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北航概率统计A、B2011-2012(1)试卷B卷2012-01-10


北京航空航天大学
BEIHANG UNIVERSITY
2011-2012 学年 第一学期期末

考试统一用答题册
考试课程 概率统计 A (A09B204A) 概率统计 B(A09B204B)

B
(试卷共 6 页,五道题)

班 级_____________ 姓 名_____

_________ 考场教室_________
题号 一 二 三

学 号 _____________ 成 绩 _________ 任课教师_________
四[四] 五[五] 总分

分数
阅卷人 校对人

2012 年元月 10 日(10:30-12:30)

一、单项选择题(每小题 4 分,满分 36 分)
1、设随机变量 ( X , Y ) ~ N (?3,1;2,1;0), 设 Z ? X ? 2Y ? 7 , 则 Z ~ (

) 。

(A) N (0,?3) ; (B) N (0,5) ;

(C) N (0,46) ; (D) N (0,54) 。

2、设 X 1 , X 2 , X 3 为总体的一个样本,下列几个总体均值 ? 的无偏估计量中, 最佳的是( ) 。 3 1 ? 1 (A) ? ? X 1 ? X 2 ? X 3 ; 5 10 2 3 1 ? 1 (C) ? ? X 1 ? X 2 ? X 3 ; 3 4 12

1 1 ? 1 (B) ? ? X 1 ? X 2 ? X 3 ; 3 2 6 1 5 ? 1 (D) ? ? X 1 ? X 2 ? X 3 。 3 4 12

3、设 x1 , x2 ,?, xn 为来自总体 X 的样本, x 为样本均值,总体 X 的均值为 ? ,

? 的置信度为 0.95,置信区间的上、下限分别为 b( x1 , x2 ,?, xn ) 与

a( x1 , x2 ,?, xn ) , 则该区间的意义是(

)。

(A) P{a( x1 , x2 ,?, xn ) ? ? ? b( x1 , x2 ,?, xn )} ? 0.95 ; (B) P{a( x1, x2 ,?, xn ) ? x ? b( x1, x2 ,?, xn )} ? 0.95 ; (C) P{a( x1, x2 ,?, xn ) ? ? ? b( x1, x2 ,?, xn )} ? 0.05 ; (D) P{a( x1, x2 ,?, xn ) ? x ? ? ? b( x1, x2 ,?, xn )} ? 0.05 4、设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 。

f ( x, y) ,且函数 f ( x, y) 连续,

Z ? X 2 ? Y 2 的概率密度为 f Z ( z) ,记 Cr : x2 ? y 2 ? r 2 ,
则有当 (A)

z ? 0 时, f Z ( z) ? (
z 0 Cr

)。 (B)

? ?
?
C
z

f ( x, y)dsdr ,

1 2 z

?

C

f ( x, y)ds ,
z

(C)

f ( x, y)ds ,

(D)

?

Cz

f ( x, y )ds .

B6-1

5、设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) ,分布函数为 F ( x) , 则一定有( )成立。 (B) F ( x) 是连续函数 ; (D) 对任意实数 x ,成立 F ?( x) ? f ( x) 。

(A) X 是连续函数; (C) f ( x) 是连续函数;

6、从 0 ~ 9 这十个数码中任意取出 4 个,则所取的 4 个数码能排成四位偶数的 概率为( (A)
41 ; 42

) 。 (B)
41 ; 90

(C)

4 ; 9

(D)

1 2



7、设随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x, y) ,对任意实数 z ,

P{max{X , Y } ? z} ? (
(A) P{ X

)。
F ( z, z ) ,

? z} ? P{Y ? z} ? P{ X ? z, Y ? z} ,(B)

(C) 1 ? F ( z, z ) ,
8、设 X 与Y 相互独立,且 EX
2

(D) P{ X ? z, Y ? z} 。

, EY 2 均存在,则有
(B)

(A) D( XY ) ? DX ? DY ;

D( XY ) ? EX 2 ? EY 2 ? ( EX )2 ( EY )2

(C) D( X ? Y ? c) ? DX ? DY ,(D) D( XY ) ? Cov( X , Y ) 。 9、设总体 X ~ N (0, ? 2 ) , X 1 , X 2 ,?, X 15 为总体 X 的一个样本, 则下列各式中正确的是( (A) )。 (B)

? X k ~ N (0,15) ,
k ?1

15

?X
k ?1

15

2 k

~ ? 2 (15) ,
2 k

2? Xk
(C)
k ?1

5

?X
~ t (10) ,
(D)

5

?X
j ?6

15

2 j

?X
j ?6

k ?1 15

~ F (5,10)
2 j



B6-2

二、填空题(每小题 4 分,满分 36 分)
?0, x ? ?1 ?1 ? 1、已知随机变量 X 的分布函数 F ( x) ? ? (1 ? x 3 ),?1 ? x ? 1 , ?2 ?1, x ? 1 ?
则 Y ? 2 X 2 ? 1 的分布函数 FY ( y) ? 2、 设随机变量 则 DX ? 。

X 的分布律为 P{X ? k} ? (1 ? p) pk ?1 ,0 ? p ? 1 ,k ? 1, 2,? ,


3、设 X1 , X 2 ,?, X 9 是来自总体 X ~ N (?, ? 2 ) 的简单随机样本,
Y1 ?
2(Y1 ? Y2 ) 2 1 9 1 6 1 9 , X k , Y2 ? ? X k , S 2 ? ? ( X k ? Y2 )2 , Z ? ? S2 2 k ?7 6 k ?1 3 k ?7

则统计量 Z 服从的分布为

。 。 。

4、将 n 只球放入 m 只盒子中去,每只球落入各个盒子是等可能的,(每盒容纳球的个 数不限),设 X 为有球的盒子数,则 EX ? 5、设 A, B 为随机事件, P( A) ? 0.6, P( B) ? 0.8, P( B | A) ? 0.85,则 P( A | B) ?

6、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率 分别为 0.5、0.3、0.1,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为 0.3、0.6、 0.8。则敌舰被击沉的概率为 。 2 7、设随机变量 X 的二阶矩 EX 存在,令函数 g (t ) ? E( X ? t )2 , 则当 t ? 时, g (t ) ? E( X ? t )2 的值最小。

8、设 X 1 , X 2 ,? ? ?, X n 是来自正态总体 N (0,1) 的一个样本, 1 ? m ? n , 则统计量 Y ?
n 1 m (? X k )2 ? ? X k 2 服从的分布为 m k ?1 k ? m ?1


1 n ? Xk , n k ?1

9、设 X1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的样本,且 EX ? ? , DX ? ? 2 ,记 A1 ? X ?
1 n ? ? ( X k ? X )2 ,若 ? 2 ? A12 ? cB2 是 ? 2 的无偏估计量, 则常数 c ? n k ?1

B2 ?



B6-3

三、 (满分 8 分)设 X 为连续型随机变量,其概率密度为 且对某 k ? 0 ,有 E |

f (x) ,

X |k 存在,
k

E|X | 试证:对任意 ? ? 0 ,成立 P{| X |? ? } ? ?
k



简述一下这道题的结论在概率论中的哪些方面有用处。

B6-4

四、 (满分 10 分) (此题学过 1-9 章和 11-13 章的学生做,仅学过 1 至 9 章的学生不做)

设随机过程 X (t ) ? a sin(?t ? ?) ,其中 a 和 ? 是非零常数, ? 是在 (0,2? ) 上服从 均匀分布的随机变量。 试求: (1)写出 ? 的概率密度 f (? ) ; (3)求 E[ X (t ) X (t ? ? )] ; (2)求 E[ X (t )] ; (4)判断 X (t ) 是否为平稳过程? )

1 (备用公式: sin ? sin ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2

[四]、 (满分 10 分) (此题仅学过 1 至 9 章的学生做;学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生不做)

设 X 1 , X 2 ,? ? ?, X n 是总体 X ~ N (?0 ,? 2 ) 的样本,

x1 , x2 , ???, xn 为样本值,

?0 已知。
试求:(1) ? 2 的极大似然估计值; (2) ? 2 的极大似然估计量。

B6-5

五、 (满分 10 分) (此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作,仅学过 1 至 9 章的学生不做) 传输数字 0 和 1 的通讯系统,每个数字的传输需经过若干步骤,设每步传输正 确的概率为 0.95,传输错误的概率为 0.05.以 X n 表示第 n 步传输出的数字, 则 {X n , n ? 0,1,2,? ? ?}是一齐次马尔可夫链; 试求: (1)写出状态空间 S 和一步转移概率矩阵 P ; (2) 求 P{X n?1 ? 1, X n?2 ? 1| X n ? 0} 。 [五]、 (满分 10 分) (此题仅学过 1 至 9 章的学生做,学过 1-9 章和 11-13 章的学生不作) 已知二维随机变量 ? X , Y ? 的概率密度为

?a( x ? y),0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 f ( x, y) ? ? , 0, 其它 ?
(1) 确定常数 a ; (2)求 P{ X ? Y } .

B6-6


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