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高中物理竞赛教程(超详细修订版)


高中物理竞赛力学教程

第一讲

力、物体的平衡

第一讲

力、物体的平衡
§1.1 常见的力

1、1、1 力的概念和量度 惯性定律指出,一个物体,如果没有受到其他物体作用,它就保持其相对于惯性参照系 的速度不变,也就是说,如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变,必是

由于受到其他物 体对它的作用,在力学中将这种作用称为力。凡是讲到一个力的时候,应当说清楚讲到的是 哪一物体施了哪一个物体的力。 一个物体,受到了另一物体施于它的力,则它相对于惯性参照系的速度就要变化,或者 说,它获得相对于惯性参照系的加速度,很自然以它作用于一定的物体所引起的加速度作为 力的大小的量度。实际进行力的量度的时候,用弹簧秤来测量。 重力 由于地球的吸引而使物体受到的力,方向竖直向下,在地面附近,可近似认为 重力不变(重力实际是地球对物体引力的一个分力,随纬度和距地面的高度而变化) 弹力 物体发生弹性变形后,其内部原子相对位置改变, 而对外部产生的宏观反作用力。 反映固体材料弹性性质的胡克定 l F 律,建立了胁强(应力)? ? 与胁变(应变) ? ? ?l 之间的 ?l

S

l

正比例关系,如图所示

? ? E?

图 1-1-1

F

式中 E 为杨氏弹性模量,它表示将弹性杆拉长一倍时,横截面上所需的应力。 弹力的大小取决于变形的程度,弹簧的弹力,遵循胡克定律,在弹性限度内,弹簧弹力 的大小与形变量(伸长或压缩量)成正比。 TT T T F=-kx 式中 x 表示形变量; 负号表示弹力的方向与形变的方向 相反;k 为劲度系数,由弹簧的材料,接触反力和几何尺寸 决定。

附:弹性模量
科技名词定义 中文名称: 弹性模量 英文名称: elastic modulus 定义: 材料在弹性变形阶段内,正应力和对应的正应变的比值。
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G 图 1-1-2

G

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力、物体的平衡

所属学科: 水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利) (三级学科)
本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布

百科名片 材料在弹性变形阶段,其应力和应变成正比例关系(即符合胡克定律) ,其比例系数称为弹性 模量。弹性模量的单位是达因每平方厘米。 “弹性模量”是描述物质弹性的一个物理量,是一个 总称,包括“杨氏模量” 、 “剪切模量” 、 “体积模量”等。所以, “弹性模量”和“体积模量”是包含关系。

定义
拼音 :tanxingmoliang 英文名称: Elastic Modulus , 一般地讲,对弹性体施加一个外界作用(称为 “ 应力 ” ) 后,弹性体会发生形状的改 变(称为 “ 应变 ” ) , “ 弹性模量 ” 的一般定义是:应力除以应变。例如: 线应变 —— 对一根细杆施加一个拉力 F ,这个拉力除以杆的截面积 S ,称为 “ 线应力 ” ,杆的伸长 量 dl 除以原长 L ,称为 “ 线应变 ” 。 线应力除以线应变就等于杨氏模量 E=( F/S)/(dL/L) 剪切应变 —— 对一块弹性体施加一个侧向的力 f(通常是摩擦力) ,弹性体会由方形变成菱形,这 个形变的角度 a 称为 “ 剪切应变 ” , 相应的力 f 除以受力面积 S 称为 “ 剪切应力 ” 。 剪切应力 除以剪切应变就等于剪切模量 G=( f/S)/a 体积应变 —— 对弹性体施加一个整体的压强 p ,这个压强称为 “ 体积应力 ” ,弹性体的体积减少量 (dV) 除以原来的体积 V 称为 “ 体积应变 ” ,体积应力除以体积应变就等于体积模量 : K=P/(第 2 页共 22 页

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力、物体的平衡

dV/V)

意义:
弹性模量可视为衡量材料产生弹性变形难易程度的指标,其值越大,使材料发生一 定弹性变形的应力也越大,即材料刚度越大,亦即在一定应力作用下,发生弹性变形越 小。弹性模量 E 是指材料在外力作用下产生单位弹性变形所需要的应力。它是反映材 料抵抗弹性变形能力的指标,相当于普通弹簧中的刚度。

说明 :
又称杨氏模量。弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。是物体弹性 t 变形 难易程度的表征。用 E 表示。定义为理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。E 以 单位面积上承受的力表示,单位为牛 / 米 ^2 。模量的性质依赖于形变的性质。剪切形变 时的模量称为剪切模量,用 G 表示;压缩形变时的模量称为压缩模量,用 K 表示。模 量的倒数称为柔量,用 J 表示。 拉伸试验中得到的屈服极限 бs 和强度极限 бb ,反映了材料对力的作用的承受能 力,而延伸率 δ 或截面收缩率 ψ ,反映了材料缩性变形的能力,为了表示材料在弹性 范围内抵抗变形的难易程度,在实际工程结构中,材料弹性模量 E 的意义通常是以零 件的刚度体现出来的,这是因为一旦零件按应力设计定型,在弹性变形范围内的服役过 程中,是以其所受负荷而产生的变形量来判断其刚度的。一般按引起单位应变的负荷为 该零件的刚度,例如,在拉压构件中其刚度为: 式中 A0 为零件的横截面积。 由上式可见,要想提高零件的刚度 E A0, 亦即要减少零件的弹性变形,可选用高弹 性模量的材料和适当加大承载的横截面积, 刚度的重要性在于它决定了零件服役时稳定 性,对细长杆件和薄壁构件尤为重要。因此,构件的理论分析和设计计算来说,弹性模 量 E 是经常要用到的一个重要力学性能指标。 在弹性范围内大多数材料服从胡克定律,即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应 变的比例常数就是材料的弹性模量 E ,也叫杨氏模量。 弹性模量 在比例极限内,材料所受应力如拉伸,压缩,弯曲,扭曲,剪切等)与 材料产生的相应应变之比,用牛 / 米 ^2 表示 。

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力、物体的平衡

弹性模量:
材料的抗弹性变形的一个量,材料刚度的一个指标。 弹性模量 E=2.06e11Pa=206GPa (e11 表示 10 的 11 次方 ) 它只与材料的化学成分有关,与其组织变化无关,与热处理状态无关。各种钢的弹 性模量差别很小,金属合金化对其弹性模量影响也很小。 1 兆帕 (MPa)=145 磅 /英寸 2(psi)=10.2 千克 / 厘米 2(kg/cm2)=10 巴 (bar)=9.8 大气压 (atm) 1 磅 /英寸 2(psi)=0.006895 兆帕 (MPa)=0.0703 千克 / 厘米 2(kg/cm2)=0.0689 巴 (ba r)=0.068 大气压 (atm) 1 巴 (bar)=0.1 兆帕 (MPa)=14.503 磅 /英寸 2(psi)=1.0197 千克 /厘米 2(kg/cm2)=0.9 87 大气压 (atm) 1 大气压 (atm)=0.101325 兆帕 (MPa)=14.696 磅 /英寸 2(psi)=1.0333 千克 /厘米 2(k g/cm2)=1.0133 巴 (bar)

杨氏模量
概述
杨氏模量 (Young's modulus) 是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量, 它是沿纵向的弹性模量,也是材料力学中的名词。 1807 年因英国医生兼物理学家托马 斯· 杨 (Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名。根据胡克定律,在物体的弹 性限度内,应力与应变成正比,比值被称为材料的杨氏模量,它是表征材料性质的一个 物理量,仅取决于材料本身的物理性质。杨氏模量的大小标志了材料的刚性,杨氏模量 越大,越不容易发生形变。 杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一是工程技术设计中常用的参数。 杨氏 模量的测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各 种材料的力学性质有着重要意义,还可用于机械零部件设计、生物力学、地质等领域。 测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等,还出现了利用 光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术(微波或超声波)等实验技
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力、物体的平衡

术和方法测量杨氏模量。

胡克定律和杨氏弹性模量
固体在外力作用下将发生形变,如果外力撤去后相应的形变消失,这种形变称为弹 性形变。如果外力撤去后仍有残余形变,这种形变称为范性形变。 应力 Tensile stress ( ζ )单位面积上所受到的力( F/A A=cross-sectional area= S 面积 ) 。 应变 Tensile strain ( ε ) :是指在外力作用下的相对形变(相对伸长 e/L e=exte nsion= △ L )它反映了物体形变的大小。 胡克定律: 在物体的弹性限度内, 应力与应变成正比, 其比例系数称为杨氏模量 (记 为 E) 。用公式表达为: E=(F· L)/(A· e) E 在数值上等于产生单位应变时的应力。它的单位是与应力的单位相同。杨氏弹性 模量是材料的属性,与外力及物体的形状无关,取决于材料的组成。举例来说,大部分 金属在合金成分不同、热处理在加工过程中的应用,其杨氏模量值会有 5 %或者更大的 波动。 杨氏模数 (Young's modulus ) 是材料力学中的名词, 弹性材料承受正向应力时会产 生正向应变,定义为正向应力与正向应变的比值。公式记为 E = ζ / ε 其中, E 表示杨氏模数, ζ 表示正向应力, ε 表示正向应变。杨氏模量大, 说明在压缩或拉伸材料时,材料的形变小。

杨氏模量的单位
杨氏模量的因次同压力,在 SI 单位制中,压强的单位为 Pa 也就是帕斯卡。 但是通常在工程的使用中,因各材料杨氏模量的量值都十分的大,所以常以百万帕 斯卡( MPa )或十亿帕斯卡( GPa )作为其单位。

静弹模
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力、物体的平衡

静弹模,又称静弹性模量、杨氏模量、弹性系数,是描述固体材料抵抗 形变能力的 物理量。一条长度为 L 、截面积为 S 的金属丝在力 F 作用下伸长 ΔL 。 F/S 叫胁强,其 物理意义是金属数单位截面积所受到的力; ΔL/L 叫胁变其物理意义是金属丝单位长度 所对应的伸长量。胁强与胁变的比叫弹性模量:即。 ΔL 是微小变化量。弹性材料的一 种最重要、最具特征的力学性质。是物体变形难易程度的表征。用 E 表示。 定义为理想材料在小形变时应力与相应的应变之比。 根据不同的受力情况,分别有相应的拉伸弹性模量 ( 杨氏模量 ) 、剪切弹性模量 ( 刚性 模量 ) 、体积弹性模量等。它是一个材料常数,表征材料抵抗弹性变形的能力,其数值 大小反映该材料弹性变形的难易程度。 对一般材料而言,该值比较稳定,但就高聚物而言则对温度和加载速率等条件的依 赖性较明显。 对于有些材料在弹性范围内应力 - 应变曲线不符合直线关系的,则可根据需要可以 取切线弹性模量、割线弹性模量等人为定义的办法来代替它的弹性模量值。 意义:弹性模量可视为衡量材料产生弹性变形难易程度的指标,其值 越大,使材料 发生一定弹性变形的应力也越大,即材料刚度越大,亦即在一定应力作用下,发生弹性 变形越小 说明 : 又称杨氏模量。弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。是物体弹性 t 变形难易程度的表征。用 E 表示。定义为理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。 E 以单位面积上承受的力表示,单位为牛 / 米 ^2 。模量的性质依赖于形变的性质。剪切 形变时的模量称为剪切模量,用 G 表示;压缩形变时的模量称为压缩模量,用 K 表示。 模量的倒数称为柔量,用 J 表示。 拉伸试验中得到的屈服极限 бb 和强度极限 бS ,反映了材料对力的作用的承受能 力,而延伸率 δ 或截面收缩率 ψ ,反映了材料缩性变形的能力,为了表示材料在弹性范 围内抵抗变形的难易程度,在实际工程结构中,材料弹性模量 E 的意义通常是以零件 的刚度体现出来的,这是因为一旦零件按应力设计定型,在弹性变形范围内的服役过程 中,是以其所受负荷而产生的变形量来判断其刚度的。一般按引起单为应变的负荷为该 零件的刚度,例如,在拉压构件中其刚度为: 式中 A0 为零件的横截面积。 由上式可见,要想提高零件的刚度 EA0, 亦即要减少零件的弹性变形,可选用高弹 性模量的材料和适当加大承载的横截面积, 刚度的重要性在于它决定了零件服役时稳定 性,对细长杆件和薄壁构件尤为重要。因此,构件的理论分析和设计计算来说,弹性模 量 E 是经常要用到的一个重要力学性能指标。

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力、物体的平衡

在弹性范围内大多数材料服从虎克定律,即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应 变的比例常数就是材料的弹性模量 E ,也叫杨氏模量。 弹性模量在比例极限内,材料所受应力如拉伸,压缩,弯曲,扭曲,剪切等)与 材 料产生的相应应变之比,用牛 /米 ^2 表示。 弹性模量:材料的抗弹性变形的一个量,材料刚度的一个指标。 它只与材料的化学成分有关,与其组织变化无关,与热处理状态无关。各种钢的弹 性模量差别很小,金属合金化对其弹性模量影响也很小。 接触反力 —限制物体某些位移或运动的周围其它物体在接触处对物体的反作用力(以 下简称反力) 。这种反力实质上是一种弹性力,常见如下几类: 1、柔索类(图 1-1-2)如绳索、皮带、链条等,其张力

?方位 : 沿柔索 T? ?指向 : 拉物体
一般不计柔索的弹性,认为是不可伸长 的。滑轮组中,若不计摩擦与滑轮质量,同 一根绳内的张力处处相等。 2、光滑面(图 1-1-3)接触处的切平面 方位不受力,其法向支承力

A A

NAA
GA C
B 图 1-1-3

GA

Nc A

NBA

?方位 : 沿法线 N? ?指向 : 压物体
3、光滑铰链 物体局部接触处仍属于光滑面,但由于接触位置难于事先确定,这类接 触反力的方位,除了某些情况能由平衡条件定出外,一般按坐标分量形式设 定。 (1)圆柱形铰链(图 1-1-4,图 1-1-5,图 1-1-6)由两个圆孔和一个圆柱 销组成。在孔的轴线方向不承受作用力,其分力 C

A

图 1-1-4

?方位 : 沿x轴 X? ?指向 : 待定 ?方位 : 沿y轴 Y? ?指向 : 待定
图中 AC 杆受力如图, 支座 B 处为可动铰, 水 平方向不受约束,反力如图。 (2)球形铰链(图 1-1-7,图 1-1-8)由一个球 碗和一个球头组成,其反力可分解为

yc xc
F

F1

F1
B

x
yA
图 1-1-6

A 图 1-1-5

yB

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X? ? 方位 : 沿坐标轴 Y? 指向 : 待定 Z? ?
4、固定端(图 1-1-9,图 1-1-10) 如插入墙内的杆端,它除限制杆端移动外,还限 制转动,需增添一个反力偶 M A 。

F

F

ZA
xA
yA
A 图 1-1-8

X ? 方位 : 沿坐标轴 ? Y ? 指向: 待定

图 1-1-7

?方位 : 平面力系作用面 MA? ?转向 : 待定

A

q

F

yA xA
A

F

附:力偶
图 1-1-9 科技名词定义 中文名称: 力偶 英文名称: couple 定义 1:

MA
图 1-1-10

数值相等但方向相反的两平行力,它可以用一个垂直于力偶平面的矢量来表示。 所属学科: 机械工程(一级学科) ;机构学(二级学科) ;机构动力学(三级学科) 定义 2: 大小相等、方向相反、不作用在同一直线上的两个力所组成的力系。 所属学科: 水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利) (三级学科)
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一般,将大小相等,方向相反但不共线的两个平行力组成的力系,称为力偶,力偶 是一种只有合转矩(所有转矩的总合) ,没有合力的力系统。因此,它又称为纯转矩。 作用于物体,力偶能够使物体完全不呈现任何平移运动,只呈现纯旋转运动。最简单的 力偶是由两只大小相等,方向相反的力构成的,力偶的国际单位制是牛顿 * 米。力偶是 指两个大小相等方向相反的特殊力系。 力偶( couple ) ,大小相等、方向相反、作用线不在同一直线上的一对力。力偶对 物体产生转动效应。力偶的二力对空间任一点力矩的和是一常矢量,称为力偶矩 [1] 。一 力偶可用与其作用面平行、 力偶矩相等的另一力偶代替, 而不改变其对刚体的转动效应。 由于力偶作用面具有方向性,须引入一空间力偶矩矢 T ,其方向线与力偶作用面垂直并 按右手螺旋定则确定其指向(见图) 。 T 的大小等于力和力偶臂(力偶的二力线间的垂 直距离)的乘积。作用在刚体上的力偶矩矢是自由矢。作用在变形体上的力偶矩矢不能 自由平移,否则会产生不同的扭转效应。力偶矩的量纲与力矩的相同。其量纲的国际单 位为 N· m

摩擦力 物体与物体接触时,在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用力称为摩擦 力。 不仅固体与固体的接触面上有摩擦,固体与液体的接触面或固体与气体的接触面上也有 摩擦,我们主要讨论固体与固体间的摩擦。 1.1.2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势(就是说:假如它们之间的接触是“光 滑的” ,将发生相对滑动)时,产生的摩擦力为静摩擦力,其方向与接触面上相对运动趋势的 指向相反,大小视具体情况而定,由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来,最大静摩擦 力为

f max ? ? 0 N
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式中 ? 0 称为静摩擦因数,它取决于接触面的材料与接触面的状况等,N 为两物体间的正 压力。 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时,产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的 方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。

?

f ? ?N
为滑动摩擦因数,取决于接触面的材料与接触面的表面状况,在通常的相对速度范

围内,可看作常量,在通常情况下, ? 0与? 可不加区别,两物体维持相对静止的动力学条件 为静摩擦力的绝对值满足

f ? f max ? ?N
在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下,静摩擦因数 ? 0 略大于动摩擦因数 ? 。 摩擦角 令静摩擦因数 ? 0 等于某一角 ? 的正切值,即 ? 0 ? tg? ,这个 ? 角就称为摩擦 角。在临界摩擦(将要发生滑动状态下), f max N ? ? 0 ? tg ? 。支承面作用于物体的沿法线 方向的弹力 N 与最大静摩擦力 f max 的合力 F(简称全反力)与接触面法线方向的夹角等于摩 擦角,如图 1-1-11 所示(图中未画其他力) 。在一般情况下,静摩擦力 f 0 未达到最大值,即

f0 ? ?0 N ,
因此接触面反作用于物体 的全反力 F ? 的作用线与面法 F

f0 f ? ? 0 , 0 ? tg? N N
N F A

F?

f ? ? arctg 0 N ,不会 线的夹角 大于摩擦角,即 ? ? ? 。物体

fm

v

不会滑动。由此可知,运用摩 图 1-1-12 图 1-1-11 擦角可判断物体是否产生滑动 图 1-1-13 的条件。如图 1-1-12 放在平面 上的物体 A,用力 F 去推它,设摩擦角为 ? ,推力 F 与法线夹角为 ? ,当 ? ? ? 时,无论 F 多大,也不可能推动物块 A,只有 ? ? ? 时,才可能推动 A。 摩擦力作用的时间 因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势时,才有摩擦 力,所以要注意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰 撞后,向斜上方弹出,假设碰撞时间为 ?t ,但可能小球不需要 ?t 时间,在水平方向上便已具 有了与木块相同的速度,则在剩下的时间内小球和木块尽管还是接触的,但互相已没有摩擦 力。 如图 1-1-14,小木块和水平地面之间的动摩擦因数为 ? ,用一个与水平方向成多大 角度的力 F 拉着木块匀速直线运动最省力? F? N F 将摩擦力 f 和地面对木块的弹力 N 合成一个力 F
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f
G 图 1-1-14

F?
G

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F ? ,摩擦角为 f ? ? tg ?1 ? tg ?1 ? N ,这样木块受三个力:重力 G,桌面对木块的作用力 F ? 和拉力 F,
如图 1-1-14,作出力的三角形,很容易看出当 F 垂直于 F ?时F 最小,即有 F 与水平方向成

? ? tg ?1 ? 时最小。
例1、 例 1、 如图 1-1-15 所示皮带速度为 皮带边运动,试求物 A 所受摩擦力的方向。 解:物 A 相对地运动速度为 力 f 与 Vr 方向相反如图所示。

v0 ,物 A 在皮带上以速度 v1 垂直朝
A

Vr ,V1 ? V0 ? Vr ,滑动摩擦

V1
A

V0

? ? ? m 的情形可 例 2、物体所受全反力 R 与法向的夹角
能出现吗?

V1
图 1-1-15

V0?

f

f ? ? ? m 则 tga ? tg? m 即 N ? ? 。 解:不可能。因为若有 ? f ? f max , 这是不可能的。 然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时,
可事先假定它静止,由平衡求出

F2 F 3
F4

? ? tg ?1 ( )

F N ,有如下三种情形:

?? ? m 静止 ? ? ?? ? m临界状态 ?? ? 滑动 ? m

F合
图 1-1-16

§1.2 力的合成与分解 1.2.1、力的合成遵循平行四边形法则 F2 即力 F1和F2 的合力即此二力构成的平行四 边形的对角线所表示的力 F, 如图 1-2-1(a)根据 此法则可衍化出三角形法则。即:将 F1 , F2 通过 平移使其首尾相接, 则由起点指向末端的力 F 即 F1 (a)

F

F F1 (b)

F2

F1 , F2 的合力。 (如图 1-2-1(b))

图 1-2-1

如果有多个共点力求合力, 可在三角形法则 的基础上,演化为多边形法则。如图 1-2-2 所示,a 图为有四个力共点 O,b 图表示四个力矢 首尾相接,从力的作用 点 O 连接力 F4 力矢末端 的有向线段就表示它们 F3 F4 F1 F2
∑F

F4 F3 F5

F4

F3 F2 F1

F1 (b) 图 1-2-2

(a)

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F2 (c)

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的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的,即 F1 力矢的起步与 5 力矢的终点 重合,这表示它们的合力为零。 力的分解是力的合成的逆运算,也遵循力的平行四边形法则,一般而言,一个力分解为 两力有多解答,为得确定解还有附加条件,通常有以下 三种情况: ①已知合力和它两分力方向,求这两分力大小。这有确定的一组解答。 ②已知合力和它的一个分力,求另一个分力。这也有确定的确答。 ③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向,求第一个合力方向和第二分力大小, 其解答可能有三种情况:一解、两解和无解。 1.2.2、平面共点力系合成的解析法 如图 1-2-3, 将平面共点力及其合力构成力的多边形 abcde, 并在该平面取直角坐标系 Oxy, 作出各力在两坐标轴上的投影, 从 y y 图上可见: e ? R x ? F1x ? F2 x ? F3 x ? F4 x F4 F4y ? R Rx d ? R y ? F1 y ? F2 x ? F3 x ? F4 x Ry F3y a F3 ? 上式说明, 合力在任意一轴上 F1 的投影, 等于各分力在同一轴上投 c F1y F2y 影的代数和, 这也称为合力投影定 F b 2 x R O x F1x F2x F3x 理。知道了合力 R 的两个投影 O Rx Fy F4x Ry 和 ,就不难求出合力的大小与 (b) (a) 方向了。合力 R 的大小为: R ? R 2 ? R 2 图 1-2-3
x y

F

x

合力的方向可用合力 R 与 x 轴所夹的角的正切值来确定:

tga ?

Ry Rx

1.2.3、平行力的合成与分解 作用在一个物体上的几个力的作用线平行, 且不作用于同一点, 称为平行力系。 如图 1-2-4 如果力的方向又相同,则称为同向平行力。 两个同向平行力的合力(R)的大小等于两分力大小之和,合力作用线与分力平行,合力 方向与两分力方向相同,合力作用点在两分力作用点的连线上,合力作用点到分力作用点的 距离与分力的大小成反比,如图 B O 1-2-4(a),有: O F2 A

?R ? F1 ? F2 ? ? AO F2 ? BO ? F 1 ?

A F1 R (a)

F2 R F1 (a) 图 1-2-4

B

两个反向平行力的合力(R)的

(b

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大小等于两分力大小之差,合力作用线仍与合力平行,合力方向与较大的分力方向相同,合 力的作用点在两分力作用点连线的延长线上,在较大力的外 Z 侧,它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比,如图 1-2-4(b),有:

R ? F1 ? F2
OA F2 ? OB F1
1.2.4、空间中力的投影与分解 力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间 X z X k

γ j Y α β Y

i

? 夹角的余弦,如图 1-2-5 中的 F 力在 ox、oy、oz 轴上的投影
X、Y、Z 分别定义为

图 1-2-5

X ? F cos a ? ? Y ? F cos ? ? Z ? F cos? ? ?
这就是直接投影法所得结果, 也可如图 1-2-6 所示 采用二次投影法。这时

Z F

? ? ? X ? Fxy cos(Fxy , x) ? ? Fxy F 式中 为 在 oxy 平面上的投影矢量,而
? ? ? Fxy ? F sin( F , Z )
力沿直角坐标轴的分解式

O X 图 1-2-6 Fxy

Y

? ? ? ? ? ? F ? Xi ? Yj ? Zk ? Fx i ? Fy j ? Fz k

§1.3 共点力作用下物体的平衡 1.3.1、共点力作用下物体的平衡条件 几个力如果都作用在物体的同一点,或者它们的作用线相交于同一点,这几个力叫作共 点力。当物体可视为质点时,作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时,作 用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。 物体的平衡包括静平衡与动平衡,具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这 三种平衡状态。 共点力作用下物体的平衡条件是;物体所受到的力的合 F3 力为零。 ? F1

?F
i i

i

?0

或其分量式:

?
iy

? ?
F2

?F

ix

?0

?F
i

? 0 ? Fiz ? 0
i

如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡, 图 1-3-1
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第一讲

力、物体的平衡

用力的图示表示,则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形;力系中的任一个力 必与其余所有力的合力平衡;如果物体只在两个力作用下平衡,则此二力必大小相等、方向 相反、且在同一条直线上,我们常称为一对平衡力;如果物体在三个力作用下平衡,则此三 力一定共点、一定在同一个平面内,如图 1-3-1 所示,且满足下式(拉密定理) :

F F1 F ? 2 ? 3 sin ? sin ? sin ?
1.3.2、推论 物体在 n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态,若其中有 n-1 个力为共点力,即它们的作用 线交于 O 点,则最后一个外力的作用线也必过 O 点,整个外力组必为共点力。这是因为 n-1 个外力构成的力组为共点(O 点)力,这 n-1 个的合力必过 O 点,最后一个外力与这 n-1 个外 力的合力平衡,其作用线必过 O 点。 特例,物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时,这三个力的作用线必 相交于一点且一定共面。 §1.4 固定转动轴物体的平衡 1.4.1、力矩 力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定 F 的射线称为力的作用线。力作用于物体,常能使物体发生转动,这时 O 外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向,而且取决于外力作用 d 线与轴的距离——力臂(d)。 力与力臂的乘积称为力矩,记为 M,则 M=Fd,如图 1-4-1,O 为 垂直于纸面的固定轴,力 F 在纸面内。 图 1-4-1 力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时,此力 对物体绕该轴转动没有作用。若力 F 不在与轴垂直的平面内,可先将 力分解为垂直于轴的分量 F⊥和平行于轴的分量 F∥,F∥对转动不起作用,这时力 F 的力矩 为 M=F⊥d。 通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时,物体所受的总力矩等 于各个力产生力矩的代数和。 1.4.2、力偶和力偶矩 一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图 1-4-2 中 F1 , F2 即为力偶,力偶不 能合成为一个力,是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直 F1 的任一轴,这一对力的力矩的代数和称为力偶矩,注意到

F1 ? F2 ? F ,不难得到,M=Fd,式中 d 为两力间的距离。力偶
矩与所相对的轴无关。 1.4.3、有固定转动轴物体的平衡 有固定转轴的物体,若处于平衡状态,作用于物体上各力的 力矩的代数和为零。 §1.5 一般物体的平衡
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F2

r1

r2

O

图 1-4-2

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力、物体的平衡

力对物体的作用可以改变物体的运动状态,物体各部位所受力的合力对物体的平动有影 响,合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有,就称物体处于平衡状态。因此,一 般物体处于平衡时,要求物体所受合外力为零 足,一般物体的平衡条件写成分量式为

(? F外 ? 0)

和合力矩为零

(? M ? 0)

同时满

?F ?F ?F

x
y

? 0 ?M x ? 0

z

? 0 ?M z ? 0

? 0 ?M y ? 0

分别为对 x 轴、y 轴、z 轴的力矩。 由空间一般力系的平衡方程,去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程,容易导出 各种特殊力系的独立平衡方程。 如平面力系(设在 xOy 平面内) ,则 的平衡方程为:
x

Mx,My,Mz

?F

x

? 0, ? M x ? 0, ? M y ? 0

自动满足,则独立

?F ? 0 ?F ? 0 ?F ? 0 ? M ? 0 这一方程中的转轴可根据需要任意选取,一般原则是使尽量多的力的力臂为
y
z

z

零。 平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个,空间汇交力系和空间平行力系的独 立平衡方程均为三个。

附:平面汇交力系

英文对照

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力、物体的平衡

coplanar concurrent force systems; 在学术文献中的解释 1 、各力作用线在同一平面内且汇交于一点的力系称为平面汇交力系 .平面汇交力系 是最简单、最基本的力系 . 理论力学中平面汇交 力系的解题方法有两种 : 一种是几何法 , 另一种是解析法 平面汇交力系的平衡条件是 ∑X=0 , ∑Y=0

平面平行力系
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内并且互相平行的力系称为平面平行力 系。例如起重机、桥梁等结构上所受的力系,常常可以简化为平面平行力系。 平面平行力系可以看成是平面一般力系的特殊情形。 它的平衡方程比平面一般力系 简单,只有两个独立的平衡方程,即 ΣFx=0 或 ΣFy=0 ΣMo=0 ΣMo=0 前者为各力都与 y 轴平行,后者各力都与 x 轴平行。 平面平行力系的平衡方程也可以表示为两力矩形式,即 ΣMA=0 ΣMB=0 但 AB 的连线不能与主力平行。

平面一般力系
平面一般力系: 指的是力系中各力的作用线在同一平面内任意分布的力系称为平面 一般力系。又称为平面任意力系。 平面一般力系的平衡条件是 ; 平面一般力系中,所有各力在力系作用的平面内,两 个互相垂直的坐标轴上投影的代数和分别等于零。其平衡方程为: ΣFx=0
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第一讲

力、物体的平衡

ΣFy=0 ΣMo ( F ) =0 §1.6 1.6.1、重心 平衡的稳定性

? g 物体的重心即重力的作用点。在重力加速度 为常矢量的区域, 物体的重心是惟一的 (我
们讨论的都是这种情形) ,重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点,由于重力与质量 成正比,重力合力的作用点即为质心,即重心与质心重合。 求重心,也就是求一组平行力的合力作用点。相距 L,质量分别为 m1 , m2 的两个质点构成 的质点组,其重心在两质点的连线上,且 m1 , m2 与相距分别为:

(m1 ? m2 ) L1 ? m2 L ? 0 (m1 ? m2 ) L2 ? m1 L ? 0 m2 L m1 L L1 ? L2 ? m1 ? m2 m1 ? m2
均匀规则形状的物体,其重心在它的几何中心, 求一般物体的重心, 常用的方法是将物体分割成若干 个重心容易确定的部分后, 再用求同向平行力合力的 方法找出其重心。 物体重心(或质心)位置的求法 我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体 的重心位置。如图 1-6-1 由重量分别为 G1 , G2 的两 均匀圆球和重量为 X O A C G3

R B P

x
G2

x1 G

1

x3

x2

G3 的均匀杆连成的系统,设立如

图 1-6-1

x1 , x2 , x3 ,系统重心在 P R ? G1 ? G2 ? G3 达到平衡时有: 点,我们现在求其坐标 x。设想在 P 处给一支持力 R,令
图坐标系,原点取在 A 球最左侧点,两球与杆的重心的坐标分别为

?M ? G x
x?

1 1

? G2 x2 ? G3 x3 ? Rx ? 0

∴ 这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统,我们不难证明其 重心位置为:

G1 x1 ? G2 x2 ? G3 x3 G1 x1 ? G2 x2 ? G3 x3 ? R G1 ? G2 ? G3

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力、物体的平衡

? ? Gixi ?x ? ? Gi ? ? ? ? Giy ?y ? ? Gi ? ? Giz ?z ? ? ? Gi ?
一般来说,物体的质心位置与重心位置重合,由上面公式很易得到质心位置公式:

? ? mi x i ?x ? ? mi ? ? ? ? mi y i ?y ? ? mi ? ? mz ?z ? ? i i ? ? mi ?

P

l

图 1-6-2

如图 1-6-2,有 5 个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起,从左至右其密度分别 为ρ 、⒈1ρ 、⒈2ρ 、⒈3ρ 、⒈4ρ ,设每根棒长均为 l ,求其质心位置,若为 n 段,密度仍 如上递增,质心位置又在什么地方? 解:设整个棒重心离最左端距离为 x,则由求质心公式有

m1 x1 ?m 2 x2 ? ? ? m5 x5 m1 ? m2 ? ? ? m5 i l 3 5 7 9 ?v ? ? 1.1?v ? l ? 1.2 ?v ? l ? 1.3 ?v ? l ? 1.4 ?v ? l 2 2 2 2 2 ? ?v ? 1.1?v ? 1.2 ?v ? 1.3 ?v ? 1.4 ?b ? 2.67l x?
i i

?m x ?m

?

若为 n 段,按上式递推得:

l x? ? 2

1 ? 1.1 ? 3 ? 1.2 ? 5 ? 1.3 ? 7 ? ? ? (1 ?

n ?1 )(2n ? 1) 10 n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? 1.3 ? ? ? (1 ? ) 10

将坐标原点移到第一段棒的重心上,则上式化为:

x?

1.1 ? 1.2 ? 2 ? 1.3 ? 3 ? ? ? (1 ?

n ?1 )(n ? 1) 10 l n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? ? ? (1 ? ) 10

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B A
高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡

C 图 1-6-3

1 2 n ?1 ) ? (1 ? ) ? 2 ? ? ? (1 ? )(n ? 1) 10 10 10 ? n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? ? ? (1 ? ) 10 ?1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)? ? 1 12 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) 2 10 ? l n ?1 ?? 1.3 1q ?)1.2 ? ? ? (1 ? ) (n ? 1)(1 2n 10 ? l 3(n ? q) (1 ?

?

?

例、如图 1-6-3 所示,A、B 原为两个相同的均质实心球,半径为 R,重量为 G,A、B 球

R 3R 35 和 G 4 的小球,均质杆重量为 64 ,长度 l ? 4 R ,试求系统的重心位置。 分别挖去半径为 2
解:将挖去部份的重力,用等值、反向的力取代,图示系统可简化为图 1-1-31 所示平行 力系;其中 A B G 27

G a? ?

8

, Gb ? ?

64

G

l

。设重心位置为 O,

则合力

a

a?
C 图 1-6-3

b b?

G 27 93 W ?G?G? ? G ? G 8 64 64


?M

0

(Gi ) ? 0



G (3R ? OC ) ?

? OC=0.53R

27 R G R 35 G (OC ? 3R ? ) ? (3R ? ? OC ? G ? OC ? G (3R ? OC ) 64 4 8 2 64

1.6.2、物体平衡的种类 物体的平衡分为三类: 稳定平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,如果外力或 外力矩促使物体回到原平衡位置,这样的平衡叫稳定平衡,处于稳定平衡的物体,偏离平衡 位置时,重心一般是升高的。 不稳定平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,如果外力或 外力矩促使物体偏离原来的平衡位置,这样的平衡叫不稳定平衡,处于不稳定平衡的物体, 偏离平衡位置时,重心一般是降低的。 随遇平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界扰动而偏离平衡位置时,物体受到的合 外力或合力矩没有变化,这样的平衡叫随遇平衡,处于随遇平衡的物体,偏离平衡位置后, 重心高度不变。 在平动方面,物体不同方面上可以处于不同的平衡状态,在转动方面,对不同方向的转 轴可以处于不同的平衡状态。例如,一个位于光滑水平面上的直管底部的质点,受到平行于
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第一讲

力、物体的平衡

管轴方向的扰动时,处于随遇平衡状态;受到与轴垂直方向的扰动时,处于稳定平衡状态, 一细棒,当它直立于水平桌面时,是不稳定平衡,当它平放在水平桌面时,是随遇平衡。 1.6.3、稳度 物体稳定的程度叫稳度,一般说来,使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多,这个 平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关,重心越低,支面越大,稳度越大。 §1.7 流体静力学 流体并没有一定的开头,可以自由流动,但具有一定的密度,一般认为理想流体具有不 可压缩的特征。 1.7.1、 静止流体中的压强 (1)静止流体内部压强的特点 在静止流体内任何一点处都有压强,这一压强与方向无关仅与该点的深度有关;相连通 的静止流体内部同一深度上各点的压强相等。 关于流体内部的压强与方向无关,可以证明如下: 在静止流体中的某点处任取一个长为 ?l 的极小的直角三棱液柱,令其两侧面分别在竖直 面内和水平面内,作其截面如图 1-7-1 所示,图中坐标轴 x 沿水平方向,坐标轴 y 沿竖直方 向,以 ?x, ?y, ?n 分别表示此液柱截面三角形的三条边长,且

y

P P ,P 以 ? 表示此截面三角形的一个锐角如图 1-7-1, 又以 x , y n
分别表示对应侧面上压强的大小,则各侧面所受压力的大小分 别为:

?f n ?f x

?
?y

?
?x

?f x ? Px ?y?l ?f y ? Py ?x?l ?fn ? Pn?n?l

?f y

O 图 1-7-1

x

由此液柱很小,则其重力将远小于它的一个侧面所受到的 压力,故可忽略其重力的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡,乃有:



??f x ? ?f n cos a ? ??f y ? ?f n sin a ? Px ?y?l ? Pn ?n?l cos a ? ? Py ?x?l ? Pn ?n?l sin a

注意到 ?x ? ?n sin a, ?y ? ?n cosa ,代入上式便得

Px ? Py ? Pn
说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。 (2)静止流体内部压强的大小 若静止流体表面处的压强为 P。 (通常即为与该流体表面相接触的气体的压强) ,流体的密 ? 度为 ,则此流体表面下深度为 h 处的压强为

P ? p0 ? ?gh
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第一讲

力、物体的平衡

由上式可见,在静止流体内部高度差为 ?h 的两点间的压强差为

?p ? ?g?h
1.7.2、浮力与浮心 浮力是物体在流体中所受压力的合力。浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它所排 开流体的重量,浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律,可表示为

F ? ? 液 gV排
浮力的作用点称为浮心,浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那部分流体的 重心,它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时,它才与浸没在液体中的物体部分 的重心重合。

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力、物体的平衡

1.7.3、浮体平衡的稳定性 浮在液体表面的浮体,所受浮力与重力大小相等、方向 F F 相反,处于平衡状态。浮体平衡的稳定性,将因所受扰动方 式的不同而异。显然,浮体对铅垂方向的扰动,其平衡是稳 O 定的;对水平方向的扰动,其平衡是随遇的。 O Q Q 浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动, 其平衡的稳 定性视具体情况而定。以浮力水面的船体为例:当船体向右 ? G G 倾斜(即船体绕过质心 O 的水平对称轴转动一小角度)时, 其浮心(浮力作用点)Q 将向右偏离,浮力 F 与重力 G 构成 (a) (a) 一对力偶,力偶矩将促使船体恢复到原来的方位,如图 图 1-7-2 1-7-2(a)所示,可见船体对这种扰动,其平衡是稳定的。但 如果船体重心 O 太高, 船体倾斜所造成的力偶矩也可能促使船体倾斜加剧, 这时船体的平衡 就是不稳的,如图 1-7-2(b)所示。



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