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高中数学向量总结归纳


平面向量的数量积及平面向量的应用
1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数,而不是向量.其定义源于物理学中 “力所做的功”. 设 a 及 b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ 满足:0°≤θ ≤180°,我们把 |a|?|b|?cosθ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a?b 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a?b= x1

x2 ? y1 y 2 . 其运算满足 “交换律” “结合律” 以及 “分配律”,即:a? b=b?a, ?a)?b=λ (a? (λ b), (a±b)?c=a?c±b?c.

2.平面向量数量积的重要性质. ①|a|= a ? a = | a | ? | a | cos ? ? | a | 2 ;cosθ = 取等号. ② 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 :|a|=
2 2 x1 ? y1

( a ? b) ;|a?b|≤|a|?|b|,当且仅当 a,b 共线时 | a |?|b |
( x1 x 2 ? y1 y 2 )
2 2 2 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2

;cos θ =

;|x1x2+y1y2| ≤

2 2 2 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2

3.两向量垂直的充要条件 若 a,b 均为非零向量,则:a⊥b ? a?b=0. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b ? x1x2+y1y2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a|2=a? 或|a|= a ? a ;|a? a b|≤|a|? |b|;|a|2-|b|2=(a+b)? (a-b);|a±b|= a 2 ? b 2 ? 2 | a | ? | b | ? cos ? (θ 为 a,b 夹角);||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 5.三角不等式的推广形式 |a1+a2+?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|.

小练习一 【例 1】 计算下列各题:

(1)已知等边三角形 ABC 边长为 1,且 BC =a, CA =b, AB =c,求 a?b+b?c+c?a; (2)已知 a、b、c 是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求 r=a+b+c 的长度以及它和 a,b,c 的 夹角; (3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求 a、b 的夹角; (4)已知|a|=2,|b|=5,a,b 的夹角是 2 π ,p=3a-b,q=λ a+17b,问系数λ 取向值时,p⊥q. 3 【解前点津】 (1)利用 x2=x?x,通过对(a+b+c)2 的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用 两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件, 运算律以及内积定义.构造关于λ 的方程, 解 之即得. 【规范解答】 (1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a?b+b?c+c?a)=3-2(a?b+b?c+c?a)=0
? a?b+b?c+c?a=
3 . 2

(2)cos ? r,a ? =

r ?a ,∵|r|= r 2 且 | r |?| a |

r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a?b+b?c+c?a)=14-2(a?b+b?c+c?a)=14. ∴|r|= 14 ? cos ? r,a ? =
( a ? b ? c) ? a 14 ? | a | ? | a |2 14 | a | | b |2 14 | b | | c |2 14 | c | ? 14 ; 14 14 ; 7 3 . 14

cos ? r,b ? =

(a ? b ? c) ? b 14 ? | b | (a ? b ? c) ? c 14 ? | c |

?

?

cos ? r,c ? =

?

?

(3)由条件:(a+3b)?(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a?b=0,(a-4b)?(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a?b=0 ? |a|2=|b|2=2a?b ? (|a|?|b|)2=4(a?b)2 ? 由 cos ? a,b ? = 1 得: ? a,b ? = ? ; 2 3 由 cos ? a,b ? =- 1 得: ? a,b ? = 2 ? . 2 3 (4)令 p?q=0 得:(3a-b)?(λ a+17b)=0 ? 3λ |a|2-17|b|2+(51-λ )a?b=0 ① 将|a|=2,|b|=5,a?b=|a|?|b|?cos 2 ? 代入①得 3λ ?4-17?25+(51-λ )?(-5)=0 解之:λ =40. 3 【解后归纳】 综合利用内积的定义及运算律,内积运算形式与实数运算形式的相互转化,是 计算的一项基本功.
a ?b 1 ?? . | a |?|b| 2

【例 2】

在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 的值.

【解前点津】 因谁是直角,尚未确定,故必须分类讨论. 【规范解答】 ①当∠A=90°时,因为 AB ? AC =0, ∴2?1+3?k=0,∴k=- 2 . 3 ②当∠B=90°时, BC = AC - AB =(1-2,k-3)=(-1,k-3) ∵ AB ? BC =0,∴2?(-1)+3?(k-3)=0 ? k= 11 . 3 ③当∠C=90°时,∵ AC ? BC =0,∴-1+k?(k-3)=0,k2-3k-1=0 ? k=
3? 3 ∴k 的取值为:- 2 , 11 或 . 2 3 3 【例 4】 已知平行四边形以 a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边. (1)求它的边长和内角; (2)求它的两对角线的长和夹角. 【解前点津】 利用内积的有关运算性质.

3? 3 . 2

【规范解答】
? cosα =

(1)|a|= 2 2 ? 12 ? 5 ,|b|= 12 ? (?3) 2 ? 10

(2 ?1 ? 1? 3) a ?b 2 , ? ?? | a || b | 10 5 ? 10

∴α =π -arccos 2 .
10

(2)|a+b|= (a ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 5 ? 10 ? 2(?1) ? 13 ,? |a-b|= a 2 ? b 2 ? 2ab ? 5 ? 10 ? 2 ? (?1) ? 17 .
1 ( a ? b) ? cosβ = 2 1 ( a ? b) ? 2 1 ( a ? b) 2 ? 1 ( a ? b) 2 a2 ? b2 ? 13 ? 17 5 ? 10 5 221 ?? . 221 13 ? 17

【解后归纳】 本题综合运用了向量的有关运算性质,也可利用余弦定理求解. 小练习二 一、基础夯实 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是 A.60° B.30° C.135° D.45° ( ) ( )

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 ? ,则向量 m=a-4b 的模为 3

A.2

B.2 3

C.6

D.12

3.a,b 是两个非零向量,(a+b)2=a2+b2 是 a⊥b 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2 4.若 a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a| -4a?b 等于 ( ) A.23 B.57 C.63 D.83 5.已知 a=(λ ,2),b=(-3,5)且 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是 ( ) A.λ > 10 3 A. ? ? C? ? B.λ ≥ 10 3 B? ? D? ? C.λ < 10 3 D.λ ≤ 10 3 ( )

6.已知 a=(4,3),向量 b 是垂直 a 的单位向量,则 b 等于
3 4? ?4 3? , ? 或? , ? ?5 5? ?5 5? 4 3? ? 3 4? , ? 或 ? ? ,? ? ?5 5? ? 5 5?

3 4? ? 4 3? ,? ? 或 ? ? , ? ?5 5? ? 5 5?
5 5

3 4? ? 3 4? ,? ? 或 ? ? , ? ?5 5? ? 5 5?

7.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为 A. B. ?
5 5

(

)

C.

65 5

D.

13 13

8.已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,- 1 )在线段 AB 中垂线上,则 x 为 2 A.- 7 4 B. 7 4 C.2 D.-2
3? ,则 k 的值为 4

(

)

9.已知 a=(3,0),b=(k,5),且 a 与 b 的夹角为

(

)

A.-4 B.4 C.5 D.-5 10.已知 a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件:x?a=9 与 x?b=-4 的向量 x 为 A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-2,-3) 二、思维激活 11.已知向量 a、b 的夹角为 ? ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|?|a-b|= 3 .

(

)

12.已知 a⊥b、c 与 a,b 的夹角均为 60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2= 13.已知 a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若 c⊥a,则 c= . 14.已知点 A(1,0),B(3,1),C(2,0),且 a= BC ,b= CA ,则 a 与 b 的夹角为 三、能力提高 15.设 A、B、C、D 是平面内任意四点,求 AB ? CD + BC ? AD + CA ? BD 值. .

.

16.设 OA =(3,1), OB =(-1,2), OC ⊥ OB , BC ∥ OA ,O 是原点,求满足 OD + OA = OC 时的 OD 坐标. 17.已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120°,若 c=2a-b,d=3b-a,试求:c 与 d 的夹角.
2 ?1 3 ? ? ,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t 2-3)?b, y=-ka+t?b,且 x⊥y,试求 k ? t 18.已知 a=( 3 ,-1),b= ? , ?2 2 ? t ? ?

的最小值.

平面向量的数量积及平面向量的应用解答
1.D ∵a?(a-b)=a2-a?b=0,∴a?b=1=1? 2 cosθ ,∴cosθ = 2.B
1 . 2
3

|m|= m 2 = a 2 ? 16b 2 ? 8a ? b ? 2 2 ? 16 ? 8 ? 2 ?1 cos ? ? 20 ? 16 cos ? ? ? 2 3 .
2 2 2 2?

3.C 展开得:a +b +2a?b=a +b a?b=0. 2 2 4.D 原式=3(4 +3 )-4?(-20+18)=83. 5.A ∵a?b=10-3λ ,|a|= 4 ? ?2 ,|b|= 34 ,∴由 cosα =
10 ? 3? 34 ? 4 ? ?
2

<0 得λ > 10 . 3

6.D

?x ? 3 ?x ? ? 3 ? ? ? ? 5 5 设 b=(x,y),则 x +y =1 且 4x+3y=0 解方程组得 ? 或? . 4 4 ?y ? ?y ? ? ? ? 5 5 ? ?
2 2

7.C ∵a?b=2?(-4)+3?7=13,|a|= 13 ,|b|= 65 ,∴13= 13? 65 ?cosθ ,∴|a|?cosθ = 8.C 由条件知 AB 中点为 M ?1, ?
?

13 65

?

65 . 5

1? ? ,令 MP ? AB =0 得:(x-1,-1)?(-4,-3)=-4(x-1)+(-1)?(-3)=0,x=2. 2?

3? 9.D 作内积:a?b=3k=3? k 2 ? 25 cos ? k<0 且 k 2 ? 25 =- 2 k ? k=-5. 4

10.B 设 x=(m,n),则由条件得 ?

?3m ? n ? 9 ?m ? 2 ,故 x=(2,-3). ?? m ? 2n ? ?4 ?n ? ?3 ?

11.由已知条件得:a?b=1,故原式= (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? (4 ? 1 ? 2) ? (4 ? 1 ? 2) ? 21 . 12.由条件得:c?a=3?1?cos60°= 3 ,c?b=3?2?cos60°=3. 2
2 2 2 ? 原式=a +4b +c +2a?c+4a?b-4b?c=1+16+9+3-12=17.

2 1 13.∵c=(1-k,1-2k),∴由 c?a=0 得 1?(1-k)+2(1-2k)=0 得 k= 3 ? c= ? ,? ? . ? ? 5 ?5 5?

14.由条件 a=(-1,-1),b=(-1,0) ? |a|= 2 ,|b|=1,由 a?b= 2 cosθ 得:(-1?(-1)+(-1)?0= 2 cosθ
? cosθ =
2 ? θ =45°. 2

15.∵ AB = AD - BD , BC = BD - CD , CA = CD - AD , ∴原式=( AD - BD )? CD +( BD - CD )? AD +( CD - AD )? BD = AD ? CD - BD ? CD + AD ? BD - AD ? CD + BD ? CD - AD ? BD =0. 16.设 OC =(x,y),由 OC ⊥ OB 得:-x+2y=0,又 BC = OC - OB =(x+1,y-2),而 BC ∥ OA ? 3(y-2)-(x+1)=0 解关

于 x,y 的方程组得 x=14,y=7. ∴ OC =(14,7) ? OD = OC - OA =(11,6). 17.∵a、b 是两单位向量,∴|a|=|b|=1,且 a,b 夹角为 120°. ∴a?b=|a|?|b|?cos120°=- 1 , 2 ∵|c|2=c?c=(2a-b)?(2a-b)=4a?a-4a?b+b?b=4|a|2-4a?b+|b|2=7, ∴|c|= 7 . ∵|d|2=d?d=(3b-a)?(3b-a)=9b?b-6a?b+a?a=13, ∴|d|= 13 . ∵c?d=(2a-b)?(3b-a)=6a?b-3b?b-2a?a+a?b=- 17 , 2 ∴cosθ =17 2 7 ? 13 ?? 17 91 (θ 为 c、d 夹角). 182

∴θ =π -arccos

17 91 . 182
2 2

? 3 ? 1 ? 18.∵|a|= 3 ? (?1) 2 ? 2 ,|b|= ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?1, ?2? ? ?

3 ∵a?b= 3 ? 1 ? 1? ? 0 ,故 a⊥b, 2 2
3 ∵x?y=0,∴[a+(t2-3)?b][-ka+tb]=0 化简得:k= t ? 3t . ? 4 2 ∴ k ? t ? 1 (t 2 ? 4t ? 3) ? 1 (t ? 2) 2 ? 7 ≥- 7 . 4 4 4 4 4

当且仅当 t=-2 时,

k ?t2 有最小值- 7 . t 4

小练习三 一选择题 1.已知 A、B、C 为三个不共线的点,P 为△ABC 所在平面内一点,若 PA ? 的位置关系是 A、点 P 在△ABC 内部 C、点 P 在直线 AB 上 ( B、点 P 在△ABC 外部 D、点 P 在 AC 边上 ( D、等腰锐角三角形 ) )

PB ? PC ? AB ,则点 P 与△ABC

2.已知三点 A(1,2) ,B(4,1) ,C(0,-1)则△ABC 的形状为 A、正三角形 A、300 二、填空题 B、钝角三角形 B、600 C、900 C、等腰直角三角形 D、1200

3.当两人提起重量为|G|的旅行包时,夹角为 ? ,两人用力都为|F|,若|F|=|G|,则 ? 的值为( )

5.一艘船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,船的实际航行方向与水流方向成 300 角,则水流速度为 km/h。 6.两个粒子 a,b 从同一粒子源发射出来,在某一时刻,以粒子源为原点,它们的位移分别为 Sa=(3,-4) b=(4, ,S 3)(1)此时粒子 b 相对于粒子 a 的位移 , (2)求 S 在 Sa 方向上的投影 三、解答题 7.如图,点 P 是线段 AB 上的一点,且 AP︰PB= m ︰ n ,点 O 是直线 AB 外一点,设 OA ? a , OB 。 ;

??? ?

??? ?

? b ,试用

??? ? m, n, a, b 的运算式表示向量 OP .
A

a
O

P

b

B

高三数学平面向量综合练习题
一、选择题 1、设平面向量 a =(-2,1), b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是

1 ,2) ? (2,??) 2 1 C、( ? ,+∞) 2
A、 (? ①存在一个实数λ ,使 a =λ ③

B、(2,+∞) D、(-∞, ?

1 ) 2

2、设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则下列为 a 与 b 共线的充要条件的有

b 或 b =λ a ;②| a ? b |=| a |?| b |;

x1 y ? 1 ;④( a + b )//( a - b ) x2 y 2
B、2 个 C、3 个 D、4 个

A、1 个

3、若函数 y=2sin(x+θ )的图象按向量(

? 6

,2)平移后,它的一条对称轴是 x=

? 4

,则θ 的一个可能的值是

A、

5? 12

B、

? 3

C、

? 6

D、

? 12

4、Δ ABC 中,若 A、直角三角形 C、锐角三角形

AB ? AC ? BA ? BC ,则Δ ABC 必约
B、钝角三角形 D、等腰三角形

5、已知Δ ABC 的三个顶点 A、B、C 及所在平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC 系是 A、P 在Δ ABC 内部 C、P 在直线 AB 上 B、P 在Δ ABC 外部

? AB ,则点 P 与Δ ABC 的关

D、P 在Δ ABC 的 AC 边的一个三等分点上

6、在边长为 1 的正三角形 ABC 中, BC A、1.5 二、填空题 1、已知 a =(cosθ ,sinθ ), b =(
2

? a , AB ? c , CA ? b ,则 a ? b ? b ? c ? c ? a =
C、0.5 D、-0.5

??? ?

?

??? ?

?

B、-1.5

3 ,-1),则|2 a - b |的最大值为____________

2、已知 P(x,y)是椭圆 ________________

x ? y 2 ? 1 上一点,F1、F2 是椭圆的两焦点,若∠F1PF2 为钝角,则 x 的取值范围为 4
?

3、设 m =(a,b), n =(c,d),规定两向量 m, n 之间的一个运算“ 2),

”为 m

?

n =(ac-bd,ad+bc),若已知 p =(1,

p

?

q =(-4,-3),则 q =____________

4、将圆 x2+y2=2 按 a =(2,1)平移后,与直线 x+y+λ =0 相切,则实数λ 的值为____________ 三、解答题 1、已知平面内三向量 a 、 b 、 c 的模为 1,它们相互之间的夹角为 1200。 (1)求证: (a ? b) ? c ; (2) | k a ? b ? c |? 1 ,求 k 的取值范围。 2、设两个向量 e1 、 e 2 满足| e1 |=2,| e 2 |=1, e1 与 e 2 的夹角为 600 ,若向量 m ? 2? e1

? 7e 2 与向量

n ? e1 ? ? e 2 的夹角为钝角,求实数 ? 的取值范围。

OB ? OC , ? OA 。 OC 3、 △ABC 内接于以 o 为圆心, 为半径的圆, 3OA ? 4OB ? 5OC ? o , OA ? OB , l 且 求:
4、抛物线 方程。 5、设 a =(m,n), b =(p,q),定义向量间运算“*”为: a * b =(mp-nq,mq+np)。 (1)计算| a |、| b | 及 | a * b |; (2)设 c =(1,0),计算 cos< a * b , a >及 cos< b , c >; (3)根据(1)(2)的结果,你能得到什么结论? 、 6、已知 a =(cosα ,sinα ), b =(cosβ ,sinβ ),0<α <β <π 。 (1)求证: a + b 与 a - b 垂直; (2)若 k a + b 与 a -k b 的长度相等,求β -α 的值(k 为非零的常数) 7、 已知 A(3, B(0, C(cosα , 0), 3), sinα )。 (1) 若 且α ∈(0,π ),求 OB 与 OC 的夹角。 8、已知 a =(2,2), b 与 a 的夹角为

y??

x2 与过点 M(1,0)的直线 l 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,若 OA ? OB =0,求直线 l 的 2

AC ? BC ? ?1 ,求 sin2α 的值; 若 | OA ? OC |? 13 , (2)

3? ,且 a ? b =-2。 4
C ),其中 A、C 是△ABC 的内角,若 A、B、 2

(1)求向量 b ; (2)若 t =(1,0),且 b ⊥ t , c =(cosA,2cos2

C 依次成等差数列,求| b + c |的取值范围。 9、已知向量 a 、 b 、 c 、 d 及实数 x、y,且| a |=| b |=1, c = a +(x2-3) b , d =-y a +x b , a ⊥ b ,若 c ⊥

d ,且| c |≤ 10 。
(1)求 y 关于 x 的函数关系 y=f(x)及定义域; (2)求函数 f(x)的单调区间。 10、平面向量 OA =(1,7), OB =(5,1), OP =(2,1),点 M 为直线 OP 上一动点。 (1)当 MA ? MB 取最小值时,求 OM 的坐标; (2)当点 M 满足(1)中的条件和结论时,求∠AMB 的余弦。

11、已知 P(x,y),A(-1,0),向量 PA 与 m =(1,1)共线。 (1)求 y 是 x 的函数; (2)是否在直线 y=2x 和直线 y=3x 上分别存在一点 B、C,使得满足∠BPC 为锐角时 x 取值集合为{x| x<- 12、已知 a ? e1

7 或 x> 7 }?若存在,求出这样的 B、C 的坐标;若不存在,说明理由。
? e2 , b ? 4e1 ? 3e2 ,其中 e1 =(1,0), e 2 =(0,1)。 ? k 2 a 2 ? ? ? ? ? k n a n ? o 成立, 则称 n 个向量 a1 ,

(1)计算 a ? b ,| a + b |的值; (2) 如果存在 n 个不全为零的实数 k1, 2, kn, k1 a1 k ?, 使

a 2 ,?, a n “线性相关” ,否则为“不线性相关” ,依此定义,三个向量 a1 =(-1,1), a 2 =(2,1), a 3 =(3,2)
是否为“线性相关”的,请说明你的判断根据; (3)平面上任意三个互不共线的向量 a1 , a 2 , a 3 一定是线性相关的吗?为什么? 参考答案 选择题 1-5 ACADDB 填空题 1. 4 ,2
(? 2 6 2 6 , ) 3 3

,3 (-2,1) 4 -1 或-5, ,

解答题 1:k>0 或 k<-2 2: ( ?7, ?
14 2 ) ? (? 14 2 ,? 1 2 )

3: OA ? OB =0, OB ? OC =-0.8, OC ? OA =-0.6 4:y=2x-2 5: | a |=

m2 ? n2

| b |=

p2 ? q2

| a * b |=

( m 2 ? n 2 )( p 2 ? q 2 )

cos< a * b , a >= cos< b , c >=

p p2 ? q2

6: ?

?? ?

?
;

7: sin2α

2 5 =? 9

? 6
2 5 , ) 2 2
增区间 (??, ?1];[1, ??) 减区间 [?1,1]

8(1) (-1,0);(0,-1) (2) [

9: y=x -3x

3

x ? [? 6, 6]

10: (4,2) (1) (2) ?

4 17 17

11: (1)y=x+1 (2)存在 B(2,4);C(-1,-3)或 B(? 12 (1) a ? b =1,| a + b |=

9 18 41 123 , ? ), C ( , ) 7 7 28 28

29

(2)线性相关


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