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陈经纶中学高一上学期期中数学试题


北京市陈经纶中学期中统练 高一 年级 数学 学科


一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.
1. 设集合 A= {4, 7, , {3, 7, 9} 全集 U=A ? B, 5, 9} B= 4, 8, , 则集合 U ( A ? B ) 中的元素共有 ( A.3 个 2.若 f ( x ) ?
2 lg( 1 ? x )
1

B.4 个

C.5 个

D.6 个 ) D. ( ? ? , 0 ) ? (0 ,1) )
c ?b

, 则 f ( x ) 的定义域是(

A. (1, ?? ) 3. 若 a
? ( ) 2 1
2

B. (0,1) ? (1, ? ? )
,b ? ( ) 2
1 .5

C. ( ? ? , ? 1) ? ( ? 1, 0 ) (

, c ? lo g 2

1 2

,则

A. b ? a ? c B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. a ? 3 4.已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ? 2,] ,则 y ? f ( 2 x ? 1) 的定义域是 (
4 A. [ ? 1, ]
x



B. [ 0, ]
2

5

5 C. [ ? 5,]

D. [ ? 3, ] 7

5.函数 f ( x ) ? 1 ? e 的图象大致是(
y


y
O y x

y O x
O x

O

x

A. 6.函数 f ( x ) ? 2 ?
x

B.
2 x

C.

D.

? a 的一个零点在区间 (1, 2 ) 内,则实数 a 的取值范围是

A. (1, 3)

B. ( 0 , 3 )

C. (1, 2 ) )

D. ( 0 , 2 )

7.已知函数 f ( x ) ? x x ? 2 x ,则下列结论正确的是( A. f ( x ) 是偶函数,递增区间是 ( 0 , ?? ) C. f ( x ) 是奇函数,递增区间是 ( ?? , 0 )

B. f ( x ) 是偶函数,递减区间是 ( ?? ,1) D. f ( x ) 是奇函数,递减区间是 ( ? 1,1)
|x|

8. x1 ? x 2 , 设 定义区间 [ x1 , x 2 ] 的长度为 x 2 ? x1 . 已知函数 y ? 2 的定义域为 [ a , b ] , 值域为 [1, 2 ] , 则区间 [ a , b ] 的长度的最大值与最小值的差为 A.3 B.2 C.1 9.对 a , b ? R ,记 max ?a , b ? ? ? 函数 f ( x ) ? max A.0
?a, a ? b ?b , a < b

D.0.5

, ( ) D.3

?

x ? 1, x ? 2
1

? ( x ? R ) 的最小值是
3

B. 2

C. 2

10.对于函数 f ( x)? lg x ? 2 ? 1 ,有如下三个命题: ① f ( x ? 2 ) 是 偶 函 数 ; ② f ( x ) 在 区 间 ( ?? , 2 ) 上 是 减 函 数 , 在 区 间 ? 2 , ? ? ? 上 是 增 函 数 ; ③
f ( x ? 2 ) ? f ( x ) 在区间 ? 2 , ? ? ? 上是增函数.其中正确命题的序号是

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.
11.若幂函数 y ? f ( x ) 的图象经过点(3,27) ,则 f ( x ) ? 12.函数 f ( x ) ? ?
?x , ?
1 2

.

0 ? x ? c,

? x ? x, ? 2 ? x ? 0, ?
2
2

其中 c ? 0 ,那么 f ( x ) 的零点是_ ___. ,值域为 .

13.函数 y ? lo g 1 ( ? x ? 2 x ? 3) 的单调增区间是
2

14.函数

f ( x ) ? lo g a ( x ? 1)

(a

? 0

且 a ? 1 )在 [ ,1] 上的最小值是 1 ,则 a =
2

1

? ? 1 ? x 15 , x ? 4, ?? ? ? 15.已知函数 f ( x ) ? ? ? 2 ? 若方程 f ( x ) ? k ? 0 有两个不等实根,则实数 k 的取值范围 16 ? ? log 2 x , 0 ? x ? 4 .

是 . 16.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万 元,年产量为 x ( x ? N ? )件.当 x ? 2 0 时,年销售总收入为( 3 3 x ? x 2 )万元;当 x ? 2 0 时, 年销售总收入为 260 万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元,则 y (万元)与 ,该工厂的年产量为 件时,所得年利润最大.(年利 x (件)的函数关系式为 润=年销售总收入 ? 年总投资)

北京市陈经纶中学期中统练 (答题纸) 高一 年级 (时间:100 分钟 数学 学科

满分:100 分)

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.

11.

.12.

.13.



.

14.

.15.

.16.



.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分.
17.(本小题满分 8 分) 已知非空集合 A ? ?x 2 a ? 1 ? x ? 3 a ? 5 ? , B ? ?x 3 ? x ? 22 ? , (Ⅰ)当 a ? 1 0 时,求 A ? B , A ? B ; (Ⅱ)求能使 A ? ( A ? B ) 成立的 a 的取值范围.

18. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x ) ?
x x ?1

.

(Ⅰ)证明:对于定义域中任意的 x 均有 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) ? 2 ; (Ⅱ)用函数单调性的定义证明函数 f ( x ) 在 (1, ? ? ) 上是减函数.

19. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x ) ? lo g a x ( 0 ? a ? 1 ). (Ⅰ)若 f ( x ? x ) ? f ( 2 ) ,求 x 的取值范围;
2

(Ⅱ)记函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x ) .若 a ? kg ( x ? 1) ? 0 在 [ 2, ? ? ) 上恒成立,求 k 的最小值.

20. (本小题满分 10 分) 借助计算机(器)作某些分段函数图象时,分段函数的表示有时可以利用函数 S ( x ) ? ?
? x, x ? 2, ? 例如要表示分段函数 g ( x ) ? ? 0 , x ? 2 , ?? x, x ? 2. ?
2

?1, x ? 0 , ?0, x ? 0.

可以将 g ( x ) 表示为 g ( x ) ? xS ( x ? 2 ) ? ( ? x ) S ( 2 ? x ) .

设 f ( x ) ? ( ? x ? 4 x ? 3) S ( x ? 1) ? ( x ? 1) S (1 ? x ) .
2

(Ⅰ)请把函数 f ( x ) 写成分段函数的形式; (Ⅱ)设 F ( x ) ? f ( x ? k ) ,且 F ( x ) 为奇函数,写出满足条件的 k 值; (不需证明) (Ⅲ)设 h ( x ) ? ( x ? x ? a ? a ) S ( x ? a ) ? ( x ? x ? a ? a ) S ( a ? x ) ,求函数 h ( x ) 的最小值.
2 2 2 2

北京市陈经纶中学期中统练 (答案)
1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.C 9.C 10.A 11. x
3

12. ? 1 和 0
2

13. ?1, 3 ? , ?? 2 , ?? ?

14.
*

3 2

15. ? 16

? 15 ? 16

,1

? ? ?

16.答案: y ? ? 17. a ? ?6 , 9 ?

? ? x ? 32 x ? 100, 0 ? x ? 20, x ? N , ? 160 ? x, x ? 20, x?N ,
*

18. 证明: (Ⅰ) f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) ?
?

1? x 1? x ?1
? 1? x x

?

1? x 1? x ?1

…………………2 分 …………………4 分

1? x x

? 2 .

(Ⅱ)设 x1, x 2 是 ( 1, ? ) 上的两个任意实数,且 x1 ? x 2 ,则 ? x ? x 2 ? x1 ? 0 , ?
? y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x2 x2 ? 1 ? x1 x1 ? 1

…………………6 分 . …………………8 分

?

x 2 ( x1 ? 1) ? x1 ( x 2 ? 1) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

?

x1 ? x 2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

因为 1 ? x1 ? x 2 , 所以 x1 ? 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 , x1 ? x 2 ? 0 , 所以 ? y ? 0 ,
? 所以 f ( x ) 在 (0, ? ) 上是减函数.

…………………9 分 …………………10 分
2

19.解: (Ⅰ)由已知 lo g a ( x ? x ) ? lo g a 2 , 因为 0 ? a ? 1 ,所以 0 ? x ? x ? 2 ,
2

…………………2 分

解 x ? x ? 2 ,得 ? 1 ? x ? 2 .
2 2

解 x ? x ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 0 . 所以 x 的取值范围是 { x ? 1 ? x ? 0 或 1 ? x ? 2} . (Ⅱ) g ( x ) 为 f ( x ) 的反函数,所以 g ( x ) ? a .
x
x ?1

…………………4 分 …………………5 分

由已知 a ? ka 因为 a
x ?1

? 0 在区间 [ 2, ? ? ) 上恒成立,

? 0 ,所以 k ? ? (

1 a

)

x?2

在区间 [ 2, ? ? ) 上恒成立,

…6 分

即 k 大于等于 ? ( )
a

1

x?2

的最大值.
? 1 ,又 x ? 2 ? [0 , ? ? ) ,
1 a
x?2

…………………7 分

因为 0 ? a ? 1 ,所以 所以 ( )
1
x?2

1 a

的最小值为 1 , ? ( )

的最大值为 ? 1 ,

………………9 分

a 所以 k ? ? 1 , 所以 k 的最小值为 ? 1 .

…………………10 分

? ? x ? 4 x ? 3, x ? 1, ? 20.解: (Ⅰ) f ( x ) ? ? 2 ? x ? 1, x ? 1 . ?
2

…………………2 分 …………………4 分

(Ⅱ)当 k ? ? 1 时, F ( x ) 为奇函数. (Ⅲ)由已知 h ( x ) ? ?
2

?x ? x ? a ? a ,x ? a, ?
2 2

?x ? x ? a ? a ,x ? a . ?
2 2
2 2 2

并且函数 s ? x ? x ? a ? a 与 t ? x ? x ? a ? a 在 x ? a 处的值相同.…… 5 分 当a ? 单调递增. 所以, h ( x ) 的最小值为 f ( ? 当?
1 2 ? a ? 1 2
1 2 1 2 ) ? (? 1 2 ) ? (?
2

1 2

时,h ( x ) 在区间 ( ? ? , ?

1 2

) 上单调递减,在区间 ( ?

1 2

, a ) 上单调递增,在区间 ( a , ? ? ) 上

1 2

) ? a ? a ? ?a ? a ?
2 2

1 4

.

………6 分
1 2 )

h 时, ( x ) 在区间 ( ? ? , ?

1 2

) 上单调递减, 在区间 ( ?

1 2

, a ) 上单调递增, 在区间 ( a ,

上单调递减,在区间 ( , ? ? ) 上单调递增. 所以 h ( x ) 最小值为 f ( ? 当?
1 2
1

1 1 1 2 2 ) 与 f ( ) 中较小的一个, ? a ? a ? 与 ? a ? a ? 中较小的一个. 即 2 4 4 2
2

? a ? 0 时, h ( x ) 的最小值为 ? a ? a ?
1 2

1 4

.

…………………7 分 ………………8 分
1 1

当0 ? a ? 当a ? ? 增.
1 2

时, h ( x ) 的最小值为 ? a ? a ?
2

1 4

.

时,在区间 ( ? ? , a ) 上单调递减,在区间 ( a , ) 上单调递减,在区间 ( , ? ? ) 上单调递
2 1 1 1 1 4
2

2

所以 h ( x ) 的最小值为 f ( ) ? ( ) ? ( ) ? a ? a ? ? a ? a ?
2 2 2

. ……9 分

2

2

2 1 4

综上,当 a ? 0 时, h ( x ) 的最小值为 ? a ? a ?
?a ? a ?
2

,当 a ? 0 时, h ( x ) 的最小值为

1 4

.

………………10 分


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