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函数的概念


1.2.1
一、函数的概念

函数的概念

[自主梳理]

设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A.其中,x 叫作自变量,x 的取值范围 A 叫作函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域. 二、函数相等 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,其中值域是由定义域和对应关系决 定的.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等. [双基自测] A D (-∞,2)∪[3,+∞) [0,1)∪(1,+∞)

例 1: [答案] B

1. B

例 2: 只有②是从 A 到 B 的函数,①,③,④,⑤都不是. 2.解析:①是实数集 R 上的一个函数.它的对应关系 f 是:把 x 乘 3 再加 1, 对于任一 x∈R,3x+1 都有唯一确定的值与之对应, 如 x=-1, 则 3x+1=-2 与之对应. 同理,②也是实数集 R 上的一个函数. 1 ③不是实数集 R 上的函数.因为当 x=0 时, 的值不存在. x ④不是实数集 R 上的函数.因为当 x<0 时, x的值不存在. [典例 3] (1)函数定义域为{x|x≥2 或 x<-2}(或(-∞,-2)∪[2,+∞)). (2)函数定义域为{x|x≥-1 且 x≠2}. (3)函数定义域为{x|-4≤x≤0 且 x≠-3}. 3.求下列函数的定义域: (1)定义域为{x|x≠2}. (2)定义域为{x|1≤x≤3}. (3)定义域为{x|x>-1 且 x≠1}. [典例 4] 1 1 (1)f(2)= = ;g(2)=22+2=6. 1+2 3 (2)f[g(2)]=f(6)= 1 1 = . 1 +6 7

(3)f(x)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞). g(x)的值域是[2,+∞). 4. (1)(观察法)值域为{2,3,4,5,6}. (2)(配方法)函数的值域为[2,6).

15 (3)(分离常数法)值域为(-∞,2)∪(2,+∞). (4)(换元法)值域为[ ,+∞). 8

[典例] 定义域为[4,22]. [随堂训练] A B C 5 4. (1)定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). (2)f(-1)=-2,f(2)= . 2 (3)f(a+1)=a+1+ 1 . a+1 [课时作业] A 组 基础巩固 CCCDC 6.①③⑤ 7. [-2 6,2 6] 8. (1,2) 9.φ(x)的定义域为[-3,3].
? ?

5? ? 10. (1)值域为{1,2,5}. (2)值域为{y|y≥1}. (3)值域为{y|y≠5}. (4)值域是?y|y≥-4?. [B 组 能力提升] DB 1 2 [-1,2]

[2+?2+2h?]h 2 5. (1) A= =h +2h(m2). 2 (2)定义域为{h|0<h<1.8}. 值域为 {A|0<A<6.84}.

(3)由于 A=(h+1)2-1,对称轴为直线 h=-1,顶点坐标为(-1,-1),且图象过(0,0) 和(-2,0)两点,又考虑到 0<h<1.8,∴A=h2+2h 的图象仅是抛物线的一部分,如图所示.

6. 解析:(1)若 A=?,则 A?B 显然成立. 若 A≠?,设 t∈A,则 f(t)=t,f(f(t))=t,t∈B,从而 A?B,故 A?B 成立. (2)∵A={-1,3}, ∴f(-1)=-1,且 f(3)=3.
??-1?2-a+b=-1? ?a-b=2? ?a=-1? ? ? ? 即? 2 ,∴? ,∴? ,∴f(x)=x2-x-3. ? ? ? 3 + 3 a + b = 3 3 a + b =- 6 b =- 3 ? ? ?

∵B={x|f(f(x))=x},∴(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x,∴(x2-x-3)2-x2=0, 即(x2-3)(x2-2x-3)=0,∴(x2-3)(x+1)(x-3)=0,∴x=± 3或 x=-1 或 x=3. ∴B={- 3,-1, 3,3}.


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