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高二数学圆锥曲线基础练习题(一)


高二数学圆锥曲线基础练习题(一)
一、选择题: 1.抛物线 y 2 ? 4x 的焦点坐标为 A. ( 0, 1 ) B. ( 1, 0 ) C. ( 0, 2 ) D. ( 2, 0 ) ( D. ) ( )

2.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? A. ?

1 4

B. ? 4

C. 4

1 4
( )

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点到渐近线距离为 3.双曲线 9 16
A.6 B.5 C.4 D.3

x2 4.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则 3 △ABC 的周长是 A.2 3 5.已知椭圆 A. 4
2 2

( B.6 C.4 3 D.12



x y ? ? 1 ,长轴在 y 轴上. 若焦距为 4 ,则 m 等于 10 ? m m ? 2 B. 5 C. 7 D. 8





x2 y 2 ? 1 右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? y ? 0 . 设 6.已知 P 是双曲线 2 ? a 9

F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 ? 3 ,则 PF1 ?
A. 5
2

( D.2



B.4

C.3

7.将抛物线 y ? ( x ? 2) ? 1 按向量 a 平移,使顶点与原点重合,则向量 a 的坐标是( A. (?2, ?1) B. (2,1) C. (2, ?1) D. (?2,1)



8. 已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 5,0) ,F2 ( 5,0) , P 是此双曲线上的一点,且 PF1 ? PF2 , | PF1 | ? | PF2 |? 2 , 则该双曲线的方程是 A. ( B. )
2

x2 y2 ? ?1 2 3
9 5

x2 y2 ? ?1 3 2

C.

x2 ? y2 ? 1 4

D. x ?

y2 ?1 4

( x , 2y ) 9.设 A(x 1, y 1), B(4, ), C
列”是“ x1 ? x2 ? 8 ”的 A.充要条件 C.充分不必要条件 10.已知双曲线 C : 积等于 A. 24

2

是右焦点为 F 的椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上三个不同的点,则“ AF , BF , CF 成等差数 25 9





B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

x2 y 2 ? ? 1的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为 C 的右支上一点,且 PF2 ? F1F2 ,则 ?PF1F2 的面 9 16
( B. 36 C. 48 ) D. 96

11.已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点 P 的坐标为 A. ( ( B. ( )

1 ,-1) 4

1 ,1) 4

C. (1,2)

D. (1,-2)

12.设 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的一点, F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点,则以线段 PF2 为直径 a 2 b2
( ) D.不相切

的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是 A.内切 B.外切 C.内切或外切 二、填空题:

13.点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和的最小值是 ; 14.已知 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1在第一象限内的点,A(2,0) ,B(0,1) ,O 为原点,求四边形 OAPB 的面积的最大 4

值_________; 15 . 已 知 抛 物 线 y ? ax ? 1 的 焦 点 是 坐 标 原 点 , 则 以 抛 物 线 与 两 坐 标 轴 的 三 个 交 点 为 顶 点 的 三 角 形 面 积
2




2 2

16.若直线 m x ? ny ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 3 没有公共点,则 m, n 满足的关系式为_______;以(m,n)为点 P 的坐标,

过点 P 的一条直线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的公共点有____个。 7 3

三、解答题: 17.已知椭圆的一个顶点为 A(0,?1) ,焦点在 x 轴上,若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 l : y ? x ? m ,是否存在实数 m,使直线 l 椭圆有两个不同的交点 M、N,且 AM ? AN ,若存 在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

18. 如图, 椭圆

x2 y2 3 ? =1 (a>b>0) 与过点 A (2, 0) B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T, 且椭圆的离心率 e ? . 2 2 a b

(I)求椭圆方程; (II)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点, 求证: | AT | = | AF1 || AF2 | .
2

1 2

19.已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.
?

20.已知△ OFQ 的面积为 2 6 , OF ? FQ ? m . (I)设 6 ? m ? 4 6 ,求 ?OFQ 正切值的取值范围; (II)设以 O 为中心,F 为焦点的双曲线经过点 Q(如图) ,

??? ? ??? ?

??? ? ???? 6 | OF |? c, m ? ( ? 1)c 2 ,当 | OQ | 取得最小值时, 4
求此双曲线的方程。

21.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测 点听到的时间比其他两观测点晚 4s.已知各观测点到该中心的距离都是 1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当 时声音传播的速度为 340m/s,相关各点均在同一平面上)

22.已知抛物线 C : y ? 2 x ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C
2

于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA ? NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

参考答案
2 0 0 2 1 2 2 x 2.A.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,∴ m<0,且双曲线方程为 ? ? 8 y 2 ? 1 ,∴ m= ? . 4 4 1 1 3.C. 2 4.C. 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ?ABC 的周长为 4a= 4 3 . 6 一、选择题 1.B. 5.D.由题意,得

2c ? 4 ,c ? 2 .a2 ? m ? 2, b2 ? 10 ? m ,代入 a 2 ? b2 ? c2 ,有 m ? 2 ?10 ? m ? 4, 即 m ? 8 .

6.A. 由课本知识,得知双曲线的渐近线方程为 3x ? ay ? 0 ,或者 3x ? ay ? 0 .与已知的渐近线方程 3x ? y ? 0 对 应,立得正数 a ? 1 .显然,由双曲线定义有 PF 1 ? PF 2 ? 2a ,所以 PF 1 ? 5. 7.A. 将抛物线方程配方,得 ( x ? 2) ? y ?1 .画图,知道 a ? (?2, ?1) .
2

8.C.显然双曲线的特征量 c ? 5 .由 PF 1 ? PF2 1 ? PF 2 得, PF
2 2 2 2 2

2

2

? 4c 2 .对于关系 PF1 ? PF2 ? 2a ,两边

平方,得 4c ? 4 ? 4a ,即 a ? c ? 1 ? 4 ,于是 b ? 1 .从而双曲线的方程是 9.A.

x2 ? y2 ? 1. 4

x2 y 2 ? ? 1中, a ? 3, b ? 4, c ? 5 , 10.C.∵双曲线 C : 9 16
∴F 1 ? ?5,0? , F 2 ? 5,0? ∵ PF2 ? F 1F2 , ∴ PF 1 ? 2a ? PF 2 ? 6 ? 10 ? 16 . 作 PF1 边上的高 AF2 ,则 AF 1 ?8.
2 2 ∴ AF2 ? 10 ? 8 ? 6

∴ ?PF 1F 2 的面积为

1 1 PF1 ? PF2 ? ?16 ? 6 ? 48 . 2 2

11.A.将点P到抛物线焦点距离转化为点P到准线距离,容易求得当 PQ ∥x 轴时,P 到点 Q (2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小,令 y ? ?1 ,得 x ? 为(

1 ,故点P 4

1 ,-1) ,选A. 4

12.C. 利用双曲线的定义,通过圆心距判断出当点 P 分别在左、右两支时,两圆相内切、外切. 二、填空题 13. 2 .由于 y 2 ? 4 x 的准线是 x ? ?1 ,所以点 p 到 x ? ?1 的距离等于 P 到焦点 F 的距离,故点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到 x = ? 1 的距离之和的最小值是 FA ? 2 . 14. 2 15 . 2. 由抛物线 y ? ax 2 ? 1 的焦点坐标为 (0,

1 1 1 ? 1) 为坐标原点得, a ? ,则 y ? x 2 ? 1 与坐标轴的交点为 4a 4 4 1 (0, ?1),(?2,0),(2,0) ,则以这三点围成的三角形的面积为 ? 4 ?1 ? 2 . 2
3 > 3,解得 0<m2+n2<3. m2+n2

16.0<m2+n2<3, 2. ∵直线 mx+ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,∴ ∴

m 2 n2 m 2 n 2 + < + <1,即点 P(m,n)在椭圆内部,故过 P 的直线必与椭圆有两个交点. 7 3 3 3

三、解答题 17. (I)依题意,设椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 设右焦点为(c,0),则 a2

c?2 2 2

? 3 -----------4 分
a2=b2+c2=3----------------------6 分

?c ? 2

? 椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

? y ? x ? m, ? (II)设 M(x1,y1),N(x2,y2), 由 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?3
当判别式△>0 时,

得 4x2+6mx+3m2-3=0.

? x1 ? x2 ? ?
? y1 ? y 2 ?

3m 3(m 2 ? 1) , x1 ? x2 ? 2 4
---------------9 分

m 2

? AM ? AN
??


? x1 ? ( y1 ? 1) 2 ? x 2 ? ( y 2 ? 1) 2

2

2

3m m ? ? ( ? 2) , 2 2

m=2,但此时判别式 ? ? 0 , ? 满足条件的 m 不存在. ------------------12 分

18.解:(Ⅰ)过 A、B 的直线方程为

x ? y ? 1. 2

? x2 ? y 2 ?1 ? ? a 2 ? b2 由题意得 ? 有惟一解. 1 ? y ? ? x ?1 ? ? 2
即 所以
2

(b 2 ?

1 2 2 a ) x ? a2 x ? a2 b2?0 有惟一解, 4

分 ? ?a2 b2( a2 ?4 b2 ?4 ) ? 0 ( a b ? 0 ) ------------------3 ,
2

故 a ? 4b ? 4 ? 0 . 因为 c ?

a 2 ? b2 3 3 ? , 所以 a 2 ? 4b2 ,即 a2 4 2
2 2

从而, 得 a ? 2, b ?

1 , 2
------------------6 分

故所求的椭圆方程为

x2 ? 2 y2 ? 1 . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 c ?

6 , 2

所以

F1 (?

6 6 , 0), F2 ( , 0) . 2 2

? x2 ? y 2 ?1 ? ? a 2 ? b2 由 ? ? y ? ? 1 x ?1 ? ? 2
1 2

解得 x1 ? x2 ? 1, ,

------------------9 分

因此 T ? (1, ) . 从而 AT 因为 AF1 ? AF2 ?

2

?

5 , 4
2

5 , 2

所以 AT

?

1 AF1 ? AF2 . ------------------12 分 2

19.解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 2 2 由? 得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 .------------------2 分 ? y ? ?x ? n
因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?
2

4 3 4 3 . ?n? 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) ,则

x1 ? x2 ?
所以

3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4 n . 2
------------------4 分

y1 ? y2 ?

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4? ? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . -----------------7 分 (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 ,所以 AB ? BC ? CA .
?

所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2
2 2

------------------9 分

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?

2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ? n ? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 .------------------12 分 20.解: (I)设 ?OFQ ? ? , 则

??? ? ??? ? ?| OF | ? | FQ | cos(? ? ? ) ? m 4 6 ? ? tan ? ? ? ? ??? ? ? 1 ??? m ? ? | OF | ? | FQ | sin ? ? 2 6 ?2

.

---------------3 分

? 6 ? m ? 4 6??? ,
??4 ? tan ? ? ?1 .
(II)设所求的双曲线方程为 ∴ S ?OFQ ? ∴ y1 ? ? ------------------5 分

??? ? x2 y 2 ? 2 ? 1( ? a ? 0, b ? 0), Q( x1 , y1 ),?则FQ ? ( x1 ? c, y1 ) 2 a b

? 1 ??? | OF | ? | y1 |? 2 6 , 2

4 6 . c

又∵ OF ? FQ ? m , ∴ OF ? FQ ? (c,0) ? ( x1 ? c, y1 ) ? ( x1 ? c) ? c ? (

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

6 ? 1??c 2 . -----------------9 分 4

? x1 ?

???? 6 96 3c2 c,???? | OQ |? x12 ? y12 ? 2 ? ? 12. 4 c 8

当且仅当 c ? 4 时, | OQ | 最小,此时 Q 的坐标是 ( 6, 6) 或 ( 6, ? 6)

????

?6 6 ?a 2 ? 4 ? ? ?1 ? , ? ? a 2 b2 ?????? ? 2 b ? 12 ? 2 2 ? ?a ? b ? 16 ?
所求方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 12

------------------12 分

21.解:如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、 北观测点,则 A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020). -----------3 分 设 P(x,y)为巨响发生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故 |PB|-|PA|=340× 4=1360. ------------------6 分 由双曲线定义知 P 点在以 A、 B 为焦点的双曲线 依题意得 a=680,c=1020, ∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402, x2 y2 故双曲线方程为 2=1. 680 5×3402 用 y=-x 代入上式,得 x=±680 5, ∵|PB|>|PA|, ∴x=-680 5,y=680 5, 即 P(-680 5,680 5), 故 PO=680 10. 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10 m 处. ------------------12 分 y 22. 解: (Ⅰ)如图,设 A( x1, 2x12 ) , B( x2, 2 x22 ) , A M 2 B 1 -----------9 分

x2 y 2 ? ? 1 上, a 2 b2

P

y C O Bx N

A A

把 y ? kx ? 2 代入

y ? 2x2 得 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 , ---------------2 分

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

k , x1 x2 ? ?1 , 2 x ?x k ? xN ? xM ? 1 2 ? , 2 4

? k k2 ? ? N 点的坐标为 ? , ? . ?4 8 ?
设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?

k2 k? ? ? m? x ? ? , 8 4? ?

2 将 y ? 2 x 代入上式得 2 x ? mx ?

2

mk k 2 ? ? 0 ,------------------5 分 4 8

? 直线 l 与抛物线 C 相切,
? mk k 2 ? ?? ? m2 ? 8 ? ? ? ? m2 ? 2mk ? k 2 ? (m ? k )2 ? 0 ,? m ? k . 8 ? ? 4
即 l ∥ AB . ------------------7 分 (Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 ,则 NA ? NB . 又? M 是 AB 的中点,

??? ? ??? ?

1 | AB | . ------------------9 分 2 1 1 1 由(Ⅰ)知 yM ? ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? 2 ? kx2 ? 2) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4] 2 2 2 ?| MN |?

? k2 1 ? k2 ? ? ? 4? ? ? 2 . 2? 2 ? 4
? MN ? x 轴,

k2 k 2 k 2 ? 16 ?| MN |?| yM ? yN |? ? 2 ? ? . ------------------12 分 4 8 8

又 | AB |? 1 ? k 2 ? | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 k 1 2 ? 1 ? k 2 ? ( ) 2 ? 4 ? (?1) ? k ? 1 ? k 2 ? 16. 2 2 2 k ? 16 1 2 ? ? k ? 1 ? k 2 ? 16, 解得k ? ?2. 8 4
即存在 k ? ?2 ,使 NA ? NB ? 0. ------------------14 分


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