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河北省大城一中2012-2013学年高三第一次摸底考试(数学理)


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2012—2013 学年度大城一中第一次摸底考试
理科数学
命题人:李胜红 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第 I 卷(共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1、 若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为 (A)3+5i (B)3-5i (C)-3+5i (D)-3-5i 2、已知全集 ? ={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3,},B={2,4} ,则(CuA) ? B 为 (A) {1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4} )

3、如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( (A) 3 (B) 4 (C) ? (D) ?

4 2 4 2 正视图 2 侧视图

4、已知某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为 (A) .

8π 3

(B) 3π . 俯视图 (D) 6π . 第 4 题图

10π (C) . 3

5、一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 (A)3×3! (B) 3×(3!)
3

(C)(3!)

4

(D) 9!

6、在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176

7、函数 f ( x) ? x cos x2 在区间 [0, 4] 上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7

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8、设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( )

( A) 充分不必要条件 (C ) 充要条件

( B ) 必要不充分条件 ( D) 即不充分不必要条件

9、若错误!不能通过编辑域代码创建对象。 sin 2? = , 域代码创建对象。=( )

3 7 ,则 sin 错误!不能通过编辑 8

(A) (B)错误!不能通过编辑域代码创建对象。 (C) (D)错误!不能通过编辑域代码创建对象。

3 5

7 4

10.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则 点 P 恰好取自阴影部分的概率为( )

1 4 1 C. 6
A.

B. 错误!不能通过编辑域代码创建对象。 D. 错误!不能通过编辑域代码创建对象。

11、已知椭圆 C:

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,双曲线 x? =1 的渐近线与椭 -y? 2 2 a b


圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 c 的方程为(

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 (A) 8 2 12 6 16 4 20 5
12、设函数 f (x)=

1 ,g(x)=ax2+bx ?a, b ? R, a ? 0? 。若 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且 x

仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( ) A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B. 当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0, y1+y2<0 D. 当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三 个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 14.(a+x) 的展开式中 x 的系数等于 8,则实数 a=_________。
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4 3

名学生.

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? x?0 ? 15、若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ?2 x ? y ? 3 ?
16、在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 为 .

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值 m m ?4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。
2 17.(本小题满分 10 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= , 3

sinB= 5 cosC. (Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式. (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. ? bn ?

19.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面 ABCD, AE⊥BD,CB=CD=CF。 (Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值。

20.(本小题满分 12 分) 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概 率为 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一 次得 2 分,没有命中得 0 分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射 击。 (Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX

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21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 c 的取值范围;

1 3 1 2 x ? x ? cx ? d 有极值. 3 2

(2)若 f ( x) 在 x ? 2 处取得极值,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 值范围.

1 2 d ? 2d 恒成立,求 d 的取 6

x2 y 2 3 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 22. (本小题满分 12 分)如图,椭圆 的离心率为 2 ,x 轴被曲
线

C2 : y ? x2 ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长。

(Ⅰ)求 C1,C2 的方程; (Ⅱ)设 C2 与 y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分 别与 C1 相交与 D,E.证明:MD⊥ME;

2012—2013 学年度大城一中第一次摸底考试(理科数学)
一、选择题:ACBBC 二、填空题:13、 BCADC 15 DB 2 15、 14、

[? 3 , 0 ] 16、

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。
2 5 17. (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA= 整理得:tanC= 5 . (Ⅱ) sinC=

2 5 cosC+ sinC. 3 3

5 a c . 又由正弦定理知: ,故 c ? 3 . ? 6 sin A sin C

又因为 sinB= 5 cosC= 5 ?

1 6

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∴ ? ABC 的面积为:S=

1 5 ac sin B = . 2 2
2

2 3 2 18.解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

1 。 9

1 1 。由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 。 3 3 1 故数列{an}的通项式为 an= n 。 3
由条件可知 c>0,故 q ? (Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD, 由余弦定理可知 BD ? CD ? CB ? 2CD ? CB ? cos( 180 ? ?DAB) ? 3CD ,
2 2 2 0 2

z

即 BD ? 3CD ? 3 AD , 在 ?ABD 中,∠DAB=60°, BD ? 3 AD , 则 ?ABD 为直角三角形,且 AD ? DB 。 又 AE⊥BD,故 BD⊥平面 AED; (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 AC ? CB ,设 CB ? 1 , 则 CA ? BD ? 3 , 建立如图所示的空间直角坐标系,

x
3 1 ,? ,0) , 2 2

y

F (0,01), B(0,1,0), D(

向量 n ? (0,0,1) 为平面 BDC 的一个法向量.

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设向量 m ? ( x, y, z) 为平面 BDF 的法向量,则 ?

? ? ? m ?BD ? 0 ? 3 x ? 3 y ? 0 ,即 ? 2 , 2 ? ?m ? FB ? 0 ? y ? z ? 0 ?

取 y ? 1 ,则 x ? 3, z ? 1 ,则 m ? ( 3,1,1) 为平面 BDF 的一个法向量.

cos ? m, n ??

m ?n mn

?

1 5

?

5 , 5

而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角,则 二面角 F-BD-C 的余弦值为

5 。 5

(20)解: (Ⅰ) P ?

3 1 2 1 1 1 2 7 ? ( ) ? ? C2 ? ? ? ; 4 3 4 3 3 36

(Ⅱ) X ? 0,1,2,3,4,5

1 1 2 1 3 1 1 1 11 2 1 ? ( ) ? .P( X ? 1) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 2) ? C 2 ? ? , 4 3 36 4 3 12 4 3 3 9 3 11 2 1 1 2 1 3 2 1 P( X ? 3) ? C 2 ? ? , P( X ? 4) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 5) ? ? ( ) 2 ? 4 3 3 3 4 3 9 4 3 3 P( X ? 0) ?
X P 0 1 2 3 4 5

1 36

1 12

1 9

1 3

1 9

1 3

EX=0×

1 1 1 1 41 1 1 5 ?3 . +1× +2× +3× +4× +5× = 9 3 9 3 12 36 12 12
1 3 1 2 x ? x ? cx ? d ,∴ f ?( x) ? x2 ? x ? c , 3 2

21、解: (1)∵ f ( x) ?

要使 f ( x) 有极值,则方程 f ?( x) ? x2 ? x ? c ? 0 有两个实数解, 1 从而△= 1 ? 4c ? 0 ,∴ c ? . 4 (2)∵ f ( x) 在 x ? 2 处取得极值, ∴ f ?(2) ? 4 ? 2 ? c ? 0 , ∴ c ? ?2 . 1 1 ∴ f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? d , 3 2 ?( x) ? x2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1) , ∵f
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∴当 x ? (??, ?1] 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递增, 当 x? (?1, 2] 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递减. 7 ∴ x ? 0 时, f ( x) 在 x ? ?1 处取得最大值 ? d , 6 1 ∵ x ? 0 时 , f ( x) ? d2 ? 2 d恒 成 6 立, 7 1 2 ?d ? d ? 2d ∴ , 即 6 6 (d ? 7 ? ) ? ( , 1 ) d 0 ∴ d ? ?7 或 d ? 1 ,即 d 的取值范围 是 (??, ?7) ? (1, ??) .

e?
22、解 : (Ⅰ)由题意知 故 C1,C2 的方程分别为

c 3 ? , 从而a ? 2b, 又2 b ? a, 解得a ? 2, b ? 1. a 2

x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1. 4
(Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y ? kx .

? y ? kx ? ? 2 ?y ? x ?1 ? 由 得

x 2 ? kx ? 1 ? 0

.

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是

x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1.
又点 M 的坐标为(0,—1) ,所以
2 y1 ? 1 y 2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

k MA ? k MB

?

? k 2 ? k 2 ?1 ?1

? ?1.

故 MA⊥MB,即 MD⊥ME.

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