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1.4.2正弦函数余弦函数的性质(二)


2016年11月26日星期

三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 (二)

1.周期性(复习)
(1) y ? sin x

T ? 2?

2? y ? A sin(? x ? ? ) T ? |? |
(2) y ? cos x

T

? 2?

2? y ? A cos(? x ? ? ) T ? |? |

定义域和值域
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数 y ? sin x

定义域:R 值域:[-1,1] y
1
? 2
O
?
2

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数 y ? cos x 定义域:R 值域:[-1,1]
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1

练习
? P 40 练习2
(1)2cos x ? 3

3 ?1 cos x ? 2

×


(2)sin x ? 0.5
2

sin x ? ? 0.5 ? [?1,1]

2.奇偶性
(1) f ( x ) ? sin x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? sin( ? x ) ? ? sin x ? ? f ( x )

? f ( x ) ? sin x , x ? R 为奇函数 (2) f ( x ) ? cos x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? cos( ? x ) ? cos x

? f ( x)

? f ( x ) ? cos x , x ? R 为偶函数

2.奇偶性
探究
??

y
1
?2? 3?
? 2
?

?3? 5? ? 2

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数的图象

y

1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

余弦函数的图象

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

问题:它们的图象有何对称性?

中心对称:将图象绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合。

轴对称:将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合。

正弦函数的图象
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

P
?
2

??

P

? ' 2
?

O

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

5 3 1 1 3 x ? ? ? ? ,? ? ,? ? , ? , ? ? 对称轴: 2 2 2 2 2 x?

?
2

? k? , k ? Z

对称中心: ?( ?? ,0),(0,0),(? ,0),(2? ,0)?
( k? ,0) k ? Z

余弦函数的图象
?3? 5? ? 2
' P ?2? 3? ?? ?

y
1
? ? 2
O
?
2

?

2

?1

3? 2

2?

P

5? 2

3?

x

对称轴: x ? ? ? ? ,0,? , 2? ?
x ? k? , k ? Z
3? 5? 对称中心: ?( ? ,0),( ,0),( ,0),( ,0)? 2 2 2 2 (

?

?

?
2

? k? ,0) k ? Z

练习
? 为函数 y ? sin(2 x ? ) 的一条对称轴的是( )
3
4? A. x ? ? 3 B. x ?

?

?
2

C.x ?

?
12

D. x ? 0

y
1
O
?
2

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

解:经验证,当
?x ?

x?

?
12



2x ?

?
3

?

?
2

?
12

为对称轴

? 求 y ? sin(2 x ? ) 函数的对称轴和对称中心
3

?

例题
?
3

解(1)令

z ? 2x ?



y ? sin(2 x ?

?
3

) ? sin z

y ? sin z
2x ?

的对称轴为 z ?
?
3 ?

?
2

? k? , k ? Z

?
2

? k?
x?

解得:对称轴为
(2) y ? sin z

?
12

?k

?
2

,k ? Z

的对称中心为 ( k? ,0) , k ? Z
2x ?

z ? k?

?
3

? k?

x??

?
6

?k

?
2

对称中心为 ( ?

?
6

?k

?
2

,0) , k ? Z

练习
1 ? ? 求 y ? cos( x ? ) 函数的对称轴和对称中心 2 4

3.正弦余弦函数的单调性
函数 y ? f ( x),若在指定区间任取 x1、x2 , 且 x1 ? x2 ,都有:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则f(x)在这个区间上是增函数. 1、__________ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则f(x)在这个区间上是减函数. 2、__________
函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。

增函数:上升

减函数:下降

观察正余弦函数的图象,探究其单调性

探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

5? 3? ? ? 3? 5? … … [? , ]、 [ , ] 上时, 当 在区间 [? ,? ]、

x

2

2

2 2

2

2

曲线逐渐上升,sinα的值由 ? 1增大到 1 。
7? 5? 3? ? ? 3? 5? 7? [? , ? ]、 [ , ]、 [ , ]… 当x在区间 … [? , ? ]、 2 2 2 2 2 2 2 2

上时,曲线逐渐下降, sinα的值由1减小到 ? 1 。

探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

2 2 都是增函数,其值从-1增大到1; ? 3? 而在每个闭区间[ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z )上都是 2 2 减函数,其值从1减小到-1。

正弦函数在每个闭区间[?

?

? 2k? ,

?

? 2k? ]( k ? Z )

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

[??,、 0] [?, 2? ][3? , 4? ]? 上时, 当x在区间?[?3? , ?2? ]、

曲线逐渐上升,cosα的值由? 1 增大到1 。
[0 ? ]、 [2?, 3? ]? 上时, 当x在区间 ?[?2? , ?? ]、,

曲线逐渐下降, sinα的值由1 减小到? 1 。

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

由余弦函数的周期性知:
在每个闭区间[k ? 2?

? ? , 2k? ]都是增函数,

其值从-1增大到1 ; 而在每个闭区间 [2k? ,2k? ? ? ] 上都是减函数, 其值从1减小到-1。

练习
? P40 4.
y ? 4 sin x x ?[?? , ? ]
先画草图,然后根据草图判断
y
4

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?4

3? 2

2?

5? 2

3?

x

练习
? P40 练习1
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

(1)sinx > 0 : (0 ?2k? , ? ?2k? )

k?Z k?Z

(2)sin x ? 0 :( ?? ?2k? , 0 ?2k? )

y

1

(1)cos x ? 0 : (2)cos x ? 0 :

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

(?

?
2

? 2

O

?

?2k?

?1

,

?
2

2

?

3? 2

2?

5? 2

3?

x

?2k? ) ?2k? )

k?Z k?Z

3? ( ?2k? , 2 2

?

探究:正弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x?

?
2

有最大值 y ? 1 ? 2k? 时, 有最小值 y ? ?1 ? 2k? 时,

最小值:当x

??

?
2

探究:余弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x ? 0 ? 2k? 时, 有最大值 y ? 1
x ??
有最小值 y ? ?1 ? 2k? 时,

最小值:当

例3.下列函数有最大、最小值吗?如果有,请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合,并说出最大、最小值分别是什么.

(1)y ? cos x ? 1, x ? R; (2)y ? ?3sin 2 x, x ? R.

方法:利用正余弦函 数的的最大(小)值

解: 这两个函数都有最大值、最小值. (1)使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最大值的x的集合,就是 使函数 y ? cos x, x ? R 取得最大值的x的集合

{x | x ? 2k? , k ? Z}
使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最小值的x的集合,就是 使函数 y ? cos x, x ? R 取得最小值的x的集合

{x | x ? (2k ? 1)? , k ? Z} 函数 y ? cos x ? 1, x ? R 的最大值是1+1=2;最小值是
-1+1=0.

例3.下列函数有最大、最小值吗?如果有,请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合,并说出最大、最小值分别是什么.

(1)y ? cos x ? 1, x ? R; (2)y ? ?3sin 2 x, x ? R.
解: (2)令t=2x,因为使函数y ? ?3sin t , t ? R 取最大值的t的集合是 ? {t | t ? ? ? 2k? , k ? Z } 2 ? ? 由 2 x ? t ? ? ? 2k? 得 x ? ? ? k? 2 4 所以使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R取最大值的x的集合是

4 同理,使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R 取最小值的x的集合是 4 函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R取最大值是3,最小值是-3。 {x | x ?

{x | x ? ?

?

? k? , k ? Z }

?

? k? , k ? Z }

练习
求使函数 y ? 3 cos( 2 x ?

?

2 自变量的集合,并写出最大值、最小值。 y
1

) 取得最大值、最小值的

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

分析:令 z ? 2 x ?

?
化未知为已知

2 则 y ? 3 sin z

练习
? P40练习 3
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

函数 性质

y= sinx

(k∈z)

y= cosx
x∈ R

(k∈z)

定义域 值域 最值及相应的 x 的集合

x∈ R [-1,1]

[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数

π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π , 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3π x∈[2kπ+ ,2 2kπ+ ]上 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+

周期性 奇偶性
单调性

π

对称中心 对称轴

π

(kπ+ π 2 ,0) x = kπ

在x∈[2kπ, 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π , 2kπ ] 上都是减函数 。

2

不求值,判断下列各式的符号。 例4: 23? 17? ? ? 2、 cos( ? ) ? cos( ? ) 1、 sin( ? ) ? sin( ? ) 5 4 18 10 ? ? ? ? ? ? 分析:比较同名函数值的大小,往往可以利用函数的 解: 1、 ? ? ? ? ? ? ? , 且y ? sin x在[? , ]上增函数。 2 10 18 2 2 2 单调性,但需要考虑它是否在同一单调区间上,若是, ? ? ? ? ? sin( ? ) ? sin( ? ) 即sin( ? ) ? sin( ? ) ? 0 即可判断,若不是,需化成同一单调区间后再作判断。
10 18 18 10 17? 17? ? 23? 23? 3? cos( ? ) ? cos ? cos (2)、 cos( ? ) ? cos ? cos 5 5 5 4 4 4 ? 3? ?0 ? ? ? ? , 且y ? cos x在[0, ? ]上是减函数 4 5 3? ? 3? ? y
? cos

23? 17? ? ? ) ? cos(? O ) ??0 ? ? 3? cos( 5? ?2? ? 3? ?? ? ? 52 ? 2 4 2
2
?1

? cos 即 cos -cos ? 0 5 4 51 4

3? 2

2?

5? 2

3?

x

1 ? 例5、求函数y ? sin( x ? ), x ? [?2? , 2? ]的单调递增区间. 2 3
1 y ? sin( ? x ) 3 2

?

1 y ? cos( ? x ) 3 2

?

练习:P41 6

小结
正弦函数的图象
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

P
?
2

??

P

? ' 2
?

O

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

5 3 1 1 3 x ? ? ? ? ,? ? ,? ? , ? , ? ? 对称轴: 2 2 2 2 2 x?

?
2

? k? , k ? Z

对称中心: ?( ?? ,0),(0,0),(? ,0),(2? ,0)?
( k? ,0) k ? Z

余弦函数的图象
?3? 5? ? 2
' P ?2? 3? ?? ?

y
1
? ? 2
O
?
2

?

2

?1

3? 2

2?

P

5? 2

3?

x

对称轴: x ? ? ? ? ,0,? , 2? ?
x ? k? , k ? Z
3? 5? 对称中心: ?( ? ,0),( ,0),( ,0),( ,0)? 2 2 2 2 (

?

?

?
2

? k? ,0) k ? Z

小结
1.能根据图象说出函数的单调性和最值。

2. y ? A sin(?x ? ? ) ? y ? A sin z
化未知为已知

作业
P46 A组 2、(3)(4) 4、(1)(2) 5


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