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2010年佛山市普通高中教学质量检测高二文科数学试题及参考答案


2010 年佛山市普通高中教学质量检测高二

数 学 (文科)
广东省佛山市教育局教研室
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

2010.1

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹的钢笔或签字

笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域内; 如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.抛物线 x2 ? 4 y 的焦点坐标为 A. (1, 0) B. (0,1) C. (2, 0) D. (0, 2)

2.过点 (2, ?1) ,且平行于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线方程为 A. 2 x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0
5 5 4

2 2 3.已知 a , b 是实数, 则“ a ? b ”是“ a ? b ”的

4
侧视图

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

正视图

第 4 题图

4.已知一几何体的三视图如右,则此几何体的的体积为 A. 80? C. B. 20? D.
俯视图

80? 3

20? 3

y

5.函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,则 A. f ?(3) ? 0 C. f ?(3) ? 0 B. f ?(3) ? 0 D. f ?(3) 的符号不确定 O

1
第 5 题图

5

x

2 6.命题“ ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0 ”的否定是 .. 2 A. ?x ? 0 ,使得 x ? x ? 0 2 C. ?x ? 0 ,使得 x ? x ? 0 2 B. ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0 2 D. ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0

7.已知 l 是直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,下列命题中的真命题是
文科 第 1 页 共 9 页

A.若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? C. 若 l // ? , ? // ? ,则 l // ? A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. - 3x + 4 y - 5 = 0

B.若 ? ^ ? , l // ? ,则 l ^ ?
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D. 若 l ^ ? , l // ? ,则 ? ^ ? B. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D. - 3x + 4 y + 5 = 0

学科网

8. 和直线 3x - 4 y + 5 = 0 关于 x 轴对称的直线方程为

9.已知函数 f ( x) ? f ?( ) sin x ? cos x, 则 f ( ) 的值为

?

?

3

3

3 2 10.如图,在 Rt ?ABC 中, AB ? 4 , AC ? 3 ,
A. 0 B. C.

1 2

D. 1 y A

?CAB ? 90? ,以点 B 为一个焦点作一个椭圆,
使这个椭圆的另一个焦点在 AC 边上,且这个 椭圆过 A 、 C 两点.则椭圆的离心率为 A.

B x C

1 2

B.

2 3

C.

5 3

D.

2 5 5

二、填空题:本大共 4 小题 ,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 已 知 正 方 体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 的 内 切 球 的 体 积 为 为 . ____________.

4? ,则这个正方体的外接球的表面积 3

x2 3 2 12. 已知双曲线 2 ? y ? 1(a ? 0) 过点 ( ?2, ) ,则其渐近线方程为 a 3
13. 函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x 的单调递增区间__________________.

14.设直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 C1 : x ? y ? 4 交于 A, B 两点,若圆 C2 的圆心在线段 AB 上,且圆 C2 与
2 2

圆 C1 相切, 切点在圆 C1 的劣弧 ? 上, 则圆 C2 的半径的最大值是_______. AB 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 已知命题 P :方程

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆. 3 k ?5
2

命题 Q :关于 x 的方程 x ? x ? k ? 0 有实数根.如果命题“ ? P ”为假,命题“ P ? Q ”为假,求 k 的取值范围.

文科

第 2 页 共 9 页

16. (本题满分 12 分) 三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC . AC ? CB ,D 为 AB 中点,CB ? 1 , AC ? 3 ,

A1 A = 3 .
(I)求证: BC1 // 平面 A1CD ; (II)求三棱锥 C1 ? A1DC 的体积.

C1

A1

B1

C
A
17. (本题满分 14 分)

D
第 16 题图

B

如图是底面为正方形且侧棱长均为 3m 的四棱锥,设四棱锥的高为 x ,体积为 V ( x) . (I)求 V ( x) 的函数表达式; (II)当 x 为何值时, V ( x) 最大?

第 17 题图

文科

第 3 页 共 9 页

18. (本题满分 14 分)
2 2 2 已知圆 x ? y ? 2ax ? 2ay ? 2a ? 4a ? 0 (0 ? a ? 4) 的圆心为 C,直线 l : y ? x ? m .

(Ⅰ)若 m ? 2 时,直线 l 平分圆 C,求此时圆的方程; (Ⅱ)求 m ? 4 时直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值及此时圆的方程.

19. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? bx ? c , f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 4 ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若在区间 ? ,5? 内,恒有 f ( x) ? x ? ln x ? kx 成立,求 k 的取值范围. 2
2

?1 ?

? ?

20. (本题满分 14 分)

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 C2 : x2 ? 4 y 的 a 2 b2 5 焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |? . 3 (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程.
已知 F 、 F2 分别为椭圆 C1 : 1 (Ⅱ)已知 A(b,0), B(0, a) ,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆 C1 相交于 E、F 两点.求 四边形 AEBF 面积的最大值. y B F M F1 O

·
A x

· F2
E
第 20 题图

文科

第 4 页 共 9 页

2010 年佛山市普通高中高二教学质量检测
数学试题(文科)参考答案和评分标准
广东省佛山市教育局教研室
一、选择题: (每题 5 分,共 40 分) 题号 选项 1 B 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 D 8 A 9 D 10 C

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 11. 12? 12. x ? 3 y ? 0 . 13. (1, ??) 14. 1

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 解:因为命题“ ?P ”为假,所以命题 P 是真命题. 又因为命题“ P ? Q ”为假,所以命题 Q 是假命题. ????????????????2 分 ????????????????4 分

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆, k ? 5 ? 3 ? k ? 8 . 方程 3 k ?5
所以命题 P 是真命题的条件是: k ? 8 .

??????????6 分 ??????????7 分

1 . 4 1 1 命题 Q 是真命题的条件是: k ? ,所以命题 Q 是假命题的条件是 k ? . 4 4
关于 x 的方程 x ? x ? k ? 0 有实数根,则只需 ? ? 1 ? 4 k ? 0 ,即 k ?
2

???????10 分

综上所述,使命题“ ? P ”为假,命题“ P ? Q ”为假的条件是 k 的取值范围为 (8, ??) .??12 分 16. (本题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 AC1 ,设 AC1 ? A1C ? E ,连接 DE ???????????? 1 分 ∵ A1 B1C1 ? ABC 是三棱柱,侧棱 AA1 ? 底面 ABC .且 AC ? AA ? 1 ∴ AA1C1C 是正方形, E 是 AC1 中点, 又 D 为 AB 中点 ∴ ED ∥ BC1 ????????? 4 分

3
C1

A1
E

B1

又 ED ? 平面 A1CD , BC1 ? 平面 A1CD ∴ BC1 // 平面 A1CD ???????????? 5 分 (II)在平面 ABC 中过点 D 作 AC 的垂线,交 AC 于 H .由于

C
H
A D

B

底面 ABC ? 面 ACC1 A1 ,且 AC 为两平面交线,∴ DH ? 面 ACC1 A1 .??????????? 7 分
2 2 o △ ABC 中, AB ? 1 ? ( 3) ? 2 ,所以 ?BAC ? 30 ,且 AD ? 1 .??????????? 8 分

在△ ADC 中, HD ? AD sin 30 ?
o

1 2

??????????? 9 分 ??????????? 11 分

由于 SV AC1C ?

3 1 1 1 3 1 ,所以 VD ? AC1C ? ? DH ? SV AC1C ? ? ? ? 2 3 3 2 2 4
文科 第 5 页 共 9 页

∴由等积法可得 VC1 ? A1DC ? VD ? AC1C ? 17. (本题满分 14 分) 解:由题设可得四棱锥底面边长为

1 . 4

??????????? 12 分

2 32 ? x2 ? 2 ? x2 ? 9
于是底面正方形的面积为 2(? x 2 ? 9) 四棱锥的体积为(单位:m3)

( 0? x ? 3 )
??4 分

V ( x) ?

2 2 (? x 2 ? 9) x ? (? x3 ? 9 x) 3 3
2

(0 ? x ? 3)

??7 分 ??9 分

求导数,得 V ?( x) ? 2(? x ? 3) 令 V ?( x) ? 0 解得 x ? ? 3 (不合题意,舍去), x ? 3 . 当 0 ? x ? 3 时, V ?( x) ? 0 , V ( x) 为增函数; 当 3 ? x ? 3 时, V ?( x) ? 0 , V ( x) 为减函数. 所以当 x ? 3 时, V ( x) 最大. 答:当四棱锥的高为 3 m 时体积最大. 18. (本题满分 14 分)
2 2 2 2 2 解: (Ⅰ)由 x ? y ? 2ax ? 2ay ? 2a ? 4a ? 0 ,可得 ( x ? a) ? ( y ? a) ? 4a ,

??12 分

??14 分

??2 分 ??4 分 ??6 分

由于直线 l : y ? x ? 2 平分圆 C ,也即圆心 C (?a, a) 在直线 l 上
2 2 所以 a ? ? a ? 2 ,即 a ? 1 ,此时圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 4 .

(Ⅱ)设直线 l : y ? x ? 4 被圆 C 截得的弦长为 L(a ) ,则 圆心到直线的距离为 d ?

?a ? a ? 4 2

?

4 ? 2a 2

??7 分

从而 L(a) ? 2 r ? d ? 2 4a ?
2 2

(4 ? 2a)2 ? 2 ?2a 2 ? 12a ? 8 (3 ? 5 ? a ? 4) 2

??10 分

2 也即 L(a) ? 2 ?2( a ? 3) ? 10 (3 ? 5 ? a ? 4) ,

当 a ? 3 时, L(a ) 取得最大值,最大值为 2 10 . 此时圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 12
2 2

??13 分 ??14 分

文科

第 6 页 共 9 页

19. (本题满分 14 分)

1 ? b,? f ?( x) |x ?1 ? 1 ? b x 又切线斜率为-1,故 1 ? b ? ?1 ,从而 b ? 2
解: (Ⅰ) f ?( x) ? 将 (1, f (1)) 代入方程 x ? y ? 4 ? 0 得: 1 ? f (1) ? 4 ? 0 ,从而 f (1) ? ?5

??2 分

? f (1) ? ?b ? c ? ?5 ,将 b ? 2 代入得 c ? ?3
故 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 3 (Ⅱ)依题意知 x ? 0 , f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 ,得: 0 ? x ? ??5 分

1 ?2 x

1 1 ,再令 f ?( x) ? 0 ,得: x ? 2 2 1 1 故 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) ,单调减区间为 ( , ??) 2 2
(Ⅲ)由在区间 ? ,5? 内 f ( x) ? x2 ? ln x ? kx 得: 2

??9 分

?1 ?

? ?

ln x ? 2 x ? 3 ? x2 ? ln x ? kx ,? k ? ? x ? 2 ?
设 g ( x) ? ? x ? 2 ?

3 x

??10 分

3 3 , g ?( x) ? ?1 ? 2 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 (负值舍去). x x

令 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 3 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 故当 x ? ( , 3) 时, g ( x) 单调递增,当 x ? ( 3,5) 时, g ( x) 单调递减,

1 2

从而 g ( x) 的最小值只能在区间 ? ,5? 的端点处取得 2

?1 ?

? ?

??12 分

1 1 17 3 38 17 g ( ) ? ? ? 2 ? 6 ? ? , g (5) ? ?5 ? 2 ? ? ? , ∴ [ g ( x)]min ? ? . 2 2 2 5 5 2
所以 k ? ?

17 17 ? ? ,即 k 的取值范围为 ? ??, ? ? . 2 2? ?

??14 分

文科

第 7 页 共 9 页

21. (本题满分 14 分) (Ⅰ)方法一、由 C2 : x2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) , ?????????????1 分 因 M 在抛物线 C2 上,故 x02 ? 4 y0 ?①

5 5 2 2 6 ,则 y0 ? 1 ? ??②, 由①②解得 x0 ? ? , y0 ? .???????????4 分 3 3 3 3 椭圆 C1 的两个焦点 F1 (0,1) , F2 (0, ?1) ,点 M 椭圆上,
又 | MF1 |?

2 6 2 2 6 2 ? 0)2 ? ( ?1)2 ? (? ? 0)2 ? ( ? 1)2 ? 4 ??6 分 3 3 3 3 2 2 y x 2 2 2 ? ? 1 . ??????????7 分 ∴ a ? 2 ,又 c ? 1 ,∴ b ? a ? c ? 3 , ∴椭圆 C1 的方程为 4 3 2 方法二、由 C2 : x ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C2 上,故 x02 ? 4 y0 ?①
由椭圆定义得 2a ?| MF1 | ? | MF2 |? (?

5 5 2 2 6 ,则 y0 ? 1 ? ??②, 由①②解得 x0 ? ? , y0 ? . ???????????4 分 3 3 3 3 2 2 6 2 ( )2 ( ) 4 8 3 ? 3 ? 1 即 2 ? 2 ? 1 ?③, 又 c ? 1 ,则 b2 ? a 2 ? 1?④ 而点 M 椭圆上,故有 2 2 a b 9a 3b y 2 x2 2 2 ? ? 1 .???????????????7 分 由③④可解得 a ? 4 , b ? 3 ,∴椭圆 C1 的方程为 4 3 x y (Ⅱ)由题,直线 AB 的方程为 ? ? 1,即 2x ? 3 y ? 2 3 ? 0 .?????????????8 分 3 2
又 | MF1 |? 设 E( x1 , kx1 ), F ( x2 , kx2 ) ,其中 x1 ? x2 .

12 y 2 x2 ? ? 1 中,可得 x 2 ? 2 将 y ? kx 代入 ,即 3k ? 4 4 3

x2 ? ? x1 ?


2 3 3k 2 ? 4
到 直 线

??????????????? 9 分

E

AB









y B F M F1 O

d1 ?


2 x1 ? 3kx1 ? 2 3 7
理 , 可 得

?

2 3(2 ? 3k ? 3k 2 ? 4) 7(3k 2 ? 4)
F
到 直 线
2

·
A x



AB









d2 ?


2 x1 ? 3kx1 ? 2 3 7

?

2 3(2 ? 3k ? 3k ? 4) 7(3k 2 ? 4)
, 所 以 四 边

??? 11 分 E 形

· F
2

AB ? 4 ? 3 ? 7

AEBF




第 20 题图

S?

1 2 3(2 ? 3k ) .???? 12 分 AB ? (d1 ? d2 ) ? 2 3k 2 ? 4
2

12(3k 2 ? 4 ? 4 3k ) 4 3k ? 12(1 ? 2 ) ? 12 ? (1 ? 1) ? 24 , 从而 S ? 2 3k ? 4 3k ? 4
文科 第 8 页 共 9 页

当且仅当 2 ? 3k ,即 k ?

2 3 时,等号成立. 3
???? 14 分

此时四边形面积的最大值为 Smax ? 2 6 .

文科

第 9 页 共 9 页


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