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【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-3教学课件:3、1-3-2


第一章 计数原理

(选修2-3)

1.3.2

“杨辉三角”与二项式系 数的性质

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1.能用不完全归纳法写出杨辉三角形;能根据杨辉三
角形(a+b)n(n≤6)的二项式进行展开; 2.能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展开式的 系数,C(r=0,1,2,?,n,n∈N*)以及二项式的通项Tr+1= C·an-r·br;
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3.能正确区分二项式系数和某一项的系数;能应用定
理对任意给定的一个二项式进行展开,并求出它特定的项 或系数. 4.掌握二项式系数的性质, 通过介绍“杨辉三角”, 对学生进行爱国主义教育.

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本节重点:二项式系数的性质.
本节难点:二项式系数性质的应用.
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1.在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两个
二项式系数 相等 ,
- - -

n 1 n 1 2 n 2 r n r 即 C0 = C , C = C , C = C ,?, C = C n n n n n n n n .

事实上,这一性质可直接由公式 Cm n =Cn 得到.

n -m

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2.如果二项式的幂指数是偶数, 中间一项
二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数, 中间两项 的二项式系数相等并且最大. 2n ,即 3.二项式系数的和为



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4. 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的
2 4 和,即 C0 + C + C n n n+?=

.

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[例1] (1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等, 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

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[分析]

由条件 T6=T7 可得出 n, 结合 n 的奇偶性可确定

二项式系数最大的项,一般地,当各项系数都为正值时,由
? ?T′k>T′k-1 ? ? ?T′k>T′k+1

可得出系数最大的项 Tk.

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[解析]

5 6 6 T6=C5 n(2x) ,T7=Cn(2x) ,依题意有

5 6 6 C5 2 = C n n2 ?n=8.

∴(1 + 2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5 = C4 (2x)4=1120x4. 8· 设第 r+1 项系数最大,则有
-1 r r r-1 ? 2 ≥Cr · 2 ?C8· 8 ? r r r+1 r+1 ? C · 2 ≥ C 2 ? 8 8 ·

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?5≤r≤6.

∵r∈Z,∴r=5,或 r=6. ∴系数最大的项为 T6=1792x5,T7=1792x6.

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[点评 ]

(1) 求二项式系数最大的项,根据二项式系数

的性质,n为奇数时中间两项的二项式系数最大,n为偶数 时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不 同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用解不
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等式的方法求得.

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[例2] 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7. 求:(1)a1+a2+?+a7;

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(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|.

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[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①令x=1可求a0+a1+a2+?+a7; ②令x=-1可求a0-a1+a2-?-a7; ③令x=0可求a0. 解答本题可利用赋值法,求出常见的几种项的系数和,
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再适当变形求解.

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[解析] 令x=1,则
a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1① 令x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37② (1)∵a0=C=1,
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∴a1+a2+a3+?+a7=-2.

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(2)由(①-②)÷ 2,得 -1-37 a1+a3+a5+a7 2 =-1 094. (3)由(①+②)÷ 2,得 -1+37 a0+a2+a4+a6 2 =1 093.

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(4)方法一:(1-2x)7的展开式中,a0,a2 ,a4,a6大于
零,而a1,a3,a5,a7不于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7) =1 093+1 094=2 187.
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方法二:∵|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|是(1+2x)7展开式中
各项的系数和. ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=37=2 187.

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[ 点评]

赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用

方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个 值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项,一般地,对 于多项式 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn,各项系数和为 f(1), 1 1 奇次项系数和为 2[f(1)-f(-1)] ,偶次项系数和为 2[f(1)+f(- 1)],a0=f(0).
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[例3]

如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所
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示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,?,记这个 数列的前n项和为S(n),则S(16)等于

(

)

A.144

B.146

C.164

D.461

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(选修2-3)

[答案] C
[点拨] 由题目可获取以下主要信息: 该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和,解答本 题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置,把各项还原为 各二项展开式的二项式系数,然后利用组合数的性质求
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和.

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[解析]

2 1 由图知,数列中的首项是 C2 ,第 2 项是 C2 ,第

1 2 1 3 项是 C2 3,第 4 项是 C3,?,第 15 项是 C9,第 16 项是 C9, 1 2 1 2 1 2 ∴S(16)=C2 +C2 +C3 +C3 +?+C9 +C9 1 1 2 2 2 =(C1 + C + ? + C ) + (C + C + ? + C 2 3 9 2 3 9) 1 1 1 2 2 2 2 =(C2 2+C2+C3+?+C9-C2)+(C2+C3+?+C9) 3 =C 2 + C 10 10-1=164.
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[点评] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路是:通
过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的 相互联系.然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达 出来,使问题得解,注意观察方法:横看、竖看、斜看、 连续看、隔行看、从多角度观察.
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[例 4]

3 已知( x+x)2n 的展开式的系数和比(3x-1)n 的展
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1 2n 开式的系数和大 992.求(2x- x) 的展开式中, (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.

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(选修2-3)

[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①令x=1可得两个二项展开式的系数和; ②两个小题分别涉及二项式系数和项的系数. 解答本题 (1) 先确定 n 的值,再利用二项式系数的性质 求解,
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(2)利用通项公式转化为不等式组求出r的取值范围.

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[解析]

由题意 22n-2n=992,解得 n=5.

1 10 (1)(2x- x ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, 即 15 5 5 T6=T5+1=C10· (2x) · (- ) =-8 x 064.

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(2)设第 r+1 项的系数的绝对值最大, 则 1r r 10-r Tr+1=C10· (2x) · (- ) x
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r =(-1)r· C10 · 210-r· x10-2r, r 10-r r-1 10-r+1 ? C · 2 ≥ C 2 ? 10 10 · ∴? r 10-r r+1 10-r-1 ? C · 2 ≥ C 2 ? 10 10 · r r-1 ? C ≥ 2C ? 10 10 ? ∴ r r+1 ? 2C ≥ C ? 10 10





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? ?11-r≥2r 即? ? ?2(r+1)≥10-r


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8 11 解得3≤r≤ 3 . ∵0≤r≤10,且 r∈N,∴r=3. 故系数的绝对值最大的项是第 4 项.

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[点评] 求二项式系数的最大值.
(1)注意“展开式系数最大”“二项式系数最大”以及 “最大项”的区别. (2)展开式系数是离散型变量,求它们的最大值,在系 数均为正的前提下,只需比较相邻两个的大小,根据通项
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公式正确地列出不等式(组)即可.
即设第 r+1 项的系数最大,则
? ?Tr+1的系数≥Tr的系数 ? ? ?Tr+1的系数≥Tr+2的系数

.

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一、选择题
?a 1.已知? ?x- ?

9 x? ?9 3 的展开式中 x 的系数是4,则常数 a 的 2? ?

值是 ( A.2 C.4 B.-2 D.-4 )

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[答案] C

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2.在(x+2)2011 的展开式中,以下结论正确的是 ( A.二项式系数的和是 22011 B.第 r 项的二项式系数为 Cr 2011 D. 不含常数项 D.共有 2011 项

)

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[答案] A r-1 [解析] 第 r 项的二项式系数为 C2011 ,B 错;有常数项,
故 C 错,展开式共 2012 项,故 D 错,故选 A.
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3 . (1+ x)2n + 1 的展开式,二项式系数最大的项所在的
项数是 ( A.n,n+1 C.n+1,n+2 B.n-1,n D.n+2,n+3 )
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[答案] C
[解析] 展开式共2n+2项中间有两项的二项式的系数 相等且最大,两项为第n+1,n+2项,故选C.

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二、填空题
4 .在二项式 (2x - 3y)7 的展开式中,第三项的系数是 ________;第三项的二项式系数是________. [答案] 6048 21 [解析] 二项式系数与项的系数是两个不同的概念.
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? 1 ?n 3 5. ?x -x2? (n∈N*) 的展开式中的所有二项式系数之和为 ? ?

128,则展开式中二项式系数最大的项是________.

[答案] -35x6和35x
[解析]
0 1 2 n Cn +Cn +Cn +?+Cn =2n=128,所以 n=7.二项

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式系数最大的项是 (x )
3 3

1 3 3 3 4 ? T4 = C 7 (x ) - 2? = - 35x6
?

?

? ?

x

4 和 T5 = C 7

? 1 ?4 ?- 2? =35x. ? x ?

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