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【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《函数的单调性与最值》


函数的单调性与最值
【选题明细表】 知识点、方法 单调性的判断与证明 求单调区间 单调性的应用 最值问题 单调性与不等式 一、选择题 1.(2013 杭州模拟)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( 2 (A)f(x)=3-x (B)f(x)=x -3x (C)f(x)=(D)f(x)=-|x| 题号 1、11 2、6 3、4、8、9、10 5、7 12 C )

解析:当 x>0 时,f(x)=3-x 为减函数; 当 x∈ 时,f(x)=x -3x 为减函数;
2

当 x∈

时,f(x)=x -3x 为增函数;

2

当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-

为增函数;

当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数. 故选 C. 2 2.(2013 湖南长沙模拟)函数 f(x)=log2(4+3x-x )的单调递减区间是( (A) (B)

D )

(C)

(D)
2

解析:由 4+3x-x >0 得-1<x<4,即函数定义域是{x|-1<x<4}. 又 g(x)=-x +3x+4=D. 3.设函数 f(x)= (A)(-∞ ,-1]∪[2,+∞) (C)(-∞,-2]∪[1,+∞) 若 f(x)的值域为 R,则常数 a 的取值范围是( (B)[-1,2] (D)[-2,1] A )
2

+ 在

上递减,故 f(x)=log2(4+3x-x )应在

2

上递减,选

解析:易知两段函数都是递增函数,当 x>2 时,y>4+a;当 x≤2 时,y≤2+a ,要使 f(x)的值域为 2 R,则 4+a≤2+a ,解得 a≥2 或 a≤-1.故选 A. 4.(2013 四川成都模拟)已知函数 f (x)= ( B ) (A)-3≤a<0 (B)-3≤a≤-2 (C)a≤-2 (D)a<0 解析:要使函数在 R 上是增函数则有 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是

2

解得-3≤a≤-2.故选 B. 2 5.定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b ,则函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈ [-2,2]的最大值等于( C ) (A)-1 (B)1 (C)6 (D)12 解析:由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2, 3 当 1<x≤2 时,f(x)=x -2 . 3 ∵f(x)=x-2,f(x)=x -2 在定义域内都为增函数. 3 ∴f(x)的最大值为 f(2)=2 -2=6. 故选 C. 6.(2013 山 东聊 城模拟 ) 设 函数 y=f(x) 在 R 上有 定义 , 对 于给 定的正数 k, 定义 函数
[来源:学科网 ZXXK]

fk(x)=

若函数 f(x)=

则函数 (x)的单调递减区间为( D )

(A)(-∞,-1] (B)(-∞,0] (C)[0,+∞) (D)[1,+∞) 解析: (x)=

=

如图所示,函数 (x)在区间[1,+∞)上单调递减.故选 D.

二、填空题 7.函数 f(x)= -log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 .

解析:由于 y=

在 R 上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以 f(x)在[-1,1]上单调递减,

故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=3. 答案:3 8. 使函数 y= 与 y=log 3(x-2) 在 (3,+ ∞ ) 上具有相同的单调性 , 实数 k 的取值范围

是 . 解析:由 y=log 3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,故在(3,+∞)上是增函数. 又函数 y= = =2+ ,

使其在(3,+∞)上是增函数, 故 4+k<0,得 k<-4. 答案:(-∞,-4) 2 9.偶函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数,若不等式 f(ax-1)<f(2+x )恒成立,则实数 a 的取值范 围是 . 2 2 2 解析:由题意可知,f(|ax-1|)<f(2+x ),所以|ax-1|<2+x 恒成立.设 m(x)=|ax-1|,n(x)=2+x , 其临界位置的图象如图所示:
[来源:Z#xx#k.Com]

下面求出相切情形下的 a 的大小: 如左图所 示 , 设切点坐标为 (x0,y0), 则 n'(x) =2x0=-a, 切点可表示为 (- , +2), 所以

=-a,得 a=2;如右图所示,同理可求得 a=-2.综上可知 a∈(-2,2). 答案:(-2,2) 三、解答题 10.函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数 a 的取值范围.

解:f(x)=

=

=

+a.

任取 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1 <x2, 则 f(x1)-f(x2)= = .

∵函数 f(x)=

在区间(-2,+∞)上是递增的,

[来源:Zxxk.Com]

∴f(x1)-f(x2)<0. ∵x2 -x1>0,x1+2>0,x2+2>0, ∴1-2a<0,a> ,

即实数 a 的取值范围是

.
x x

11. (2013 湖北八校联考)已知函数 f(x)=a·2 +b·3 ,其中常数 a,b 满足 a·b≠0. (1)若 a·b>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 a·b<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围. 解:(1)当 a>0,b>0 时,任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=a( 因为 < < )+b( ),
[来源:Z+xx+k.Com]

,a>0?a( -

)<0,

,b>0?b(

)<0,

所以当 a>0,b>0 时,f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 同理,当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. x x (2)f(x+1)-f(x)=a·2 +2b·3 > 0, 当 a<0,b>0 时, ( ) >- ,则 x>log1.5(- );
x

当 a>0,b<0 时, ( ) <- ,则 x<log1.5(- ).

x

12.(2013 烟台模拟)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞),且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f 果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y), (1)求 f(1); (2)解不等式 f(-x)+f(3-x)≥-2. 解:(1)令 x=y=1, 则 f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0. (2)由题意知 f(x)为(0,+∞)上的减函数, 且 ∴x<0, ∵f(xy)=f(x)+f(y),x、y∈(0,+∞)

=1,如

且f

=1.

∴f(-x)+f(3-x)≥-2, 可化为 f(-x)+ f(3-x)≥-2f ,

f(-x)+f

+f(3 -x)+f

≥0=f(1),

f

+f

≥f(1),

f

≥f(1),

则 解得-1≤x<0. ∴不等式的解集为[-1,0).


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