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点 ,而选择对应 的方程 ωxi+φ=0,

? 3? ,π, ,2π(i=1,2,3,4,5),得出 φ 的值. 2 2

方法一:由图知 A=2,T=3π,

2 2 2? =3π,得 ω= ,∴y=2sin( x+φ). 3 3 ? 3? 由“五点法”知,第一个零点为( ,0), 4 2 3? ? ∴ · +φ=0 φ=- , 3 4 2 2 ? 故 y=2sin( x- ). 3 2 2 方法二:得到 y=2sin( x+φ)同方法一. 3


由图象并结合“五点法”可知,(

2 9? ? · +φ=π φ= ? . 3 4 2 2 ? ∴y=2sin( x- ). 3 2
∴ 2.2007 海南高考,3 函数 y=sin(2x-

3? 9? ,0)为第一个零点,( ,0)为第二个零点. 4 4

点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用 ωx1+φ=0 或 ωx2+φ=π 求出 φ.

? ? )在区间[ ? ,π]上的简图是( 2 3

)

图9 答案:A 知能训练 课本本节练习 3、4. 3.振幅为

2 1 ? ,周期为 4π,频率为 .先将正弦曲线上所有的点向右平行移动 个单位长度,再 3 4? 4 2 倍. 3

在纵坐标保持不变的情况下将各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,最后在横坐标保持不变的情 况下将各点的纵坐标缩短到原来的

点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 正弦曲线的关系.

? ? ? . 把正弦曲线在区间[ ,+∞) 的部分向左平行移动 个单位长度 , 就可得到函数 12 12 12 ? y=sin(x+ ),x∈[0,+∞)的图象. 12
4. 点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数 y=sin(x+φ)的图象与正弦 曲线的关系. 课堂小结 1.由学生自己回顾本节学习的数学知识 :简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法 :由简单 到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值. 2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题 目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可;如果函数不同名,则将 异名函数化为同名函数,且需 x 的系数相同.左右平移时,如果 x 前面的系数不是 1,需将 x 前面

的系数提出,特别是给出图象确定解析式 y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一 零点( ? 作业

? ,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置. ?
)

? )的图象适当变动就可以得到 y=sin(-3x)的图象,这种变动可以是( 4 ? ? ? ? A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移 4 4 12 12 ? ? ? 解:∵y=cos(3x+ )=sin( -3x)=sin[-3(x)], 4 4 12 ? ? ∴由 y=sin[-3(x)]向左平移 才能得到 y=sin(-3x)的图象. 12 12
把函数 y=cos(3x+ 答案:D 点评:本题需逆推,教师在作业讲评时应注意加强学生逆向思维的训练.如本题中的 需写成-3(x-

? ),这样才能确保平移变换的正确性. 12

? -3x 4

设计感想 1.本节课符合新课改精神,突出体现了以学生能力的发展为主线,应用启发式、讲述式引导学 生层层深入,培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力.注重利用非智力因 素促进学生的学习,实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一. 2.由于本节内容综合性强,所以本节教案设计的指导思想是:在教师的引导下,让学生积极、主 动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归.在思维训练的过程中,感受数学知识的魅 力,成为学习的主人.新课改要求教师在新的教学理念下,要勇于,更要善于把问题抛给学生,激 发学生探求知识的强烈欲望和创新意识.教学的目的是以知识为平台,全面提升学生的综合能 力.


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