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2015-2016学年高中数学 第2章 平面向量章末归纳总结课件 北师大版必修4


第二章
平面向量

第二章
章末归纳总结

1

知 识 结 构

3

专 题 探 究

2

知 识 梳 理

4

限 时 巩 固

知识结构

知识梳理

本章从位移、速度、力引出了向量的概念,从位移的合 成、速度的倍数引出了向量的加法、减法和数乘,定义了平面 向量的坐标、向量的数量积及运算性质. 1.向量的有关概念 (1)向量 既有大小又有方向的量叫向量,一般用a,b,c,?来表 → 示,或用有向线段的起点和终点的大写字母表示,如: AB .向 → 量的大小,即向量的模(或称长度),记作|AB|.

(2)零向量
长度为零的向量,叫作零向量,其方向是任意的.我们规 定:零向量和任意向量平行. (3)单位向量 模为1个单位的向量.

(4)相等向量
具有方向的线段,叫作有向线段.同向且等长的有向线段 表示同一向量,或相等的向量. 相等向量经过平移后总可以重合,记为a=b.

(5)相反向量 与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量. (6)向量共线 向量共线也叫向量平行,这里的“平行”与两直线 ( 或线

段)平行的意义不同,两向量平行时,两向量可以在同一条直线
上,甚至起点都可以相同.

2.向量的运算 (1)向量加法的三角形法则是两向量首尾相接,和向量是以 第一个向量的起点为起点,以第二个向量的终点为终点;向量 减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起,差向量是连

接两向量的终点,箭头指向被减向量的终点.
向量加法的平行四边形法则,是两向量始点重合,在这一 点上与三角形法则是不同,但本质是相同的.

(2)数乘向量 ①数乘向量的一般定义 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且λa的长|λa| =|λ||a|.
? ?当λ>0时,与a同方向; λa(a≠0)的方向? ? ?当λ<0时,与a反方向.

当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0.λa中的实数λ,叫作向量a 的系数.

②数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义就是把向量 a沿着 a 的方向或 a 的反方 向放大或缩小.

③数乘向量运算满足的运算律
设λ,μ为实数,则 (λ+μ)a=λa+μa;λ(μa)=(λμ)a; λ(a+b)=λa+λb(分配律).

④向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫作向量 的线性运算. (3)共线向量 平行向量基本定理 如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存 在唯一一个实数λ,使a=λb.

3.向量的分解与向量的坐标运算
(1)平面向量基本定理 如果e1 和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面

内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.
我们把不共线的向量 e1 , e2 叫作表示这一平面内所有向量 的一组基底,记为 {e1 , e2} . a1e1 + a2e2 叫作向量 a 关于基底 {e1,e2}的分解式.

(2)①若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a+b=(a1+b1,a2+b2),a-b=(a1-b1,a2-b2), λa=(λa1,λa2). → ②若A(a1,a2),B(b1,b2),则AB=(b1-a1,b2-a2). (3)若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标 成比例,反之也成立.

4.向量的数量积 → → (1)已知两个非零向量a和b,作 OA =a, OB =b,∠AOB= θ(0° ≤θ≤180° )叫作向量a与b的夹角. (2)当θ=0° 时,a与b同向;当θ=180° 时,a与b反向;当θ =90° 时,我们说a与b垂直,记作a⊥B.规定零向量可与任一 向量垂直. (3)已知两向量a和b,它们的夹角为θ,则|b|cosθ叫作向量b 在a方向上的射影.

(4)已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|cosθ 叫作a与b的数量积(或内积),记作a· b,即a· b=|a||b|cosθ. (5)向量数量积的几何意义:a与b的数量积等于a的长度|a| 与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上 射影|a|cosθ的乘积. (6)向量数量积的性质: ①若e是单位向量,则e· a=a· e=|a|cosθ; ②若a⊥b,则a· b=0;反之,若a· b=0,则a⊥B.通常记 作a⊥b?a· b=0;

③|a|= a· a; a· b ④cosθ= (|a||b|≠0); |a||b| ⑤对任意两个向量a,b,有|a· b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时 取等号. (7)向量数量积的运算律: 设向量a,b,c和实数λ,有a· b=b· a; (λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); a· (b+c)=a· b+a· C.

专题研究

向量的有关概念 向量是既有大小又有方向的量,它具有代数和几何的双重

身份,其有关概念,如共线向量、相等向量、方向向量、单位
向量、投影、夹角等都从不同侧面反映向量的本质属性.向量 的有关概念是向量基本运算的基础,所以应对这些相关概念及

表达形式熟练掌握.

[例1] 下列结论正确的是(

)

A.若|a|=|b|,则a,b的长度相等,且方向相同或相反 → → → → → → B.若向量 AB , CD 满足| AB |>| CD |,且 AB 与 CD 同向,则 → → AB>CD C.若a=b,则a∥b D.由于零向量方向不定,故零向量不能与任一向量平行

[答案] C

[规范解答]

|a|=|b|,则a,b的长度相等,但方向之间无

任何关系,A错, → → → → 当| AB |>| CD |时,只是说明 AB , CD 的模的关系,而向量不 能比较大小,B错; 零向量与任一向量平行,D错,故选C.
[规律总结] 理解并掌握向量的基本概念是研究平面向量 的基础,要明确向量是有大小有方向的量,长度可比较大小, 但向量不能比较大小,对零向量、单位向量、平行向量、共面 向量等概念也必须掌握.

下列命题是假命题的是(

)

A.两个向量的和仍是一个向量 B.当向量a与向量b不共线时,a+b的方向与a,b的方向 都不相同,且|a+b|<|a|+|b| C .当向量 a 与向量 b 同向时, a + b , a , b 都同向,并且|a

+b|=|a|+|b|
D.如果向量a=b,那么a与b有相同的起点和终点 [答案] D

[解析]

只要满足大小相等,方向相同,这些向量才是相

等向量.因为向量可以平移,所以向量的相等与向量的起始点 无关,故选D.

向量的线性运算 1 .向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫作

向量的线性运算,主要是运用它们的运算法则、运算律,解决
三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题. 2 .理解向量的有关概念 [如平行向量 ( 共线向量 ) 、相等与

相反向量、平面向量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几
何意义;并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则 等,是求解有关向量线性运算的基础.

→ [例2] 如图,在△ABC中, AQ = → → 1→ QC , AR = 3 AB ,BQ与CR相交于点I, AI的延长线与边BC交于点P. → → → → (1)用AB和AC分别表示BQ和CR; → → → → → (2)如果AI =AB+λBQ=AC+μCR,求实数λ和μ的值; (3)确定点P在边BC上的位置.

[规范解答] 1→ 2AC,

→ 1→ → → → → (1)由AQ=2AC,可得BQ=BA+AQ=-AB+

→ 1→ → → → → 1→ 又AR=3AB,所以CR=CA+AR=-AC+3AB. → → 1→ → → 1→ (2)将BQ=-AB+2AC,CR=-AC+3AB, → → → → → 代入AI =AB+λBQ=AC+μCR,

→ → 1→ → → 1→ 则有AB+λ(-AB+2AC)=AC+μ(-AC+3AB), → 1 → 1 → → 即(1-λ)AB+2λAC=3μAB+(1-μ)AC. 1 ? ?1-λ=3μ, 所以? ?1λ=1-μ, ?2 ? 4 ?λ=5, 解得? ?μ=3. 5 ?

→ → → → (3)设BP=mBC,AP=nAI . → 1→ 2 → 由(2),知AI =5AB+5AC, 1→ 2→ → → → → → → 2n → 所以BP= AP-AB=nAI -AB=n(5AB+ 5 AC)-AB= 5 AC n → → → → +(5-1)AB=mBC=mAC-mAB, n ? ?-m=5-1, 所以? ?m=2n, 5 ? 2 ? ?m=3, 解得? ?n=5. ? 3

BP → 2→ 所以BP=3BC,即PC=2.

[规律总结]

结合图形,用已知向量表示未知向量,借助

于相等向量对应系数相等构造方程组解决问题.

如右图所示,在平行四边形ABCD 中,M是AB的中点,点N在对角线BD 1 上,且BN=3BD. 求证:M,N,C三点共线.

→ → [证明] 设AB=a,AD=b,则 → → → 1→ 1 → 1→ 1 → → MN=MB+BN=2AB+3BD=2AB+3(AD-AB) 1→ 1 → 1 1 11 =6AB+3AD=6a+3b=3(2a+b), → → → 1→ → 1 MC=MB+BC=2AB+AD=2a+b. → 1→ → → ∴MN=3MC,∴向量MN与MC共线. → → 又由于MN与MC有公共点M,故M,N,C三点共线.

向量的数量积运算 向量的数量积运算,是向量作为研究问题和解决问题工具 的根本体现.根据向量数量积的定义及变形形式,可非常简便 地求解有关距离、角度问题,可以判断垂直及三角形形状问

题,还可以证明某些平面几何问题.

→ → [例3] 已知四边形ABCD中, AB =(6,1), BC =(x,y), → CD=(-2,-3). → → (1)若 BC∥DA,求y=f(x)的解析式; → → (2)在(1)的条件下,若 AC ⊥ BD ,求x,y的值以及四边形 ABCD的面积.

[思路分析] 的解析式;

(1)利用向量平行的坐标表示,整理可得函数

→ → (2)根据条件先求出x,y的值,然后求出| AC |、| BD |,再利 1→ → 用S四边形ABCD=2|AC||BD|求面积.

[规范解答] → → ∵BC∥DA,

→ → → → (1)DA=-(AB+BC+CD)=(-x-4,2-y),

∴x(2-y)-(-x-4)y=0,整理得x+2y=0, 1 ∴y=-2x.

→ → → (2)∵AC=AB+BC=(x+6,y+1), → → → BD=BC+CD=(x-2,y-3), → → → → 且AC⊥BD,∴AC· BD=0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0, 由(1)知x=-2y,将其代入上式,整理得 y2-2y-3=0, 解得y1=3,y2=-1.

→ → → 当 y=3 时,x=-6,于是BC=(-6,3),AC=(0,4),BD= → → (-8,0),|AC|=4,|BD|=8, 1→ → 1 ∴S 四边形 ABCD=2|AC||BD|=2×4×8=16. → → → 当 y=-1 时,x=2,于是BC=(2,-1),AC=(8,0),BD= → → (0,-4),|AC|=8,|BD|=4, 1→ → 1 ∴S 四边形 ABCD=2|AC||BD|=2×8×4=16.

[规律总结]

平面向量的数量积是向量的核心内容,向量

的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向量的 夹角、长度是向量的数量特征,利用向量的数量积可以证明两 向量垂直、平行,求两向量的夹角,计算向量的长度等.

如图所示,△ABC 为等腰直角三角形,且直角边 AB=1, → → → → → → 求AB· BC+BC· CA+CA· AB.

→ → → [分析] 由已知得|AB|=|BC|=1,|AC|= 2,并注意各乘积 中两向量的夹角.

→ → → [解析] 由已知得|AB|=|BC|=1,|AC|= 2, → → → → → → 又 AB与 BC 的夹角为 90° , AB 与 CA , BC 与 CA 的夹角均为 135° , → → → → → → ∴AB· BC+BC· CA+CA· AB → → → → =0+|BC||CA|cos135° +|CA||AB|cos135° 2 2 =1× 2×(- 2 )+1× 2×(- 2 )=-2.

[点评] 在数量积a· b=|a||b|cosθ中,θ是a与b的夹角,而两 向量的夹角指的是以一个向量的正方向出发逆时针旋转到另一 个向量的正方向时所转过的[0° ,180° ]范围内的角,因此,本 → → → → 题中BC与CA,CA与AB的夹角都应为135° ,而不是45° .

向量的坐标运算 [ 例 4] 如右 图 所示 , 在 △ AOB 中 , 若

A,B两点坐标分别为 (2,0),(-3,4),点C在
AB上,且OC平分∠BOA,求点C的坐标.

[规范解答]

设点C坐标为(x,y),

由于cos∠AOC=cos∠BOC,且 → → → → OA· OC OB· OC cos∠AOC= ,cos∠BOC= , → → → → |OA|· |OC| |OB|· |OC|

→ → → → OA· OC OB· OC ∴ = , → → |OA| |OB| ?2,0?· ?x,y? ?-3,4?· ?x,y? ∴ = , 2 5 ∴y=2x.① → → → → 又∵ BC 与 AC 共线, BC =(x+3,y-4), AC =(x-2,y), ∴(x+3)· y-(x-2)· (y-4)=0,

∴4x+5y-8=0.② ? 4 ?x=7, 由①,②联立解之得? ?y=8. ? 7
?4 8? ∴C点的坐标为?7,7?. ? ?

[规律总结]

进行向量的线性运算时,对运算律及公式应

熟练掌握,灵活运用.

已知两个向量a=(3,4),b=(2,-1),当a+xb与a-b垂直 时,x的值为________. 23 [答案] 3

[解析] 解法一:∵(a+xb)⊥(a-b), ∴(a+xb)· (a-b)=0, 即a2+xa· b-a· b-xb2=0, ∴|a|2+(x-1)a· b-x|b|2=0. ∵|a|2=32+42=25,|b|2=22+(-1)2=5, a· b=3×2+4×(-1)=2. 23 ∴25+(x-1)×2-5x=0,∴x= 3 .

解法二:∵a=(3,4),b=(2,-1), ∴a+xb=(3,4)+x(2,-1)=(2x+3,4-x), a-b=(3,4)-(2,-1)=(1,5). 又∵(a+xb)⊥(a-b),∴(a+xb)· (a-b)=0, ∴(2x+3)×1+(4-x)×5=0, 23 即2x+3+20-5x=0,∴x= 3 .

向量的综合应用

[例5] 设坐标平面上全部向量集合为A,已知由A到A的映 射f由f(x)=x-2(x· a)a确定,其中x∈A,a=(cosθ,sinθ),θ∈ R. (1)当θ的取值范围变化时,f[f(x)]的结果是否变化?试证明 你的结论. 5 (2)|m|= 5 ,|n|= 2 ,f[f(m+2n)]与f[f(2m-n)]垂直,求 m,n的夹角.

[思路分析] 知结论.

(1)依条件式代入后判定;(2)代入求得m·n可

[规范解答] (1)由于a=(cosθ,sinθ),
则a2=1. f[f(x)]=f[x-2(x·a)a]=x-2(x·a)a-2{[x-2(x·a)a]·a}a =x-2(x·a)a+2(x·a)a=x. 所以f[f(x)]的结果不会随着θ的取值范围的变化而变化.

(2)由(1)知f[f(m+2n)]=m+2n,f[f(2m-n)]=2m-n, 由f[f(m+2n)]与f[f(2m-n)]垂直,得(m+2n)· (2m-n)= 15 5 0,即3m· n+ 2 =0,故m· n=-2. 设m,n的夹角为α, m· n 则cosα=|m||n|= 5 -2 5 5× 2

=-1,

故m,n的夹角α=π.

[规律总结]

对于新情境题,一定要在充分理解题意的基

础上将其转化为我们熟知的情境.对于本题而言,是将一个向 量集合映射为它自身,这与我们熟悉的函数情境是不一致的, 但若能将函数的有关知识迁移到本题中来,问题则转化成向量 之间的数量积及线性运算.

有两个向量 e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点 P 从 P0(-1,2) 开始沿着与向量 e1+e2 相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1 +e2|;另一动点 Q 从 Q0(-2,-1)开始沿着与向量 3e1+2e2 相 同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设 P,Q 在时刻 t → → =0 秒时分别在 P0,Q0 处,则当PQ⊥P0Q0时,t=________秒.

[答案] 2

[解析] 如图所示,向量 e1+e2=(1,1),3e1+2e2=(3,2), 依题意设,t 秒后点 P,Q 的坐标分别 → 为 P(x1,y1),Q(x2,y2),则由P0P=t(e1 → +e2),Q0Q=t(3e1+2e2),即(x1+1,y1 -2)=(t,t),(x2+2,y2+1)=(3t,2t), 从而 t 秒后点 P,Q 的坐标分别为 P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t- → → → → 1),故PQ=(2t-1,t-3),P0Q0=(-1,-3),由PQ⊥P0Q0可 得(-2t+1)+(-3t+9)=0,解得 t=2.

限时巩固

一、选择题
1 .若平面向量 b 与向量 a=(1 ,-2) 的夹角是180°,且 |b| =3,则b等于( A.(-3,6) C.(6,-3) ) B.(3,-6) D.(-6,3)
5 可解出λ=-3.

[答案] A
[解析] 设b=λ(1,-2)(λ<0),由|b|=3 故选A.

2.在△ABC中,有命题: → → → → → → ①AB=BC+AC;②AB+BC+CA=0; → → → → ③(AB+AC)· (AB-AC)=0,则△ABC为等腰三角形; → → ④若AC· AB>0,则△ABC为锐角三角形. 上述命题中,正确的是( A.①② C.②③ ) B.①④ D.②③④

[答案] C

→ → → [解析] ①AB-AC=CB,故①假; → → → → → ②AB+BC+CA=AC+CA=0,为真; → → → → → 2 → 2 ③(AB+AC)· (AB-AC)=(AB) -(AC) =0, 故AB=AC,为真; → → → → ④AC· AB=|AC||AB|cosA>0, 则A必为锐角,但形状不定,为假.

→ 3.设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知( DB + → → → → DC-2DA)· (AB-AC)=0,则△ABC的形状为( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.等边三角形 )

[答案] B

→ → → → → [解析] 由(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0得 → → → → → (DB+DC+2AD)· (AB-AC)=0, → → → → 即(AB+AC)· (AB-AC)=0. →2 →2 ∴AB -AC =0, → → ∴|AB|=|AC|,故选B.

4.(2014·全国大纲文,6)已知a、b为单位向量,其夹角为
60°,则(2a-b)·b=( A.-1 C.1 [答案] B ) B.0 D.2

[解析] 考查向量数量积的定义及性质.
(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2|a||b|cos60°-|b|2=0,正确运用 数量积的定义是解决本题的关键.

→ → 5.平面上O,A,B三点不共线,设 OA =a, OB =b,则 △OAB的面积等于( A. |a|2|b|2-?a· b?2 1 C.2 |a|2|b|2-?a· b?2 ) B. |a|2|b|2+?a· b?2 1 D.2 |a|2|b|2+?a· b?2

[答案] C

→ → [解析] 设OA与OB的夹角为θ, 1 1 1 2 则S△OAB=2|a||b|sinθ=2|a||b| 1-cos θ=2|a||b| 1 =2 |a|2|b|2-?a· b?2.故选C. ?a· b?2 1- 2 2 |a| |b|

二、填空题
6.已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b⊥(a+λb),则实 数λ的值是________. [答案] -3 [解析] a+λb=(2,4)+λ(1,1)=(2+λ,4+λ).

∵b⊥(a+λb),
∴b·(a+λb)=0, 即(1,1)·(2+λ,4+λ)=2+λ+4+λ=6+2λ=0, ∴λ=-3.

7 . 已 知 三 点 A(1,0) , B(0,1) , C(2,5) , 求 cos∠BAC =
________.
[答案] 2 13 13

→ → [解析] 由条件,得AB=(-1,1),AC=(1,5), → → AB· AC 2 13 则cos∠BAC= = 13 . → → |AB||AC|

8.把函数y=x2+4x+7的图像按向量 a经过一次平移以后 得到y=x2的图像,则平移向量a等于________(用坐标表示). [答案] (2,-3) [解析] 由y=(x+2)2+3,得y=x2, 所以a=(2,-3).

三、解答题 9.已知 a=(
?1 3,-1),b=? ?2, ?

3? ? ,且存在实数 k 和 t, 2? ?

2 k + t 使 m=a+(t2-3)b,n=ka+tb,且 m⊥n,试求 t 的最大值. ?1 3? ? [解析] 因为 a=( 3,-1),b=? , ? ?, 2 2 ? ?

所以|a|= 3+1=2,|b|=

1 3 4+4=1.

1 3 a· b= 3×2-1× 2 =0.由 m⊥n,知 m· n=0,

即[a+(t2-3)b]· (ka+tb)=0, 所以 ka2+ta· b+k(t2-3)a· b+t(t2-3)b2=0. 即 4k+t(t2-3)=0, t?3-t2? k+t2 3-t2 1 1 2 所以 k= 4 .所以 t = 4 +t=4(-t +4t+3)=-4 7 (t-2) +4,
2

k+t 2 7 所以当 t=2 时, t 有最大值4.


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