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3.1.1 函数的平均变化率


美国康奈尔大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员
把一只健壮的青蛙投入热水锅中,青蛙马上就感到了危险, 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中,然后开始慢慢加热水锅。刚开始,青蛙自然悠哉游哉, 毫无戒备。一段时间以后,锅里水的温度逐渐升高,而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险,最后,一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。

如何用数学来 反映山势的平缓 与陡峭程度?

例:如图,是一座山的剖面示意图: A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 ; 其中自变量x表示登山者的水平位置,函数值y表示登山者所

在高度。想想陡峭程度应怎样表示?
y
H E D

C B A X1

O

X0

X2

Xk

Xk+1

x

登山问题

y

H E D

C B A X1

O

X0

X2

Xk

Xk+1

y
B(x1,y1) A(x0,y0)

选取平直山路AB放大研究 : 若

y1 y0 O
?x
x1

A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 )
?x ? x1 ? x0

?y

自变量的改变量 函数值的改变量

?y ? y1 ? y0

x2

x

k?

y1 ? y0 y ? y1 ?y ? 0 ? x1 ? x0 x0 ? x1 ?x

直线AB的斜率:

y
H E D

D1 C B A X1

O

X0

X2

X3

Xk

Xk+1

x
D1(x3,y3)

y y1 y0 O
A(x0,y0) B(x1,y1)

y y3

y2
x1 x

C(x2,y2)

x0

O

x2

x3

x

直线AB的斜率:

y1 ? y 0 ?y k? ? x1 ? x0 ?x

直线CD1的斜率:

y3 ? y2 ?y k1 ? ? x3 ? x2 ?x

竖直位移与水平位移之比的绝对值越大,山坡越陡;
反之,山坡越平缓。

也就是说,“线段”所在直线的斜率的绝对值 越大,山坡越陡。
现在摆在我们面前的问题是:山路是弯曲的,怎 样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢? 一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段, 每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。 (举例:地球表面与平面)

y
H E D

D1 C B A X1

O

X0

X2

X3

Xk

Xk+1

x
D1(x3,y3)

?y ? x 越大,山坡越陡,高度

y y3

的平均变化量就越大

y2
O

C(x2,y2)

x2

x3

x

直线CD1的斜率:

y3 ? y2 ?y k1 ? ? x3 ? x2 ?x

函数的平均变化率
已知函数 y ? f ( x) 在点 x

? x0

及其附近有定义,

?y ? y ? y0 ? f ( x) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 令 ?x ? x ? x0 ,
则当 ?x ? 0 时,比值 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? ?x ?x 叫做函数 y ? f ( x) 在 x0 到x0 ? ?x 之间的平均变化率

思考:(1) △x 、△ y的符号是怎样的? (2)该两变量应如何对应? 理解:

1、x2是x1附近的任意一点 ,即?x ? x2 ? x1 ? 0, 但可正可负 ; ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 )可正可负,也可为零 .
2、 对应性: 若 ?x ? x2 ? x1 , 则?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ).

2 y ? x 例1.求函数 在 x 0 到 x0 ? ?x之间的平均变化率
2 y ? x 解:当函数 在 x0 到 x0 ? ?x 之间变化的时候

函数的平均变化率为
2 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ?y ? ? ? 2 x0 ? ?x ?x ?x ?x

分析:当 ?x 取定值, x0 取不同数值时, 该函数的平均变化率也不一样.

1 练习:求函数 y ? 在 x 0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率 x
1 解:当函数 y ? x 在 x0 到 x0 ? ?x 之间变化的时候 函数的平均变化率为 1 1 ? ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) x0 ? ?x x0 ? ? ?x ?x ?x 1 ?? ( x0 ? ?x) x0


y? x

呢?

小结
? 知识: 函数平均变化率 ? 方法与思想: 数形结合,化未知为已知的转化思想

瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物

体在每一时刻运动的快慢程度.如果物体的运动规
律是 s =s(t ),那么物体在时刻t 的瞬时速度v,就是

物体在t 到 t+?t 这段时间内,当 ?t?0 时平均速度 v
的极限.即

?s s ( t ? ?t ) ? s ( t ) v? ? lim ? t ? t ?0 ?t

函数的瞬时变化率
设函数 y ? f ( x)在 x0 附近有定义, 当自变量在 x ? x0 附近改变 ?x 时, 函数值相应的发生改变 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 如果当 ?x 趋近于0时, 平均变化率 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
?x

趋近于一个常数 则数

l,
f ( x)在点 x0 处的瞬时变化率。

l 称为函数 y ?

导数的概念
设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义,当自变量 x 在 x0 处
取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内)时, 相应地函数 y 取 得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 ),若△y与△x之比当 △x→0的极 限存在,则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 ,并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数记为

f ?( x0 )
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? lim 即 f ( x0 ) ? ? x ?0 ?x ?x ?0 ?x



也可记作

y?

x ? xo

若这个极 限不存在,则 称在点x0 处不 可导。

说明:
(1)函数 f ( x) 在点 x0 处可导,是指 ?x ? 0 时,

?y ?y 有极限.如果 不存在极限,就说函数在 ?x ?x
点 x0 处不可导,或说无导数.
(2) ?x 是自变量x在

x0 处的改变量, ?x ? 0 ,而

?y 是函数值的改变量,可以是零.

由导数的定义可知,求函数 y ? f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: (1)求函数的增量: ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? (2)求平均变化率: ; ?x ?x ?f lim . (3)取极限,得导数: f ?( x0 ) ? ? x ?0 ?x

例:

高台跳水运动中,

t

秒 ( s ) 时运动员相

对于水面的高度是 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10

(单位: m ),求运动员在 t ? 1s 时的瞬时
速度,并解释此时的运动状态;在t ? 0.5s 呢?

?h h(1 ? ?t ) ? h(1) ? ? ? ?t ?t ? 4.9(?t ? 1) 2 ? 6.5(?t ? 1) ? 10 ? ?? 4.9 ? 12 ? 6.5 ? 1 ? 10? ?t ? ?4.9?t ? 3.3 ?h / ? h ?1? ? ?lim ( ? 4.9?t ? 3.3 ) ? ?3.3 lim ?t ?t ?0 t ?0 ? h / ?1? ? ?? 3 .3 同理, /
h (0.5) ? 1.6
h (0.5) ? 1.6m / s 这说明运动员在t ? 1s附近,正以大约 3.3m / s

运动员在 t ? 1s 时的瞬时速度为 h / (1) ? ?3.3m / s , /
t ? 0.5s t ? 0.5s

的速率 下落 。 上升

1.6m / s

2.在 ?x ? 0 的过程中,割线PQ的的变化情况 你能描述一下吗? 请在函数图象中画出来.

求已知曲线的切线.

y ? f ( x) ? K ? f ( x0 ) Q 切
?y

P

?

?x

M

作业
? 课本82.B2 ? 报纸A14

V (t0 ) ? S ?(t0 ),

K切 ? f ?( x0 )

? 一是:根据物体的路程关于时间的 函数求速度和加速度.

? 二是:求已知曲线的切线.

例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 xh 时,原油的温度(单位:℃)为

f ( x) ? x ? 7 x ? 15 (0 ? x ? 8).
2

计算第2 h和第6 h,原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义。

3.1.1

导数的几何意义 y

y ? f ( x)
T
P

0

x0 xn

x

f ( xn ) ? f ( x0 ) kn ? xn ? x0

V (t0 ) ? S ?(t0 ),

K切 ? f ?( x0 )

? 一是:根据物体的路程关于时间的 函数求速度和加速度.

? 二是:求已知曲线的切线.

课堂小结: 函 数 的 平 均 变 化 率 函 数 的 瞬 时 变 化 率

?x ? 0
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? ?l ?x ?x

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x

l

例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 xh 时,原油的温度(单位:℃)为

f ( x) ? x ? 7 x ? 15 (0 ? x ? 8).
2

计算第2 h和第6 h,原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义。

3.1.1

导数的几何意义 y

y ? f ( x)
T
P

0

x0 xn

x

f ( xn ) ? f ( x0 ) kn ? xn ? x0

y

y ? f ( x)
T P

o

?

f ( x 0 ??x) ? f ( x 0 ) k ? lim ?x ?0 ?x ? f ?( x 0 )
x

x0

即 kPT ? tan ? ? f ?( x 0 )

函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 )在几何上表示 曲线y ? f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率。
曲线y ? f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处
的切线方程为

y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 )

y

l1
A

圆的切线定义并不适
用于一般的曲线。

通过逼近的方法,将
l2

割线趋于的确定位置的

B

直线定义为切线(交点
x 可能不惟一)适用于各

C

种曲线。所以,这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。

P

P

P

根据导数的几何意义,在点P附近,曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。 大多数函数曲线就一小范围来看,大致可 看作直线,所以,某点附近的曲线可以用过此 点的切线近似代替,即“以直代曲” (以简 单的对象刻画复杂的对象)

1.在函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的
/

图像上,(1)用图形来体现导数 h (1) ? ?3.3 ,

h (0.5) ? 1.6 的几何意义.
/
h

O

0 .5

1 .0

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 t 3 , t 4 附近呢?
h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在

t 3 , t 4 附近呢?

附近:瞬时 增(减): 变化率(正或负) 即:瞬时变化率(导数) =切线的斜率 增(减)快慢: 即:导数 的绝多值的大小 切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值的 (陡峭程度) 大小 画切线(数形结合,以直代曲) 以简单对象刻画复杂的对象

(2) 曲线在 t 0 时,切线平行于x轴,曲线在
h / (t1 ), h / (t 2 ) ? 0 曲线在 t1 , t 2 处切线 l1 , l 2 的斜率 小于 0 大于 l 3 , l 4 h / (t 3 ), h / (t 4 ) ? 0 t3 , t 4

t 0 附近比较平坦,几乎没有升降.

在 t1 , t 2 附近,曲线 下降 ,函数在 t1 , t 2
t3 ,

附近单调 递减
递增

t4

上升

t3 , t 4

如图,切线 l 2 的倾斜程度大于切线 l1 的 l4 倾斜程度, l 3
这说明曲线在 t 2 附近比在 t1附近 下降 t3 得迅速. 上升 t4

2.如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) (单位:mg/ml)随时间t(单位:min) 变化的函数图像,根据图像,估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)

血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示 曲线在该点处的切线的斜率. (数形结合,以直代曲)

以简单对象刻画复杂的对象

t

0.2

0.4

0.6

0.8

药物浓度的 瞬时变化率

0 .3

0

? 0 .5

? 1 .4

抽象概括: 导函数 f / ( x) 的概念:
f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) f ?x0 ? ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ( x) / f ? x ? ? lim ?x ?0 ?x
/

/ 是确定的数 f ( x0 ) f ( x) 是
/

x

的函数

小结:
1.函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f / ?x0 ? 的几何意义,就是函数 f ( x) 的图像在点
A?x0 , f ( x0 )? 处的切线AD的斜率(数形结合)
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
/

=切线

AD的斜率

2.利用导数的几何意义解释实际生活问题, 体会“数形结合”,“以直代曲”的数学 思想方法。

以简单对象刻画复杂的对象
/ f 3.导函数(简称导数) ( x) ? lim ?x ? 0

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ?x

课堂小结

今天这节课,你学到了 哪些知识?

小结:

? 1.函数的平均变化率 定义 ? 2.函数的平均变化率 的几何意义 是曲线上两点对应割线的斜率 ? 3.函数的平均变化率的求法

f ( x0 ? ? x) ? f ( x0 ) ?x

美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员
把一只健壮的青蛙投入热水锅中,青蛙马上就感到了危险, 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中,然后开始慢慢加热水锅。刚开始,青蛙自然悠哉游哉, 毫无戒备。一段时间以后,锅里水的温度逐渐升高,而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险,最后,一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。

课堂小结: 函 数 的 平 均 变 化 率 函 数 的 瞬 时 变 化 率

?x ? 0
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? ?l ?x ?x

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x

l

布置作业:
课本:P84 练习B 1、2、3 P89 练习A 2、B 1


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