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江苏如东高级中学2011届高三考前热身练习数学试卷word版


江苏如东高级中学 2011 届高三考前热身练习数学试卷
一、 填空题: 本题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸指 定位置上. 高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u 1.已知集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ▲ .

) 2

. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (?2) ? f (0) ? f (3) ? 2 , f 2 设 且 则 (

?f 3 ) (

?
▲ .

▲ ”.



3. “直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 平行”的充要条件是“ a ? 4.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则其共轭复数 z = ▲

5. 某产品在连续 7 天中,不合格品的数据分别为 4,2,1,0,0,0,0,则这组数据的标 准差= ▲ .高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

x2 ? y2 ? 1 6.顶点在原点且以双曲线 3 的右准线为准线的抛物线方程是





y ? sin(2 x ? ) y ? cos(2x ? ) 3 的图像沿坐标轴右移,使图像的对称轴与函数 3 的 7.将函数
对称轴重合,则平移的最小单位是 ▲ . 8.设 a , b 为不重合的两条直线, ? , ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 a ? ? , b ? ? , a, b 是异面直线,那么 b // ? ; (2)若 a ∥ ? 且 b ∥ ? ,则 a ∥ b ; (3)若 a ? ? , b // ? , a, b 共面,那么 a // b ; (4)若 a ? ? 且 a ? ? ,则 ? ∥ ? . 上面命题中,所有真命题的序号是 9.已知有序数对 ( a, b) 满足 ▲ , . ,关于 x 的一元二次方 开始 输入 n n≤5 Y Sn ← - n2 + 9n 输出 Sn 结束 (第 10 题图) 则 tan( x ? 2 y ) ? ▲ . N

?

?

a??0,3?

b???2,2?


2 2 程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率 ▲

{a } S ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | (n ?N? ) .某 10.已知 n 是等差数列,设 n
学生设计了一个求 n 的表达式对

Sn 的部分算法流程图(如图) ,图中空白处理框中是用


Sn 赋值,则空白处理框中应填入: Sn ← ▲
? ?

x, y ?[? , ] 3 3 4 4 , x ? sin x ? 2a ? 0, 4 y ? sin y cos y ? a ? 0 , 11.已知

12.函数 f ( x) 满足

ln x ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)


,且 x1 , x2 均大于 e , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,

则 f ( x1 x2 ) 的最小值为

.高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

0 AO ? ?1 AB ? ?2 AC ,则 13. 已知 O 为 ?ABC 外心,AB=2,AC=1, ?BAC ? 120 ,若

??? ?

??? ?

??? ?

?1 ? ?2 ?





14.在平面直角坐标系中,定义
2 2

d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2

为两点

P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之

间的“折线距离”. 则圆 x ? y ? 1上一点与直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离” 的最小值是____▲___.高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知:正方体 (Ⅰ) 求证:

ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点.

B1D1 ? AE ;(Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ;

(Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

16. (本小题满分 14 分)

? ? ? ? ? 1-cos ? ,sin? ), c ? (1,0) , ? ? (0, ? ), ? ? (? , 2? ) ,向量 a 与 c 已知 a =(1+cos ? ,sin ? ), b =(

? ? ? ?1 ,向量 b 与 c 夹角为 ?2 ,且 ?1 - ?2 = 6 ,若 ?ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、 夹角为
b、c,且角 A= ? ? ? .高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u 求(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的外接圆半径为 4 3 ,试求 b+c 取值范围.

17.(本题满分 15 分) 国家加大水利工程建设, 某地区要修建一条灌溉水渠, 其横断面为等腰梯形 (如图) 底角 A ,
0 为 60 ,考虑到坚固性及用料原因,要求其横断面的面积为 6 3 平方米,记水渠深为 x 米,

用料部分的周长(即渠底 BC 及两腰长的和)为 y 米, ⑴.求

y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域;

⑵.当水渠的腰长 x 为多少米时,水泥用料最省(即断面的用料部分 的周长最小)?求此时用料周长的值

?3, 3 ? ? ⑶.如果水渠的深限制在 ?
小值是多少米? 高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

范围内时, 横断面用料部分周长的最

18.(本小题满分 15 分)

如图,在直角坐标系中,中心在原点,焦点在 X 轴上的椭圆 G 的离心率为
2 2 2 A(-4,0) ,圆 O? : ( x ? 2) ? y ? r 是椭圆 G 的内接 ?ABC 的内切圆.

e?

15 4 ,左顶点

(Ⅰ) 求椭圆 G 的方程; (Ⅱ) 求圆 O? 的半径 r; (Ⅲ)过 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,判断直线 EF 与圆 O? 的位置关系,并 证明. 高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

y

M A

B

F

0

o?

x
C

E
19.(本小题满分 16 分) 数列 ?

bn ?

定义如下:对于正整数 m , bm 是使不等式 an ? m 成立中的所有 n 中的最小值

a (Ⅰ)若正项数列 ? n ? 前 n 和为 Sn ,
(Ⅱ)若数列

Sn

1 2 是 4 与 (an ? 1) 的等比中项,求 an 及 bn 通项;
?0 , 是 否 存 在 p 和 q , 使 得 p )

?an ?

n ? 通 项 为 an ? p n? ( q ? ,N

bm ? 3 m ? 2 (m ? ?N,如果存在,求出 p 和 q 的取值范围,如果不存在,请说明理由. )
高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u ,

20.(本小题满分 16 分)

f ( x) ? ln x ? ax ?
已知函数

1? a ?1 ( a ? R) . x

(Ⅰ) 当 a ? 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性;

(Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当
2

a?

1 4 时,高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

( i )若对任意

x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 1 1 ? x1 x2

( ii ) 对于任意 x1 , x2 ? (1,2] 都有

,求 ? 的取值范围.

附加题部分 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1 几何证明选讲 如图,⊙ 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙ 上一点,AE=AC, DE O O 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC.高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u E A · O C B.选修 4-2 矩阵与变换 (第 21-A 题) F B D P

?1? ?a b ? ?1 ? ? ? A?? ? ?1? ,属于特征值-1 的 ?c d ? ,若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 已知矩阵

?2 ? ? ? ? ?1? ,求矩阵 A .高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u 一个特征向量为

? 1?

C.选修 4-4 坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1:
? x ? 4t 2 , ? ? ? cos(? ? ) ? 2 2 4 与曲线 C2: ? y ? 4t (t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB.

D.选修 4-5 不等式选讲

x + y + z ≥1 + 1 + 1 yz zx xy x y z . 已知 x,y,z 均为正数.求证:

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u 22.如图,在正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是棱 BC 的中点, Q 在棱 CD 上.

14 DQ ? ? DC ,若二面角 P ? C1Q ? C 的余弦值为 7 ,求实数 ? 的值. 且
A1 D1

B1

C1

A Q B P C

D

23.已知

( x ?1)n ? a0 ? a1( x ?1) ? a2 ( x ?1) ? a3( x ?1) 3 ?... ? an( x ?1) n, (其中 n ? N * )
Sn ? ? ai
i ?1 n

(1)求

a0 及



(2) 试比较

Sn 与 (n ? 2)2n ? 2n2 的大小,并说明理由.高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

参考答案 一、填空题: 1、

??1, ???

2、?2

3、?2

4、i

5、

2

6、 y ? ?6x
2

? 7、 4
13 13、 6
二、解答题:

8、③④

2 9、 3

10、 n ? 9n ? 40
2

11、0

5 12、 7

14、

5 2

15.解: (Ⅰ)证明:连结 BD ,则 BD // ¥u

B1D1 , 高考资源网 w。w-w*k&s%5

∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD .∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD . 又 AC ? CE ? C ,∴ BD ? 面 ACE . --------------------------------3 分

B D ? AE .--------------------5 分 ∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE ,∴ 1 1
(Ⅱ)证明:作 ∵ E、F 是 ∴四边形

BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . B1F ,

CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1 FCE 是平行四边形,∴ CF// B1E . CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC ,又 BC // AD ,∴ EF // AD .

∵ E, F 是

B E ? ED ? E , ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED ,∵ AF ? CF ? C , 1
∴平面 ACF // 面 分

B1DE . 又 AC ? 平面 ACF , AC // 面 B1DE . ∴ ---------------------------10

(Ⅲ)

S?ABD ?

1 AB ? AD ? 2 2 .

1 1 2 VA? BDE ? VE ? ABD ? S?ABD ? CE ? S?ABD ? CE ? 3 3 3 ---------------------------------------------------14



16. (Ⅰ)据题设,并注意到 ?、? 的范围, 分

? ? a ?b ? cos ?1 ? ? ? ? cos 2 a b

---------------------------------2

cos ? 2 ?

1 ? cos ? (1 ? cos ? ) ? sin ?
2 2

? sin

?
2

? cos(

?

? ) 2 2

?

,-------------------------------------------4

分高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u 由于

?1、 2 为向量夹角,故 ?1、 2 ??0,? ? , ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? (0, ), ? ? (0, ), ? ?1 , ? ? ? 2 A ? ? ?? ? 2 2 2 2 2 故有 2 2 2 3 .-----------7 ,得

而 分

a
(Ⅱ) 由正弦定理 (2) 分 得

sin

?
3

?

b c ? ?8 3 sin B sin C
, --------------------------------------------------10

b ? c ? 8 3(sin B ? sin C ) ? 8 3[sin B ? sin( ? B)] ? 8 3 sin( B ? ) 3 3 -----------------------1
2分

?

?

B?
注意到 分

?

? 2? ?( , ) 3 3 3 , 从而得 b ? c ? (12,8 3]. -----------------------------------------------------14
x 1 S ? (A ? C x ) ? 6 3 D B 3, 2 及

A ?C ? 2 D B
17.解: 由 (1) ¥u

, 高考资源网 w。 w-w*k&s%5

?x ? 0 ? ? 6 3 x 6 3 x ?0 BC ? ? ? BC ? x ? 3 x 3 ,又 ? 得 ,得 0 ? x ? 3 2 ,------------------------------4


y ? BC ? 2 AB ?
所以 分

6 3 ? 3x x ,定义域为 (0,3 2)

-------------------------------6

y?
(2)

6 3 6 3 ? 3x ? 2 ? 3x ? 6 2 x ? 6 ? ? 0,12 ? x x ,当且仅当,即 时等号成立,
------------------------------10

所以用料周长最少为 6 2 米,此时腰长为 6 米. 分

6 y ? 3( x ? ) x ? ?3, 2 3 ? ? ? , x 递 增 , 所 以 x ? 3 时 , ym i ? 5 3 米 n ( 3 )
-------------------------------15 分

18. 解 :

(Ⅰ)

e?

x2 15 c ? y2 ? 1 ? 4 a , a ? 4 得 c ? 15, b ? 1 , 椭 圆 G 方 程 为 16

-----------------------5 分 (Ⅱ)设 B

(2 ? r, y0) ,过圆心 o ? 作 O?D ? AB 于 D , BC 交长轴于 H
r




O?D HB ? AD AH

36 ? r

2

?

y0 6?r

y0 ?
, 即

r 6?r 6?r

(1)---------------------------7 分

(2 ? r, y0) 在 椭 圆 上 , 而 点 B

y0 2 ? 1 ?

(2 ? r )2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) ? ?? 16 16 16

(2)-------------9 分高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

由 (1) 、

5 8 (2) 式 得 1 r ? r ?
2

?1 2, 解0 得

r?

2 6 r?? 3 或 5 ( 舍 去 )

-------------------------------------------11 分 (2) 直线 EF 与圆 O? 的相切

设过点 M(0,1) 与圆

( x ? 2) 2 ? y 2 ?

4 9 相切的直线方程为: y ? 1 ? kx

(3)

2 2k ? 1 ? 3 1 ? k 2 ,即 32k 2 ? 36k ? 5 ? 0 则
k1 ? ?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 16 16

(4)

解得

x2 ? y2 ? 1 2 2 将 (3) 代 入 16 得 (16k ? 1) x ? 32kx ? 0 , 则 异 于 零 的 解 为
x?? 32k 16k 2 ? 1 ----------------------13 分



F ( x1 , k1x1 ? 1) , E( x2 , k2 x2 ? 1) ,则
kEF ?

x1 ? ?

32k1 32k2 , x2 ? ? 2 16k1 ? 1 16k2 2 ? 1

则直线 FE 的斜率为:

k2 x2 ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4 高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u
y?


y?
于是直线 FE 的方程为:

32k12 32k1 3 ?1 ? ( x ? ) 2 16k1 ? 1 4 16k12 ? 1

3 7 x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 d? ? 3 9 1? ) 16 则 圆 心 ( 2 , 0 到 直 线 FE 的 距 离
---------------------------------------------15 分

故结论成立.

19.解:(Ⅰ)由于

Sn

1 1 ? S ? (a ? 1)2 (an ? 1)2 的等比中项, n 4 n 是4与

1 S1 ? (a1 ? 1)2 ,? a1 ? 1 4 当 n ? 1 时, ,

------------------------------2 分

1 1 an ? Sn ? Sn?1 ? (an ? 1) ? (an?1 ? 1) 4 4 当 n ? 2 时, ,由 an ? 0 ,化简有 an ? an?1 ? 2
所以 ? 分

an ?

是等差数列, an ? 2n ? 1 ,检验当 n ? 1 时也适合,即 an ? 2n ? 1 ---------------------5

对于正整数,由

an ? m ,得

n?

m ?1 2 .根据 bm 的定义可知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

* * m ? 2k ? 1 时, bm ? k ? k ? N ? ;当 m ? 2k 时, bm ? k ? 1? k ? N ? . 当

? n ?1 ? 2 , n是奇数 ? ? bn ? ? ? n ? 1, n是偶数 ?2 ?
--------------------------------------------9 分 (Ⅱ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 ∵

-

n?

m?q p .

bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ?2 p ? q ? ?3 p ?1? m ? ? p ? q p ,即 对任意的正整数 m 都成立. m?? p?q 2p ? q m?? 3 p ? 1 (或 3 p ?1 ) ,高考资源网 w。
-------------------------------13 分

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 w-w*k&s%5¥u 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即

p?

1 2 1 2 1 ? ?q ?0? ? ?q ? ?q?? 3 时,得 3 3 3. ,解得 3 p? 1 3,

b ? 3m ? 2(m ? N ? ) ; p 和 q 的 取 值 范 围 分 别 是 ∴ 存在 p 和 q,使得 m
? 2 1 ?q?? 3 3,

----------------------------16 分

? 0,+?? , 20. (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 解: 因为
所以当 a ? 0 时,

f ?( x) ?

1 1 ? a ?ax 2 ? x ? a ? 1 ?a? 2 ? x x x2 ,

f ?( x) ?

x ?1 x ?1 f ?( x ) ? 2 ? 0 2 x ,令 x 得 x ? 1 ,所以此时函数 f ( x ) 在
函 数 , 在

?1,+??
a?








1? ? 0,











-----------------------------------------2 分

1 ? x 2 ? 2 x ? ?1 ?( x ? 1) 2 f ?( x) ? ? ?0 ? 0,+?? 是减 2 时, 2 x2 2 x2 ,所以此时函数 f ( x ) 在

函数;

0?a?


1 1 ?ax2 ? x ? a? 1 1 ? x ? ?1 f ?( x ) ? ?0 2 2 时,令 a x ,解得 ,此时函数 f ( x ) 在

? 1 ? ? 1, ? 1? ? a ?

( 0 和,
是 增 函 数 , 在

1 1 ) ? (? ? a 上

1 ,
是 减

)
函 数 ;

--------------------------------------------------------------4 分高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

1 1 ?a x2 ? x? a 1 ? ? a ?1 ?1 ? x ? 1 f ?( x ) ? ? 0 2 x 当 2 ,令 ,解得 a , 此 时 函 数 f ( x) 在

?1 ? ? ? 1,1 ? ?a ?













1 ( 0 ?, 和 a

1 ?) ? ( 1 ,
上 是 减

)
函 数 ;

--------------------------------------------------------------6 分

1 ?ax 2 ? x ? a ? 1 ?1 ? 0 f ?( x) ? ?0 x2 当 a ?1, 由于 a ,令 , , 解得 0 ? x ? 1 , 此时函数 f ( x )


? 0,1?













(1, ??)











.

--------------------------------------------------------------8 分

(Ⅱ) ( i )当 任意

a?

1 4 时, f(x) 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对

x1 ? (0, 2) ,
1 1 ? ? g ( x2 ) x2 ??1,2? f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所 以 2 2 ,又已知存在 ,使 ,



f(x1 ) ? f(1)=-

x2 ??1,2?



即 存 在

x ??1 ,? 2

g ( x? )

2

, 使

1 x? 2 b? x 4 ? ? 2b ? x 2 , 即

2

? x

9 2 , 即

9 1 7 1 1 , ] 2b ? x ? 2 ? [ 4 2 , x
2b ?
所以

17 17 17 b? [ , ?? ) 4 ,解得 8 ,即实数 b 取值范围是 8 . ----------------------------12 分 y? 1 x 在 (1, 2] 是减函数,

( ii )不妨设 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,由函数 f ( x ) 在 (1, 2] 上是增函数,函数

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1 1 ? x1 x2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? (
等 价 于

1 1 ? ) x1 x2







f ( x2 ) ? ?

1 1 ? f ( x1 ) ? ? x2 x1



h( x) ? f ( x) ?

?

1 3 ? ? ln x ? x ? ? x 4 4x x 是减函数,高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u

3 1 1 1 ? ? ? x ? x2 ? ? ( x ? 2)2 ? 1 ?? ?( x) ? 0 (1, 2] 4 4 4 .-------------16 所以 h 在 上恒成立, 4 即 , 解得
分 附加题部分 A.选修 4-1 几何证明选讲

证明:∵AE=AC,∠CDE=∠AOC, ---------------------------------------------------3 分 又∠CDE=∠P+∠PDF,∠AOC=∠P+∠OCP, 从而∠PDF=∠OCP. ---------------------------------------------------8 分 在△PDF 与△POC 中, ∠P=∠P,∠PDF=∠OCP, 故 △ PDF ∽ △ POC. ---------------------------------------------------10 分 B.选修 4-2 矩阵与变换

解:由矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为

?1 ? ? ? 1
?? ?a ? b ? 3 ? ?c ? d ? 3 ?1? ?1? ? ? ? 1?

?1?





?a b ? ?c d ? ? ?

?1? ?1? ? ?



3







----------------------------------------------------4 分

?2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1? ,可得 ?c d ? ? ?1? =(-1) ? ?1? , A 属于特征值 2 的一个特征向量为 由矩阵
?a ? b ? ?1 ? ?c ? d ? 1
?a ? 1 ?b ? 2 ? ? ?c ? 2 ?d ? 1 ?

? a b ? ? 1?

? 1?

即 ----------------------------------------------------6 分

解 得 ---------------------------------------------------10 分 C.选修 4-4 坐标系与参数方程







?1 2 ? A?? ? ? 2 1?

2 解:曲线 C1 的直角坐标方程 x ? y ? 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y ? 4 x ,…4 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x ,
2 得 y ? 4 y ? 16 ? 0 ? y1 y2 ? ?16 , y1 ? y 2 ? 4 . ---------------------------------6 分

? x1 x2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? 4)( y 2 ? 4) ? y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 .----------------8 分
??? ??? ? ? ∴ OA ? OB ? 0 ,? OA ? OB .

-------------------------------------------------10 分

D.选修 4-5 不等式选讲高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u
x y 1 x y 2 ? ? ( ? )≥ yz zx z y x z

证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以

.-------------------------4 分

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ zx xy x xy yz y, 同理可得

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. --------------------------------------7 分 将 上 述 三 个 不 等 式 两 边 分 别 相 加 , 并 除 以 2 , 得
x ? y z y z1 1 1 ? ≥ ? ? z x x y . x y z --------------------------- 10 分

??? ???? ???? ? AB, AD, AA1 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz , 22.解:以
设正方体的棱长为 4,则各点的坐标分别为 A(0, 0, 0) ,

z
A1 D1

B(4, 0, 0) , C (4, 4,0) , D(0, 4,0) ; A1 (0,0, 4) ,
B1

C1

B1 (4,0, 4) , C1 (4, 4, 4) , D1 (0, 4, 4) , P(4, 2,0) ,
Q(4? , 4, 0)
----------------------------------------2 分
B A Q P C D

y

???? ? ? C1 PQ 法向量为 n ? (1, b, c) ,而 PC1 ? (0, 2, 4) , 设平面
??? ? PQ ? (4? ? 4, 2,0) ,

x

? 2b ? 4c ? 0 ? ? (4? ? 4)? 2 ? 0,可得一个法向量 n ? (a, b, c) = (1, ?2(? ? 1),(? ? 1)) ,------------6 b 所以 ?


? C1 PQ 的一个法向量为 u ? (0,1,0) , 设面
? ? cos ? n, u ? ? ?2(? ? 1) 1 ? 4(? ? 1) ? (? ? 1)
2 2

?



14 7



-----------------------------------8 分

(? ? 1) 2 ?
即:

2 1 ?? Q 在棱 CD 上,所以 3 .--------------------------------10 分 9 ,又因为点

23.解: (1)令 x ? 1 ,则

a0 ? 2n ,令 x ? 2 ,



?a
i ?0

n

i

? 3n
,∴

Sn ? 3n ? 2n ;

----------------------3 分

(2)要比较

Sn 与 (n ? 2)2n ? 2n2 的大小,即比较: 3n 与 (n ? 1)2n ? 2n2 的大小,
n n 2 n n 2

当 n ? 1 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;当 n ? 2,3 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ; 当 n ? 4,5 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;
n n 2

-----------------------------------5 分

猜想:当 n ? 4 时 n ? 4 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ,下面用数学归纳法证明:
n n 2

由上述过程可知, n ? 4 n ? 4 时结论成立,高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u
n n 2 假设当 n ? k (k ? 4) n ? k ,(k ? 4) 时结论成立,即 3 ? (n ?1)2 ? 2n ,

两边同乘以 3 得: 3 而

k ?1

? 3[( k ?1)2 k ? 2 k 2] ? k2 k ?1 ? 2( k ?1) 2 ?[( k ?3)2 k ?4 k 2 ?4 k ?2]

(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k ? 4(k 2 ? k ? 2) ? 6 ? (k ? 2)2k ? 4(k ? 2)(k ? 1) ? 6 ? 0
k ?1

∴3

? [(k ? 1) ?1]2k ?1 ? 2(k ? 1)2

即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n 成立.
n n 2

综上得,当 n ? 1 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u
n n 2

当 n ? 2,3 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;当 n ? 4, n ? N 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n
n n 2 n n

?

2

------10 分


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