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河北省三河一中2012届高三高考仿真模拟试卷数学(理)试题


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三河一中 2012 届高考仿真模拟试卷
数学(理科)
1.已知集合 U ? ?1,3,5, 7,9? , A ? ?1,5, 7? ,则 CU A ? A. ?1, 3? B. ?3, 7, 9? C. ?3,5,9? D. ?3,9?

201

2.5.22

一.选择题:每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

2.已知 {an } 为等比数列,Sn 是其前 n 项和,若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 则 S5 = A.35 B.33 C.31 D.29

5 , 4

3.设向量 a = (1,0) , b = ( , ) ,则下列结论中正确的是 A. a ? b B. a ? b =

1 1 2 2

2 2

C. a//b

D. a - b 与 b 垂直

4.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 5.如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该 几何体的体积为

? ? ? C. 3 3 ? ?
A. 2 3 ? 6.已知双曲线

B. 2 3 ? ?? D. 3 3 ?

?? ?

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的焦点分别为 F1、F2 , P 为双曲线上一点,O 为坐 a 2 b2 ??? ? ???? ???? ? 2 标原点,满足 PO ? 2b , PF1 ? PF2 ? a ,则其离心率为
A.

15 3

B.

3 5 5

C.

5 3 3

D.

5 3

7.下列命题错误的是 ... A.命题 “若 x ? 3x ? 2 ? 0 , x ? 1” 则 的逆否命题为 “若 x ? 1 , x ? 3x ? 2 ? 0 ” 则 ;
2 2

B.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题; C. 命 题 p : 存 在 x0 ? R , 使 得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 , 则 ?p : 任 意 x0 ? R , 都 有
2

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x2 ? x ?1 ? 0

;
2

D.“ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. 8.执行右面的程序框图, 如果输入 m ? 72, n ? 30 , 则输出的

n是
A. 12 B. 6 C. 3 D. 0

?x ? 1 ? 9.设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区 ?y ? x ?
域是 ?2 与 ?1 关于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任 意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的最小值等于 A.

28 5

B.4

C.

12 5

D.2

10.四面体 ABCD 的棱长均为 1,E 是△ABC 内一点,点 E 到边 AB、BC、CA 的距离之和为 x, 点 E 到平面 DAB、DBC、DCA 的距离之和为 y,则 x ? y 的值为
2 2

A. 1

B .

6 2

C .

5 3

D.

17 12

11.已知垂直竖在水平地面上相距 20 米的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米,地面上的动点 P 到两旗杆顶点的仰角相等,则点 P 的轨迹是 A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 12.设函数 f(x)=ax +bx+c,且 f(1)=- ,3a>2c>2b,则函数 f(x)在区间(0,2)内 2 A.至少有一个零点 B.当 b ? 0 时有一个零点 C.当 a ? 0 时有一个零点 D.不确定 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 (a ? 2i)i=b ? i(a,b ?R) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? ________ . 14.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为_____ 15.圆心在抛物线 x ? 2 y 上,与直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为_____
2
2

a

?| log 2 x |, 0 ? x ? 4 ? 16.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若方程 f ( x) ? k ? 0 有三个不同的解 a, b, c , ? x ? 6, x ? 4 ? 2 ?
且 a ? b ? c ,则 ab ? c 的取值范围是___________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)在某海湾为我国商船护航的甲、 乙两驱逐舰分别在海

C

面上 A,B 两点处正常巡航,甲舰位于乙舰北偏西 25°方向的 A 处.两舰先
A
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D

B

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后接到在同一海域上一艘商船丙的求救信号,商船 丙在乙舰北偏东 35 方向距甲驱逐舰 62 海里的 C 处,两舰协商后由乙舰沿 BC 航线前去救援, 甲舰仍在原地执行任务.乙舰航行 30 海里后到达 D 处, 此时 A, D 相距 42 海里,问乙舰还要航行多少海里才能到达 C 处实施营救?
0

D' A' B'

C'

18.(本小题满分 12 分)已知棱柱 ABCD ? A?B?C?D? ,底 面 ABCD 是边长为 a 的菱形, BAD ? 60 , 对角线 AC 、 ?
?

D O A B

C

BD 交于点 O , A?O ? 平面ABCD .

(Ⅰ)证明:不论侧棱 AA? 的长度为何值,总有 平面AA?C?C ? 平面BB?D?D ; (Ⅱ)当二面角 B ? DD? ? C 为 45 时,求侧棱 AA? 的长度.
?

、、 8 19.某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1 2 …、,其中 X ? 5 为标准

A , X ? 3 为标准 B ,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执 行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行
标准. (Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数 X 1 的概率分布列如下所示:

X1

5
0.4

6

7

8
0.1

P

a

b

且 X 1 的数字期望 EX 1 ? 6 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)为分析乙厂产品的等级系数 X 2 ,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系
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数组成一个样本,数据如下:

3 6 8

5 3 3

3 4 4

3 7 3

8 5 4

5 3 4

5 4 7

6 8 5

3 5 6

4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X 2 的数学期望. (Ⅲ)在(Ⅰ)(Ⅱ)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购 , 买性?说明理由.注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性.

20. 设 动 点 P 到 点 A(? 1 0 ) B(1 0) 的 距 离 分 别 为 d1 和 d 2 , ?APB ? 2? , 若 , 和 ,

d1d 2 cos 2 ? ? 1 .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

| (Ⅱ) 过点 B 作直线 l 交轨迹 C 于 M,N 两点,交直线 x ? 4 于点 E ,求 | EM |? EN | 的最小
值.

21.已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

3 a ? 2 x

( a ?R ).

(I)当 a ? 1 时,求函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [4,??) 上的最小值; (Ⅱ)若方程 e
2 f ( x)

1 ? g ( x) (e 为自然对数的底数)在区间 [ ,1] 上有解,求 a 的取值范围; 2

(Ⅲ)证明:

n 5 1 n? ? ? ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1) ? ? 2n ? 1, n ? N* (参考数据: 4 60 k ?1

ln 2 ? 0.6931 )

选做题: 22.选修 4-1: 几何证明选讲:如图, 是 ? O 中直径 CF 延长线上 E
C A P O 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 D B F E

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一点,弦 AB ? CF,AE 交 ? O 于 P,PB 交 CF 于 D,连接 AO、AD. 求证: (Ⅰ) ? E= ? OAD; (Ⅱ) OF ? OD? . OE
2

23.选修 4-4:坐标系与参数方程:以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,若椭圆 C 两焦点的极坐标分别是 ( 2, 0), ( 2, ? ) ,长轴长是 4. (I)求椭圆 C 的参数方程; (II)设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 C 交于两点 A、B,P 是

l 上满足 | PA |? PB |? 1 的点,求 P 点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形. |

24.选修 4-5:不等式选讲:已知 f ( x) ? 2 x ? a ? a ( a ?R ). (Ⅰ)若 f (2a) ? ?1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? x ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 2 .

三河一中 2012 届高考仿真模拟试卷
数学(理科)参考答案
一.选择题:DCDBC 二.填空题:13.3

2012.5.22

ABBBD
14.15

BA
15. ? x ? 1? ? ? y ?
2

? ?

1? 1 ? ? 2? 2

2

16. (9,13)

三.解答题:17. 解:设 ?BAD ? ? ,在 ?ABD 中,由正弦定理得

AD BD , ? sin ?ABD sin ?
C

?

5 3 42 30 11 0 , sin ? ? ,由题意 ? ? 60 ,? cos ? ? , ? 0 14 sin 60 sin ? 14

? 1 ? cos ?ADC ? cos( ? ? ) ? ? . 7 3 在 ?ADC 中,设 CD ? x ,由余弦定理得
AC 2 ? AD 2 ? CD 2 ? 2 AD ? CD cos ?ADC 1 622 ? 422 ? x 2 ? 2 ? 42 x ? (? ) 7

A D

B

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, ? x2 ? 12 x ? 2080 ? 0 ,解得 x ? ?52 (舍) x ? 40 . 答:乙舰还要航行 40 海里才能到达 C 处实施营救. 18. 解: (Ⅰ)因为 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD , 又 A?O ? 平面ABCD , BD ? 平面ABCD ,所以 A?O ? BD , A?O ? AC ? O ,

BD ? 平面AA?C?C , BD ? 平面BB?D?D ,所以 平面AA?C?C ? 平面BB?D?D ,
故不论侧棱 AA? 的长度为何值,总有 平面AA?C?C ? 平面BB?D?D . (Ⅱ)设 平面CDD?C? 的法向量为 p ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

???? ??? ? ? ? ? 3a a ? ???? ???? ? 3a DC ? AB ? ? ? , , 0 ? , DD? ? AA? ? ? ? , 0, h ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?

???? ? p ? DC ? 0, ? ? ? ???? ? p ? DD? ? 0. ?
? p ? ?1 , ? ?

? ?? ? ? ?? ? ?

3a a x2 ? y2 ? 0, 2 2 3a x2 ? hy2 ? 0. 2



x2 ? 1, y2 ? 3, z2 ?

3a 2h





3a ? 3 ?, , 2h ? ?

1? cos n, m ? 1? 3a 2 4h 2

3a 2 4h 2

3a 2 4h 2 , ? 3a 2 3a 2 4? 2 4? 2 4h 4h 1?
?

又二面角 B ? DD? ? C 为 45 ,所以 cos n, m ?

? 3a 2 ? 3a 2 2 ? 2 ?1 ? 2 ? ,4? 4h 2 2 ? 4h ?

h2 ?

3a 2 8

此时 AA? ?

h 2 ? OA2 ?

3a 2 3a 2 3 2 3 2 ? ? a ,故 AA? ? a . 8 4 4 4

19. 解:(Ⅰ)因为 EX 1 ? 6 ,即 6a ? 7b ? 3.2 ,又 0.4 ? a ? b ?0.1 ? ,所以 a ? b ? 0.5 , 1 解方程组 ?

?6a ? 7b ? 3.2, 解得 a ? 0.3 , b ? 0.2 . ? a ? b ? 0.5

(Ⅱ)由样本的数据,样本的频率分布表如下:

X2

3

4

5

6

7

8

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f

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X 2 的概率分布列:

X2

3
0.3

4

5
0.2

6
0.1

7
0.1

8
0.1

P

0.2

所以 EX 2 ? 3 ? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.1 ? 4.8 . (Ⅲ)甲厂的产品的等级系数的数学期望为 6 ,价格为 6 元/件,所以性价比为 甲厂的产品的等级系数的数学期望为 4.8 ,价格为 4 元/件,所以性价比为 所以,乙厂的产品更具可购买性. 20. 解: (Ⅰ)在 ?PAB 中 由余弦定理得 | AB | ? d1 ? d 2 ? 2d1d 2 cos 2? ,
2 2 2

6 ? 1, 6

4.8 ? 1.2 ? 1 . 4

因为 | AB |? 2 , d1d 2 cos 2? ? d1d 2 (2cos ? ? 1) ? 2d1d 2 cos ? ? d1d 2 ? 2 ? d1d 2 ,
2 2

所以 d1 ? d 2 ? 2 2 ?| AB |? 2 ,所以点 P 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 2 2 由? 2 消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 , ? y ? k ( x ? 1). ?

4k 2 , ?= 16 k ? 4(1 ? 2k )( 2k ? 2) ? 8k ? 8 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2
4 2 2
2

2k 2 ? 2 x1 x2 ? . 1 ? 2k 2

| EM |? 1 ? k 2 ( x1 ? 4) 2 ? 1 ? k 2 (4 ? x1 ) , | EN |? 1 ? k 2 ( x2 ? 4) 2 ? 1 ? k 2 (4 ? x2 ) ,

| EM |? EN | ? (1 ? k 2 )(4 ? x1 )(4 ? x2 ) |
? (1 ? k 2 )[16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ] ? (1 ? k 2 )[16 ?

16k 2 2k 2 ? 2 ? ] 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

5 5 14 ? 18k 2 23 9 ? (1 ? k 2 )? ? 9k 2 ? ? 2 2 ? (1 ? 2k 2 ) ? 2 2 ? 7 , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 5 2 | 令 1 ? 2k ? t ? 1 ,则 | EM |? EN | ? (9t ? ) ? 7 在 [1, ??) 单调递增, 2 t

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| 所以 | EM |? EN | ?

1 (9 ? 5) ? 7 ? 14 , 2

| t ? 1时取得最小值,此时 k ? 0 ,所以 | EM |? EN | 的最小值为 14.
21. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

1 ?1 x ?1 1 3 ? ,? ' ( x) ? ? 2 ? 2 , x 2 x .x x

令 ? ' ( x) ? 0 ,又 x ? 0 ,?? (x) 在 x ? (0,1] 上单调递减,在 x ? [1,??) 上单调递增.

?当 x ? 4 时, ? ( x) ? ? (4) ? ln 4 ?
(Ⅱ) e
2 f ( x)

1 3 5 5 ? ? ln 4 ? .?? (x) 的最小值为 ln 4 ? . 4 4 2 4

? g ( x)

在 x ? [ ,1] 上有解,

1 2

3 a 1 3 1 ? 在 x ? [ ,1] 上有解 ? a ? x ? x 3 在 x ? [ ,1] 上有解. 2 2 2 x 2 3 1 3 1 3 2 2 令 h( x) ? x ? x , x ? [ ,1] ,因为 h?( x) ? ? 3x ? 3( ? x ) , 2 2 2 2 ? e 2 ln x ?
令 h' ( x) ? 0 ,又 x ? 0 ,解得: 0 ? x ?

2 . 2

? h( x ) ?

1 2 3 2 ] 上单调递增, x ? [ ,1] 上单调递减, x ? x3在 x ?[ , 2 2 2 2

又 h(1) ? h( ) ,? h(1) ? h( x) ? h(

1 2

1 2 1 2 2 ]. ,故 a ? [ , ) ,即 ? h( x) ? 2 2 2 2 2

(Ⅲ)设 a k ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1) ,

a k ? 2 ln(2k ? 1) ? ln k ? ln(k ? 1) ? ln

4k 2 ? 4k ? 1 k (k ? 1) ,

由(Ⅰ) ? ( x) min ? ln 4 ? ,

4k 2 ? 4k ? 1 5 3 1 ? 4. ? 0( x ? 4) ,? ln x ? ? ( x ? 4) ,? k (k ? 1) 4 2 x

? ak ?

3 k (k ? 1) 5 1 1 5 1 1 ? 2 ? ? ? ? 2 2 4k ? 4k ? 1 4 4 (2k ? 1) 4 4 (2k ? 1)( 2k ? 3) ,

n 5 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 ? ) .? ? a k ? n ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? ) 4 8 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 4 8 2k ? 1 2k ? 3 k ?I

5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 n? ( ? )? n? ( ? ) ? n? . 4 8 3 2n ? 3 4 8 3 5 4 60 1 1? x 构造函数 F ( x) ? ln x ? x ? 2( x ? 4), F ' ( x) ? ? 1 ? , x x ?

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?当 x ? 4 时, F ' ( x) ?

1? x ? 0. x

? F (.x) 在 [4,??) 上单调递减,即 F ( x) ? F (4) ? ln 4 ? 2 ? 2(ln 2 ? 1) ? 0 .

?当 x ? 4 时, ln x ? x ? 2 .? a k ? ln(4 ?

1 1 1 1 ? ) ? 4? ? ? 2 .即 k k ?1 k k ?1

ri 1 1 1 .? ? a k ? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 . ak ? 2 ? ? n ?1 k k ?1 k ?1

所以

n ,n? N 5 1 n? ? ? ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1) ? ? 2n ? 1 4 60 k ?1

*

22. 证明: 略.23. 答案: (I) ?

? x ? 2 cos ? , ? (? 为参数) ; ? y ? 2 sin ? . ?

(II)即 P 点轨迹为椭圆

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1 及椭圆 ? ? 1 夹在两直线 x ? ?2 之间的部分. 2 6 3

24. 解:(Ⅰ) a ? 1, 或 a ? ?1. (Ⅱ) ?1, ?? ? .

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