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6563反函数典型例题精析


2.4 反函数·例题解析 【例 1】求下列函数的反函数: 3x ? 5 1 (x≠- ) . 2x ? 1 2 2 (2)y=x - 2x+ 3,x∈ ( -∞, 0]. (1)y= 1 (x≤ 0) . x ?1 ? ? x + 1 ( -1≤x≤ 0) (4)y= ? ? ?- x (0<x≤1) (3)y= 2 解 (1) ∵y= 由y= 3x ? 5 1 3 (x≠

- ) ,∴y≠ , 2x ? 1 2 2 3x ? 5 得(2y-3)x=-y-5, 2x ? 1 y?5 y?5 3 ∴x= 所求反函数为y= (x≠ ) . 3 ? 2y 3 ? 2y 2 解 (2)∵y=(x-1)2+2,x∈(-∞,0]其值域为 y∈[2,+∞), 由y= (x-1) 2 + 2(x≤ 0) ,得x-1=- y ? 2 ,即x=1- y ? 2 ∴反函数为f ?1 (x) =1- x ? 2 , (x≥ 2) . 1 (x≤0) ,它的值域为 0<y≤1, x ?1 1 1? y 由y= 2 得x=- , y x ?1 解 (3) ∵y= 2 ∴反函数为f ?1 (x) =- 1? x (0<x≤1) . x 解 (4) 由y= x ? 1( -1≤x≤0) , 得值域0≤y≤1,反函数f ?1 (x) =x 2 -1(0≤x≤1) . 由y=- x (0<x≤1) , 得值域-1≤y<0,反函数f ?1 (x) =x 2 ( -1≤x<0) , 2 ? ?x -1 (0≤x≤1) 故所求反函数为y= ? 2 . ? ( -1≤x<0) ?x 【例 2】求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像. (1)y= x ? 1-1 解 (2)y=-3x2 -2(x≤0) (1)∵已知函数的定义域是 x≥1,∴值域为 y≥-1, 由y= x ? 1-1,得反函数y= (x+1) 2 +1(x≥-1) . 函数y= x ? 1-1与它的反函数y= (x+1) 2 +1的图像如图 2 . 4 -1所示. 解 (2)由 y=-3x2-2(x≤0)得值域 y≤-2, 反函数f ?1 (x) =- ? x?2 (x≤-2) . 3 它们的图像如图 2.4-2 所示. 【例3】已知函数f(x) = 3x ? 1 1 (x≠-a,a≠ ) . x?a 3 (1)求它的反函数;(2)求使 f-1(x)=f(x)的实数 a 的值. 3x ? 1 ,∴x≠-a, x?a ∵y(x+a) = 3x+1, (y- 3)x=1-ay,这里y≠ 3, 解 (1) 设y= 1 1 若y= 3,则a= 这与已知a≠ 矛盾, 3 3 1 ? ay 1 ? ax ∴x= ,,即反函数f ?1 (x) = . y?3 x?3 (2) 若f(x) =f ?1 (x) ,即 令 x=0,∴a=-3. 3x ? 1 1 ? ax = 对定义域内一切x的值恒成立, x?a x?3 或解 由 f(x)=f-1(x),那么函数 f(x)与 f-1(x)的定义域和值域相同,定义 域是{x|x≠a,x∈R},值域 y∈{y|y≠3,y∈R},∴-a=3 即 a=-3. 【例4】已知函数y=f(x) = ax ? b 中,a、b、c、d均不为零, cx ? d 试求 a、b、c、d 满足什么条件时,它的反函数仍是自身. a bc ? ad 解 f(x) = + ,∵常数函数没有反函数, c c(cx ? d ) ? dx ? b ∴bc-ad≠

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