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2015年高考人教版理科数学创新演练:函数模型及其应用]


创新演练
一、选择题 1.设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分 钟,在乙地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟,则小 王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为 ( )

D [注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,用定性 分析法不

难得到答案为 D.] 2.(2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一 个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分),则其边 长 x(单位:m)的取值范围是 ( A.[15,20] C.[10,30] C [设矩形另一边长为 y,如图所示. B.[12,25] D.[20,30] )

x 40-y 40= 40 ,则 x=40-y,y=40-x. 由 xy≥300,即 x(40-x)≥300, 解得 10≤x≤30,故选 C.]

3.(2014· 安徽名校联盟联考)如图,在平面直角坐标系中,AC 平行于 x 轴,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, 记四边形位于直线 x=t(t>0)左侧图形的面积为 f(t), 则 f(t)的大致图象是

(

)

C

[由题意得,
2?

t ?0<t≤ ?, ? 2? ?? 2 f(t)=? -(t- 2) +1( 2 <t< ? ?1(t≥ 2),
2

2?

2),

故其图象为 C.] 4.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个 月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是 ( A.y=100x C.y=50×2x C B.y=50x2-50x+100 D.y=100log2x+100 )

[根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.]

二、填空题 5.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万 元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十 月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是________. 解析 七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一

月份到十月份的销售总额是 3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%)2],根据 题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令 t=1+x%,则 25t2+25t-66≥0,

6 11 解得 t≥5或者 t≤- 5 (舍去), 6 故 1+x%≥5,解得 x≥20. 答案 20

6.(2013· 汕头模拟)鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体 育场举行一场足球义赛,预计卖出门票 2.4 万张,票价有 3 元、5 元和 8 元三 种,且票价 3 元和 5 元的张数的积为 0.6(万张)2.设 x 是门票的总收入,经预算, 扣除其他各项开支后,此次足球义赛的纯收入函数为 y=lg 2x,则这三种门票 分别为__________万张时为失学儿童募捐纯收入最大. 解析 函数模型 y=lg 2x 已给定,因而只需要将条件信息提取出来,按实际情

况代入,应用于函数即可解决问题. 设 3 元、5 元、8 元门票的张数分别为 a、b、c,

?a+b+c=2.4, 则?ab=0.6, ?x=3a+5b+8c,

① ② ③

把①代入③得 x=19.2-(5a+3b)≤19.2-2 15ab ?5a=3b, =13.2(万元),当且仅当? 时等号成立, ?ab=0.6, 解得 a=0.6,b=1,c=0.8. 由于 y=lg 2x 为增函数,即此时 y 也恰有最大值. 故三种门票分别为 0.6、1、0.8 万张时为失学儿童募捐纯收入最大. 答案 0.6,1,0.8

三、解答题 7. (2014· 鹤壁模拟)某食品公司为了解某种新品种食品的 市场需求,进行了 20 天的测试,人为地调控每天产 品的单价 P(元/件):前 10 天每天单价呈直线下降趋 势(第 10 天免费赠送品尝),后 10 天呈直线上升,其 中 4 天的单价记录如下表: 时间(将第 x 天记为 x)x 单价(元/件)P 1 9 10 0 11 1 18 8

而这 20 天相应的销售量 Q(百件/天)与时间 x 对应的点(x, Q)在如图所示的半圆 上. (1)写出每天销售收入 y(元)与时间 x(天)的函数; (2)在这 20 天中哪一天销售收入最高?此时单价 P 定为多少元为好?(结果精确 到 1 元) 解析 ?10-x,x∈[1,10], (1)P=? (x∈N*), ?x-10,x∈[11,20],

Q= 100-(x-10)2,x∈[1,20],x∈N*, ∴y=100QP=100 (x-10)2[100-(x-10)2],x∈[1,20],x∈N*. (2)∵(x-10)2[100-(x-10)2] (x-10)2+100-(x-10)2 2 ≤[ ] =2 500, 2 ∴当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2, 即 x=10± 5 2时,y 有最大值. ∵x∈N*,∴当 x=3 或 17 时, ymax=700 51≈4 999(元), 此时,P=7(元). 故第 3 天或第 17 天销售收入最高,此时应将单价 P 定为 7 元为好. 8.如图,已知矩形油画的长为 a,宽为 b.在该矩形油画 的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕, 制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为 x, 上下两边金箔的宽为 y,壁画的总面积为 S. (1)用 x,y,a,b 表示 S; (2)若 S 为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩 形木雕总面积的最大值及对应的 x,y 的值. 解析 (1)由题意可得 S=2bx+2ay+4xy+ab,其中 x>0,y>0.

(2)依题意,要求四个矩形木雕总面积的最大值即求 4xy 的最大值. 因为 a,b,x,y 均大于 0, 所以 2bx+2ay≥2 2bx·2ay, 从而 S≥4 abxy+4xy+ab,

当且仅当 bx=ay 时等号成立. 令 t= xy,则 t>0, 上述不等式可化为 4t2+4 ab·t+ab-S≤0, 解得 - S- ab S- ab ≤ t ≤ . 2 2 S- ab , 2

因为 t>0,所以 0<t≤ 从而 xy≤

ab+S-2 abS . 4 abS-ab , 2b abS-ab . 2a

? ?x= ?bx=ay, 由? 得? ?S=2bx+2ay+4xy+ab, ? ?y=
所以当 x=

abS-ab abS-ab , y = 时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值 2b 2a

为 ab+S-2 abS.


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