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【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测4 函数及其表示]


课时限时检测(四)
(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 考查知识点及角度 函数、映射的概念 分段函数 定义域值域 求解析式 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 基础 3 1 7、10 2

函数及其表示
题号及难度 中档 5 8 6 4、9、11

稍难

12

>1,x>0, ? ? 1 . (2012· 福建高考 ) 设 f(x)= ?0,x=0, ? ?-1,x<0, (

? ?1,x为有理数, g(x) =? 则 f(g(π)) 的值为 ?0,x为无理数, ?

) A.1 B.0 C.-1 D.π 【解析】 根据题设条件, ∵π 是无理数,∴g(π)=0,∴f(g(π))=f(0)=0. 【答案】 B 2.下列各对函数中,是同一个函数的是( ) 3 A.f(x)= x2,g(x)= x3 ?1, x≥0, ? |x| B.f(x)= ,g(x)=? x ? ?-1, x<0 2n+1 2n+1 2n-1 2n-1 C.f(x)= x ,g(x)=( x) ,n∈N* D.f(x)= x· x+1,g(x)= x?x+1?

3 【解析】 对于选项 A,由于 f(x)= x2=|x|,g(x)= x3=x,故它们的值域及对应法则 都不相同,所以它们不是同一个函数;对于选项 B,由于函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, +∞), 而 g(x)的定义域为 R, 所以它们不是同一个函数; 对于选项 C, 由于当 n∈N*时, 2n± 1 2n+1 2n+1 2n-1 2n-1 为奇数,所以 f(x)= x =x,g(x)=( x) =x,它们的定义域、值域及对应法 则都相同,所以它们是同一个函数;对于选项 D,由于函数 f(x)= x· x+1的定义域为[0, +∞),而 g(x)= x?x+1?的定义域为(-∞,-1]∪[0,+∞),它们的定义域不同,所以它 们不是同一个函数. 【答案】 C ?b ? 3.已知 a,b 为实数,集合 M=?a,1?,N={a,0},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射 ? ? 到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.± 1 【解析】 由集合性质结合已知条件可得 a=1,b=0, ∴a+b=1. 【答案】 C 4.(2012· 安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x

【解析】 将 f(2x)表示出来,看与 2f(x)是否相等. 对于 A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于 B,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x); 对于 C,f(2x)=2x+1≠2f(x); 对于 D,f(2x)=-2x=2f(x), 故只有 C 不满足 f(2x)=2f(x), 所以选 C. 【答案】 C

图 2-1-1 5.(2014· 枣庄模拟)如图 2-1-1,是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之 间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是 ( )

【解析】 由 y 与 x 的关系知,在中间时间段 y 值不变,只有 D 符合题意. 【答案】 D 6.(2014· 广州模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些 函数为“同族函数”,则函数解析式为 y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2 【解析】 由 x +1=1 得 x=0,由 x +1=3 得 x=± 2,所以函数的定义域可以是{0, 2},{0,- 2},{0, 2,- 2},故值域为{1,3}的同族函数共有 3 个. 【答案】 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) lg?4-x? 7.(2014· 珠海一中等六校联考)函数 f(x)= 的定义域为________. x-3
?4-x>0 ? 【解析】 由题意得,? ? ?x-3≠0 解之得 x<4 且 x≠3. 【答案】 {x|x<4 且 x≠3}

1 ? ?log2x,x≥1, 8.(2013· 北京高考)函数 f(x)=? 的值域为________. x ? ?2 ,x<1 1 1 【解析】 当 x≥1 时,log x≤log 1=0,∴当 x≥1 时,f(x)≤0.当 x<1 时,0<2x<21, 2 2 即 0<f(x)<2.因此函数 f(x)的值域为(-∞,2). 【答案】 (-∞,2) 9.已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=3x+2,则 f(x)的函数解析式为________. 【解析】 由题意令 f(x)=ax+b,则 f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=3x+2. 2 ? ?a =3, ? ∴ ?ab+b=2, ?

?a= 3, ?a=- 3, 解得? 或? ?b= 3-1, ?b=- 3-1,
∴f(x)= 3x+ 3-1 或 f(x)=- 3x- 3-1. 【答案】 f(x)= 3x+ 3-1 或 f(x)=- 3x- 3-1 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) ? x2-1?0 10.(10 分)求函数 y= 的定义域. log2x+1?32-4x?

【解】

? ?2x+1>0且2x+1≠1, 要使函数有意义,只需? 32-4 >0, ? ?32-4 ≠1,
x x

x2-1≠0,

? 1 且x≠0, ?x>-2 解得? 5 x< , 2 ? ?x≠log 31,
4

x≠± 1,

1 5 即- <x< ,且 x≠0,1,log431, 2 2 ? ? 1 5 - <x< ,且x≠0,1,log431 ?. ∴函数的定义域为?x? 2 2 ? ? ? 11.(12 分)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上, 函数 y=f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方, 试确定实数 m 的取 值范围. 【解】 (1)由 f(0)=1,可设 f(x)=ax2+bx+1(a≠0), 故 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2ax+a+b, ?2a=2 ? 由题意得? ? ?a+b=0,
? ?a=1 解得? , ?b=-1 ? 故 f(x)=x2-x+1. (2)由题意得,x2-x+1>2x+m, 即 x2-3x+1>m,对 x∈[-1,1]恒成立. 令 g(x)=x2-3x+1,则问题可转化为 g(x)min>m, 又因为 g(x)在[-1,1]上递减,所以 g(x)min=g(1)=-1,故 m<-1. 12.(13 分)如图 2-1-2 所示,在梯形 ABCD 中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动 点 P 从 B 点开始沿着折线 BC,CD,DA 前进至 A,若 P 点运动的路程为 x,△PAB 的面积 为 y.

图 2-1-2 (1)写出 y=f(x)的解析式,指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并写出函数的值域. 【解】 如图所示,

(1)①当 P 在 BC 上运动时,如图①所示, 1 5 3 易知∠B=60° ,y= ×10×(xsin 60° )= x,0≤x≤4. 2 2 ②当 P 点在 CD 上运动时,如图②所示, 1 y= ×10×2 3=10 3,4<x≤10. 2 ③当 P 在 DA 上运动时,如图③所示, 1 y= ×10×(14-x)sin 60° 2 5 3 =- x+35 3,10<x≤14. 2 综上所得,函数的解析式为

? 2 x,0≤x≤4, y=?10 3,4<x≤10, ?-5 2 3x+35 3,10<x≤14.
5 3

(2)函数 y=f(x)的图象如图所示. 由图象可知,函数 y=f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值范围是 0≤y≤10 3. 所以函数 y=f(x)的值域为[0,10 3].


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