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抛物线及其标准方程教学设计


《抛物线及其标准方程》教学设计
陕西师范大学附属中学 倪如俊

教材: 陕西省普通高中课本 数学 高二年级 选修 2-1 (北京师范大学出版社)

一、教材分析

本章是选修 2-1 的第三章《圆锥曲线与方程》,教材内容的顺序是:椭圆— 抛物线—双曲线—曲线与方程.我的认识有两点:(1)先学圆锥曲线,再学曲线

与方程,这样的顺序更有利于学生的学习,符合学生从特殊到一般,具体到抽象 的认知规律.在圆锥曲线的学习过程中,不断的渗透曲线与方程的思想,为学生 理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础.(2)椭圆学习后先学抛物线, 一方面因为课程标准和考试大纲对椭圆与抛物线的要求都是掌握, 而对双曲线的 要求是了解.另一方面是因为椭圆与抛物线相比双曲线来说更为常见,更熟悉.

本节包括抛物线的定义,标准方程和应用三个部分,分为两课时完成.本节 课是第一课时, 是在学生原有认知的基础上从几何与代数两个角度去认识抛物线. 教材在抛物线的定义这个内容的安排上是:先从直观上认识抛物线,再从画法中 提炼出抛物线的几何特征, 由此抽象概括出抛物线的定义,最后是抛物线定义的 简单应用.这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学 的理念, 而且符合学生从具体到抽象的认知规律,有利于学生对概念的学习和理

解.教材在本节内容中只研究了顶点在原点,焦点在 轴正半轴上的抛物线的标 准方程,以思考交流的形式让学生自己去归纳抛物线标准方程的另外三种形式. 这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会.有利于学生对抛物线标准方程 的理解,有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养.

通过本节课的学习,学生不仅能掌握抛物线的几何特征,定义和标准方程, 为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观 察分析能力与抽象概括能力的培养,有助于学生运算技能的训练与提高,对学生 进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学 习流程与研究方法.

二、学情分析

抛物线是圆锥曲线中的一种,也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就 认识了抛物线,知道斜抛物体的轨迹是抛物线,一些拱桥的桥拱形状是抛物线, 一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直 观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生,他们的数学基础知识比较扎 实,具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能,有较好的学习 习惯和方法.在本节课之前,学生已经学习了椭圆,对圆锥曲线的研究过程和研 究方法有了一定的了解和认识, 这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、 迁移的作用.

三、教学目标和重点难点

依据对教材和学情的分析,遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要 求,我将这节课的教学目标、重点和难点设置为:

教学目标:

1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程;

2.掌握抛物线的几何图形,定义和标准方程;

3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法,体会类比法,直接法,待定系数法和数 形结合思想在数学中的应用;

4.感受抛物线的广泛应用和文化价值,体会学习数学的乐趣和数学美.

教学重点:

1.掌握抛物线的定义与相关概念;

2.掌握抛物线的标准方程;

教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.

四、教学问题诊断

本节课的教学难点是从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.对教学难 点的突破我采取的策略是:

1.类比学习椭圆的过程和方法去学习抛物线.

2.鉴于抛物线的画法比较复杂,用教具难以操作,因此我运用多媒体来演示 画抛物线的过程.另外,画法中所隐含的抛物线的本质特征不是特别明显,对学 生的抽象能力要求比较高,为此,我设置了两个问题,为学生发现抛物线的几何 特征作铺垫.

3.学生在抽象概括抛物线定义时,容易忽略抛物线定义中“点

不在直线

上”这个条件.为了加深学生对这个条件的理解,教学中通过师生互动来引导学 生逐步完善抛物线的定义,并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性.

另外,在建系、推导抛物线标准方程的过程中,依据学生的认知习惯,同时激 励学生主动学习,我采取了以下策略:

1.坐标系的建立——教师不作引导, 由学生自己选择建系方式, 再将学生的 结果用投影仪展示出来,并进行归纳.

2.求抛物线的方程——全班学生分工,求出不同建系方式下的抛物线方程.通 过比较, 明确第 2 种建系方式所得的抛物线方程最简洁,并把这个方程叫做抛物 线的标准方程.

3.明确抛物线标准方程的四种形式——给出问题 4, 先让学生独立思考, 再组织 学生以小组交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解.

五、教学过程

教学过程 一、课堂导入 1.生活中的抛物线: (1)投篮时篮球的运行轨迹是抛物线; (2) 南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线; (3)卫星天线是根据抛物线的原理制造的.

设计说明 通过生活 中的抛物线 使学生认识 到学习抛物 线的必要性.

通过问题 引入引发学

2.数学中的抛物线:

生的认知冲 突,激发学生

一元二次函数 条抛物线.

的图像是一

的学习欲望.

提出问题: 为什么一元二次函数的图像是一条抛 物线? 二、抛物线的定义 1.抛物线的画法 (1)介绍作图规则. (2)动画展示作图过程. 提出问题:笔尖所对应的点 是什么? (3)分析作图过程 提出问题: 在作图过程中, 直尺, 三角板, 笔尖, 点 F 中,哪些没有动?哪些动了? 通过两个 问题的设置, 提出问题:在作图过程中,绳长, , , 为学生从画 法中发现抛 满足的几何关系 抛物线的 画法比较复 杂,让学生自 己画抛物线, 操作起来很 困难,学生很 难完成.因此 我运用多媒 体信息技术 来演示画抛 物线的过程.

, (4)结论 动点

中,哪些量没有变?哪些量变了?

物线的几何 特征奠定基 础.

满足的几何关系是:动点

到定点 F 的

距离等于它到直尺的距离. 2.抛物线的定义 问题 1:你能给抛物线下个定义吗? 加深学生 抛物线的定义:平面内与一个定点 直线 ( 不过 抛物线. 和一条定 对抛物线定 义中的条件 “ 不过 的理解. ”

)的距离相等的点的集合叫作

这是教材 的第一个思 考交流,目的 是对抛物线 定义的应用, 同时也给出 问题 2:为什么定点 不能在定直线 上?若点 了课堂导入 垂直于直线 时所给问题 的一种解决 方法.

在直线 上,则轨迹为过定点 的直线 . 3.抛物线的相关概念:

定点

:抛物线的焦点.定直线 :抛物线的准

线.





焦点到准线的距离.

抛物线的对称轴与抛物线的交点 点

:抛物线的顶

三、抛物线的方程 1.方程推导 (1)建系

教材只给 出了一种建 系方式,但学 生在建系时 可能不只一 种.为了体现 学生的主体 地位,这里先 让学生建系,

请同学们将抛物线画在草稿纸上,自己建立平面

教师再汇总 学生的结果,

直角坐标系. (2)推导

并用投影仪 展示. 通过问题

问题 3:以下三种建系方式,你认为哪种建系方 式最好?请说明理由.

3,让学生分 工求出三种 建系下的方 程,为标准方 程的理解奠 定基础. 部分 学生在推导方 程时存在困 难,故给出提 示.

提示:设

,先将抛物线的焦点坐

标和准线方程求出来,再来求抛物线的方程. 三种建系方式下的抛物线方程分别为: , , .不难得

出, 第二种建系方式下的抛物线方程最简洁, 因 此第二种建系方式最好. 这是教材 的第二个思 考交流,目的 是让学生认 识到抛物线 的标准方程 一共有四种

:焦点到准线的距离. 3.思考交流 问题 4: 你能否分别写出开口向左、 向上、 向下, 顶点在原点, 焦点在坐标轴上的抛物线的标准方 程?

形式,加深学 生对抛物线 标准方程的 理解.

大部分学 具体要求:以顶点在原点,焦点在 轴正半轴上 生解决问题 4 的抛物线的标准方程为基础,分别写出开口向 所用的方法

左、向上、向下,顶点在原点,焦点在坐标轴上 都是图像变 的抛物线的标准方程,不要求写过程.学生先独 换法. 立思考,再小组合作交流.

图像

抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原 点, 焦点放在坐标轴上的抛物线的方程, 一共有 四种形式. 4.例题分析 例 1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1) ; ; (2) 课本中的 例题只涉及 了抛物线标 准方程的一 种形式,无法 达到巩固知 识的目的.因 此,我更换了 教材的例题, 例 1 是由方程 求图像,例 2 是由图像求 例 2.根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)焦点: 线: . ; (2)准 方程.并且两 个例题中的 4 个小题正好 包含了抛物 线标准方程 的四种形式.

四、课堂小结

培养学生 梳理知识点,

问题 5:这节课你学到了什么?请谈谈你的收 获. 1.知识内容:(1)抛物线的定义:

总结知识内 容,建构知识 体系的能力.

(2)抛物线的标准方程: ①焦点在 轴正半轴: ;

②焦点在 轴负半轴: ;

③焦点在 ;

轴正半轴:

④焦点在 .

轴负半轴:

2.学习方法与过程:类比椭圆的研究方法与过 程. 3.学习中用到的数学思想和方法: (1)直接法; (2)待定系数法;(3)类比的思维方法;(4) 数形结合思想. 五、课后延伸 1.课后作业

书,P76,A 组,2 题,3 题,4 题. 2.课后思考 请你思考如何用抛物线的定义来证明一元 二次函数 3.课后延展 (1)抛物线型桥梁 通过图片展示南京秦淮河三山桥, 湖北宜昌西 陵长江大桥, 宁波明州大桥这三座抛物线型桥梁. 提出问题: 抛物线型拱桥有哪些特点?有哪些优 点?在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征? (2)卫星. 提出问题: 我们知道卫星天线是根据抛物线原理 来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性 质? 对此感兴趣或者学有余力的学生,可以在课 后收集相关资料进行学习,并作进一步的探讨. 的图像是一条抛物线?


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