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第1节 数列概念


第1节
1.数列的定义 按照 2.数列的分类 分类标准 项数

数列的概念与简单表示
.

排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 满足条件 项数 项数 an+1>an(n∈N*) an+1 an(n∈N*) an+1=an(n∈N*)

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考向 2 由数列的求和公式求通项 例 2 (1)(2012· 大纲全国卷)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( 3?n-1 1 - ?2?n-1 A.2n 1 B.? C. D. n-1 ?2? ?3? 2 (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn,Sn=2n2-3n 求数列{an}的通项公式 an.

)

项与项间的大小关系

3.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 之间的关系可以用一个函数式 an=f(n)来表示, 那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. 4.数列的递推公式 如果已知数列的第 1 项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前 几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的________. 5.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn,通项公式为 an, ?S1, ?n=1?, ? 则 an=? ? ?Sn-Sn-1, ?n≥2?. 1.判断下列结论的正误. (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( ) (3)已知 an+2=2an+1+an,若要确定数列{an},必须知道初始值 a1,a2( ) * (4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn,则对?n∈N ,都有 an+1=Sn+1-Sn( ) 2. 已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0, 则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( ? ?2,n为奇数 nπ + A.an=1+(-1)n 1 B.an=2sin C.an=1-cos nπ D.an=? 2 ? ?0,n为偶数 3.在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则 a5 的值为( ) A.30 B.31 C.32 D.33 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式是________. 2 1 5.(2013· 课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 考向 1 由数列的前几项归纳数列的通项公式 例 1. 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32

考向 3 由数列的递推公式求通项 例 3 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式: (1)a1=1,an+1=2nan; (2)a1=1,an+1=3an+2. n-1 (3)a1=1,an= a (n≥2); n n-1

)

考向 4 用函数观点研究数列问题 例 4 已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4. ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*,都有 an+1>an 成立.求实数 k 的取值范围.

3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,…. 2 3 4 5 6

由递推关系求数列的通项的基本思想是转化,常用的方法: 1.an+1-an=f(n)型,采用叠加法. an+1 2. =f(n)型,采用叠乘法. an 3.an+1=pan+q(p≠0,p≠1)型,转化为等比数列解决.

第 2 节 等差数列
1.等差数列 (1)定义:an+1-an=d(常数)(n∈N*). (2)通项公式:___________________, _______________________. (3)前 n 项和公式:Sn=________________=__________________. a+b (4)a、b 的等差中项 A= . 2 2.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和. (1)若 m、n、p、q、k 是正整数,且 m+n=p+q=2k,则 am+an=ap+aq=2ak. (2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为 kd. (3)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,也是等差数列. (4)等差数列的通项公式形如 an=an+b(a, b 为常数), 前 n 项和公式形如 Sn=An2+Bn(A, B 为常数). 1.判断下列结论的正误. (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列( ) * (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N ,都有 2an+1=an+an+2( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( ) (4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( ) 2.设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24 3.已知{an}是等差数列,且 a3+a9=4a5,a2=-8,则该数列的公差是( ) 1 A.4 B. C.-4 D.-14 4 4.若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a=________. 5.在等差数列{an}中,d=2,a15=-10,则 S15=________. 考向 1 等差数列的判定或证明 例 1 在数列{an}中,a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*) an+3 (1)求 a2,a3 的值; (2)设 bn= n (n∈N*),证明:{bn}是等差数列. 2 (证明数列{an}为等差数列有两种方法:证明 an+1-an=d(常数) 或者 证明 2an=an+1+an-1(n≥2))

考向 2 等差数列的基本运算 例 2 (1)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( A.-6 B.-4 C.-2 D.2 (2)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. ①求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

)

变式训练 2 已知等差数列{an}的前 5 项和为 105,且 a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记为 bm.求数列{bm}的前 m 项和 Sm.

考向 3 等差数列前 n 项和及综合应用 例 3 (1)等差数列{an}中, 如果 a1+a4+a7=39, a3+a6+a9=27, 数列{an}前 9 项的和为____________ (2)设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=________. 变式训练 3 (1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=__________ (2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30=________. 例 4 在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn 取得最 大值,并求出它的最大值;

1 变式训练 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2,且 n∈N*),a1= . 2 ?1? (1)求证:?S ?是等差数列; ? n? (2)求数列{an}的通项公式.

变式训练 4 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.


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