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2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:9-2用样本估计总体


05 限时规范特训
A级 基础达标 1.[2014· 四川模拟]有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组 的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) [35.5,39.5) 7 4 [19.5,23.5) 9

[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [39.5,43.5) 3 ) 根据样本的概率分布估计,大于或等于 31.5 的数据约占( 2 A.11 1 C.2 1 B.3 2 D.3

解析: 大于或等于 31.5 的数据是最后的 3 组, 故大于或等于 31.5 12+7+3 1 的数据约占 66 =3. 答案:B 2.为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随 机抽样的方法,从该校 400 名授课教师中抽取 20 名,调查了他们上 学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图所示.据此 可估计上学期该校 400 名教师中, 使用多媒体进行教学次数在[16,30) 内的人数为( A.100 C.200 ) B.160 D.280

0 1 2 3 4

? ? ? ? ?

7 3 1 0 1

9 3 2 1 1

5 6 7 4 5 8 8 4 7 2

解析:由茎叶图,可知在 20 名教师中,上学期使用多媒体进行 教学的次数在[16,30)内的人数为 8,据此可以估计 400 名教师中,使 8 用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为 400×20=160. 答案:B 3.[2014· 湖北模拟]有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方 图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间 [10,12)内的频数为( )

A.18 C.54

B.36 D.72

解析:本题考查了频率分布直方图的有关知识.设样本数据落在 区间 [10,12) 内的频率与组距的比为 x ,则 (0.02 + 0.05 + x + 0.15 + 0.19)×2 = 1 ,得 x = 0.09 ,故样本数据落在区间 [10,12) 内的频数为 0.09×2×200=36. 答案:B

4 . [2012· 山东高考 ] 在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都 加 2 后所得数据, 则 A, B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 C.中位数 B.平均数 D.标准差 )

解析:本题考查众数、平均数、中位数及标准差的概念,考查推 理论证能力.当每个样本数据加上 2 后,众数、平均数、中位数都会 发生变化,不变的是数据的波动情况,即标准差不变. 答案:D 5. [2014· 西安质检]某校甲、 乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 乙班 6 6 7 7 7 6 8 7 7 9 )

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2,则 s2=( 2 A.5 3 C.5 7 B.25 D.2

1 2 解析: x 甲=7,s甲 =5[(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7- 2 7)2]=5, 1 6 2 x 乙=7, s乙 =5[(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(9-7)2]=5, 2 2 两组数据的方差中较小的一个为 s甲 ,即 s2=5. 答案:A

6.[2014· 江南十校联考]已知一组正数 x1,x2,x3,x4 的方差 s2 1 2 2 2 =4(x2 1+x2+x3+x4-16),则数据 x1+2,x2+2,x3+2,x4+2 的平均 数为( A.2 C.4 ) B.3 D.6

1 1 2 2 2 2 2 解析:∵s2=4(x2 1+x2 +x3 +x4 -16)= [(x1- x ) +(x2- x ) +(x3 4 - x )2+(x4- x )2],∴2 x (x1+x2+x3+x4)-4 x 2=16,∴8 x 2-4 x 2 =16, x =2, 即 x1+x2+x3+x4=8, ∴ 4,故选 C. 答案:C 7.某中学从高三甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众 数是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x+y 的值为________. x1+2+x2+2+x3+2+x4+2 = 4

解析:因为甲班学生成绩的众数是 85,所以由茎叶图可知,x= 5.乙班学生成绩的中位数是 83,所以 y=3,x+y=8. 答案:8 8.为了调查学生每天零花钱的数量 (钱数取整数元),以便引导 学生树立正确的消费观.某市抽取 1000 名年龄在[2,22](单位:岁)内

的学生每天的零花钱,样本的频率分布直方图如图所示,则样本数据 落在[6,14)内的频数为________.

解析:由频率分布直方图的意义知 4×(0.02+0.03+0.03+0.08 + x) = 1 , 解 得 x = 0.09 , 所 以 样 本 数 据 落 在 [6,14) 内 的 频 数 为 1000×4×(0.08+0.09)=680. 答案:680 9.某班有 48 名学生,在一次考试中统计出平均分为 70,方差 为 75,后来发现有 2 名同学的分数登记错了,甲实际得 80 分却记成 了 50 分, 乙实际得 70 分却记成了 100 分, 更正后平均分为________, 方差为________. 解析:因甲少记了 30 分,乙多记了 30 分,故平均分不变,设更 正后的方差为 s2,则由题意可得 1 s2 = 48 [(x1 - 70)2 + (x2 - 70)2 + ? + (80 - 70)2 + (70 - 70)2 + ? + (x48-70)2],而更正前有 1 75=48[(x1-70)2+(x2-70)2+?+(50-70)2+(100-70)2+?+ (x48-70)2],化简整理得 s2=50.

答案:70 50 10.[2014· 揭阳调研]某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏, 但可见部 分如图,据此解答下列问题:

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数, 并计算频率分布直方图中[80,90] 间的矩形的高. 解:(1)分数在[50,60]的频率为 0.008×10=0.08. 2 由茎叶图知, 分数在[50,60]之间的频数为 2, 所以全班人数为0.08 =25. (2)分数在[80,90]之间的频数为 25-2-7-10-2=4,频率分布 4 直方图中[80,90]间的矩形的高为25÷ 10=0.016. 11.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每 隔 30 min 抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99; 乙:110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种?

(2)将这两组数据用茎叶图表示; (3)将两组数据比较,说明哪个车间的产品较稳定. 解:(1)因为间隔时间相同,所以是系统抽样. (2)茎叶图如下:

(3)甲车间: 1 平均值:x1=7(102+101+99+98+103+98+99)=100, 1 24 2 2 2 方差:s2 1= [(102-100) +(101-100) +?+(99-100) ]= 7 7. 乙车间: 1 平均值:x2=7(110+115+90+85+75+115+110)=100, 1 1600 2 2 2 方差: s2 2= [(110-100) +(115-100) +?+(110-100) ]= 7 7 .
2 2 ∵x1=x2,s1 <s2,∴甲车间的产品较稳定.

12.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收获时,该果农随机选取 果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg),获得的 所有数据按照区间[40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到 频率分布直方图如图所示. 已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株

4 数是产量在区间(50,60]上的果树株数的3倍.

(1)求 a,b 的值; (2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取 2 株, 求产量 在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率. 解 : (1) 样 本 中 产 量 在 区 间 (45,50] 上 的 果 树 有 a×5×20 = 100a(株), 样本中产量在区间 (50,60] 上的果树有 (b + 0.02)×5×20 = 100(b +0.02)(株), 4 4 依题意,有 100a=3×100(b+0.02),即 a=3(b+0.02). ① 根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×5=1, ② 由①②得:a=0.08,b=0.04. (2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有 0.04×5×20=4(株),分 别记为 A1,A2,A3,A4, 产量在区间(55,60]上的果树有 0.02×5×20=2(株), 分别记为 B1, B2. 从这 6 株果树中随机抽取 2 株共有 15 种情况:(A1,A2),(A1,

A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1), (A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1, B2). 其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有 9 种情况: (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4, B1),(A4,B2),(B1,B2). 记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取 2 株, 产量 9 在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中”为事件 M, 则 P(M)=15= 3 5. B级 知能提升 1. [2014· 山西模拟]下图 1 是某县参加 2011 年高考的学生身高条 形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为 A1,A2,?, An(如 A2 表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数).图 2 是统计 图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图. 现要统计身高在 160 cm~180 cm(含 160 cm,不含 180 cm)内的学生人数, 那么在程序 框图中的判断框内应填写的条件是________.

图1

图2 解析:由题意可知,本题是统计身高在 160 cm~180 cm(含 160 cm,不含 180 cm)内的学生人数,即求 A4+A5+A6+A7,故程序框图

中的判断框内应填写的条件是“i≤7”. 答案:i≤7 2.[2014· 襄阳五中检测]对某市“四城同创”活动中 800 名志愿 者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为 [25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:

(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________; (2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在 [25,35)的人 数为________. 解析:(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为 h,则 5(0.01+h + 0.07 + 0.06 + 0.02) = 1 , h = 0.04. 志愿者年 龄在 [25,35) 的频率为 5(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)的人数约为 0.55×800= 440. 答案:(1)0.04 (2)440

3.已知某单位有 50 名职工,现要从中抽取 10 名职工,将全体 职工随机按 1~50 编号,并按编号顺序平均分成 10 组,按各组内抽 取的编号依次增加 5 进行系统抽样.

? ? ? ?

8 7 6 5

? ? ? ?

1 0 3 6 8 9 2 5 7 9

(1)若第 5 组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工的号码; (2)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的 茎叶图如图所示,求该样本的方差; (3)在(2)的条件下, 从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤(≥73 公斤)的职工,求体重为 76 公斤的职工被抽取到的概率. 解:(1)由题意,第 5 组抽出的号码为 22. 因为 k+5×(5-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 2,抽出 的 10 名职工的号码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因为 10 名职工的平均体重为 1 x =10(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71, 1 所以样本方差为:s2=10 (102+12+ 22+52+72+82+92+ 62+42 +122)=52. (3)从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工,共 有 10 种不同的取法: (73,76), (73,78), (73,79), (73,81), (76,78), (76,79), (76,81),(78,79),(78,81),(79,81). 记“体重为 76 公斤的职工被抽取”为事件 A,它包括的事件有 (73,76),(76,78),(76,79),(76,81)共 4 个. 4 2 故所求概率为 P(A)=10=5.


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