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2015届高三数学(文)湘教版一轮复习课时跟踪检测75 直线与圆的位置关系]


课时跟踪检测(七十五) 直线与圆的位置关系 1.(2013· 辽宁高考)如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相 切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连 接 AE,BE.证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD· BC.

2.(2013· 江苏高考)如图,AB 和 BC 分别与圆 O

相切于点 D,C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC.求证:AC=2AD.

3.如图所示,直线 AB 过圆心 O,交圆 O 于 A,B 两点,直线 AF 交 圆 O 于点 F(不与 B 重合), 直线 l 与圆 O 相切于点 C, 交直线 AB 于点 E, 且与 AF 垂直,交 AF 的延长线于点 G,连接 AC. 求证:(1)∠BAC=∠CAG;(2)AC2=AE· AF.

4.(2013· 新课标卷Ⅱ)如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的 延长线交直线 CD 于点 D, E, F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC· AE =DC· AF,B,E,F,C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.

5.(2013· 石家庄模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,BE 为⊙O 的切线,点 C 为⊙O 上不同于 A,B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且分别与 BC 交 于 H,与⊙O 交于 D,与 BE 交于 E,连接 BD,CD. 求证:(1)BD 平分∠CBE; (2)AH· BH=AE· HC.

6.(2013· 昆明模拟)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,直径 BC⊥OP, 连接 AB 交 PO 于点 D. 求证:(1)PA=PD; (2)AC· AP=AD· OC.





1.证明:(1)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠EAB. π 由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF= ; 2 π 又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF= , 2 从而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB. (2)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边, 得 Rt△BCE≌Rt△BFE,所以 BC=BF. 类似可证,Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF2=AF· BF, 所以 EF2=AD· BC.

2.证明:连接 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90° . 又因为∠A=∠A, 所以 Rt△ADO∽Rt△ACB. BC AC 所以 = . OD AD 又 BC=2OC=2OD, 故 AC=2AD. 3.证明:(1)连接 BC,因为 AB 是直径,所以∠ACB=90° ,所以∠ACB=∠AGC=90° . 因为 GC 切圆 O 于点 C,所以∠GCA=∠ABC,所以∠BAC=∠CAG. (2)连接 CF,因为 EC 切圆 O 于点 C,所以∠ACE=∠AFC.又∠BAC=∠CAG,所以△ AC AF ACF∽△AEC,所以 = ,所以 AC2=AE· AF. AE AC BC 4.解:(1)证明:因为 CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知 = FA DC ,故△CDB∽△AEF, EA 所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90° . 所以∠CBA=90° ,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)如图,连接 CE,因为∠CBE=90° ,所以过 B,E,F,C 四点 的圆的直径为 CE.由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC2=DB· BA=2DB2, 所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而 DC2=DB· DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比 1 值为 . 2 5.证明:(1)由弦切角定理知∠DBE=∠DAB. 又∠DBC=∠DAC,∠DAB=∠DAC, 所以∠DBE=∠DBC,即 BD 平分∠CBE. (2)由(1)可知 BE=BH, 所以 AH· BH=AH· BE, 因为∠DAB=∠DAC,∠ACB=∠ABE, 所以△AHC∽△AEB, AH HC 所以 = ,即 AH· BE=AE· HC, AE BE 即 AH· BH=AE· HC.

6.证明:(1)∵PA 与圆 O 相切于点 A, ∴∠PAB=∠ACB, ∵BC 是圆 O 的直径, ∴∠BAC=90° , ∴∠ACB=90° -∠B, ∵OB⊥OP,∴∠BDO=90° -∠B, 又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90° -∠B, ∴PA=PD. (2)连接 OA,由(1)得, ∠PAD=∠PDA=∠ACO, 又∠OAC=∠OCA, ∴△PAD∽△OCA, ∴ PA AD = ,∴AC· AP=AD· OC. OC AC


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