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【优化指导】2015年高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时跟踪检测 新人教A版必修4


【优化指导】2015 年高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象课时跟 踪检测 新人教 A 版必修 4
考查知识点及角度 基础 正切函数的性质 正切函数性质的应用 正切函数的图象及应用 1、 4 2、 5 3、 6 难易度及题号 中档 11 7、9、10、12 8 13 稍难

1.下列说法正确的是(

)

A.正切函数在整个定义域内是增函数 B.正切函数在整个定义域内是减函数 C.函数 y=3tan x 的图象关于 y 轴对称 D.若 x 是第一象限角,则 y=tan x 是增函数 解析:由增减函数的概念知 A、B 均错误;对 D,390°和 60°均为第一象限角,且 390° >60°,但 tan 390°<tan 60°,故 D 错误,综上可知 C 正确. 答案:C 2.函数 y=|tan 2x|是( A.周期为 π 的奇函数 π C.周期为 的奇函数 2 ) B.周期为 π 的偶函数 π D.周期为 的偶函数 2
2

π 解析:f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x)为偶函数,T= . 2 答案:D

?π ? 3.已知函数 y=tan(2x+φ )的图象过点? ,0?,则 φ 可以是( 12 ? ?
A. π 6 π B.- 6 D. π 12

)

π C.- 12

?π ? ?π ? 解析:将? ,0?代入原函数可得 tan? +φ ?=0,再将 A,B,C,D 代入检验即可. ?12 ? ?6 ?
答案:B 4.函数 y=tan(cos x)的值域是( )

? π π? A.?- , ? ? 4 4?
C.[-tan 1,tan 1]

B.?-

? ?

2 2? , ? 2 2?

D.以上均不对

解析:∵-1≤cos x≤1,且函数 y=tan x 在[-1,1]上为增函数,∴tan(-1)≤tan

x≤tan 1.即-tan 1≤tan x≤tan 1.
答案:C π? π ? 5.函数 y=3tan?ω x+ ?的最小正周期是 ,则 ω =________. 6 2 ? ? π π 解析:由题意知,T= = ,∴ω =±2. |ω | 2 答案:±2 6.在(0,2π )内,使 tan x>1 成立的 x 的取值范围为________. 解析:利用图象 y=tan x 位于 y=1 上方的部分对应的 x 的取值范围可知. 答案:?

?π ,π ?∪?5π ,3π ? ? ? ? 2 ? ? 4 2 ? ?4

? π π? 2 7.求函数 y=-tan x+4tan x+1,x∈?- , ?的值域. ? 4 4?
π π 解:∵- ≤x≤ ,∴-1≤tan x≤1. 4 4 令 tan x=t,则 t∈[-1,1]. ∴y=-t +4t+1=-(t-2) +5. π ∴当 t=-1,即 x=- 时,ymin=-4, 4 π 当 t=1,即 x= 时,ymax=4. 4 故所求函数的值域为[-4,4].
2 2

8.直线 y=a(a 为常数)与正切曲线 y=tan ω x(ω 是常数且 ω >0)相交,则相邻两交 点之间的距离是( A. π ω ) B. 2π ω

C.π

D.与 a 的值有关

π 解析:由正切曲线知相邻两交点之间的距离为一个周期,又 T= ,∴选 A. ω 答案:A 1 ?1 9.若函数 y= tan? x+φ 2 ?2

?为奇函数,则 φ =________. ? ?

解析:∵函数为奇函数,∴φ =kπ (k∈Z). 答案:kπ (k∈Z) 10.-tan 6π ? 13π ?的大小关系是________. 与 tan?- 5 ? 5 ? ? 6π π =-tan , 5 5

解析:-tan

? 13π ?=-tan 13π =-tan 3π . tan?- 5 ? 5 5 ? ?
π π 3π ∵0< < < <π , 5 2 5 ∴tan π 3π 6π ? 13π ?. >0>tan ,则-tan <tan?- 5 ? 5 5 5 ? ? 6π ? 13π ? <tan?- ? 5 ? 5 ?

答案:-tan

11.y=tan 满足下列哪些条件?________.(填序号) 2

x

? π? ①在?0, ?上单调递增; 2? ?
②为奇函数; ③以 π 为最小正周期;
? ? ? π kπ ,k∈Z ④定义域为?x?x≠ + 4 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

x ? π? ? π ? 则x∈?0,π ?, ? x? 解析: 令 x∈?0, ?, tan?- ? ? ? 所以 y=tan 2在?0, 2 ?上单调递增正确; 2 4 2 ? ? ? ? ? ? ? 2? x x π x π =-tan ,故 y=tan 为奇函数;T= =2π ,所以③不正确;由 ≠ +kπ ,k∈Z 得, 2 2 ω 2 2
{x|x≠π +2kπ ,k∈Z},所以④不正确. 答案:①② π? ? 12.已知函数 f(x)=2tan?ω x+ ?(ω >0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻 4? ? 交点的距离等于 2π ,求 f(x)的单调递增区间. 解:由题意知,函数 f(x)的周期为 2π , 则 π 1 =2π ,由于 ω >0,故 ω = . |ω | 2

?1 π ? 所以 f(x)=2tan? x+ ?. 4? ?2
π 1 π π 再由 kπ - < x+ <kπ + ,k∈Z, 2 2 4 2

3π π 得 2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z, 2 2 即函数 f(x)的单调递增区间为

?2kπ -3π ,2kπ +π ?,k∈Z. ? 2 2? ? ?

π? ? 2 13.若函数 f(x)=tan x-atan x?|x|≤ ?的最小值为-6.求实数 a 的值. 4? ? 解:设 t=tan x,∵|x|≤
2

π ,∴t∈[-1,1]. 4

则原函数化为:y=t -at=?t- ? - , ? 2? 4 对称轴 t= . 2 ①若-1≤ ≤1,则当 t= 时,ymin=- =-6, 2 2 4 ∴a =24(舍去); ②若 <-1,即 a<-2 时,二次函数在[-1,1]上递增, 2
2

?

a?2 a2

a

a

a

a2

a

a? a2 ? ymin=?-1- ?2- =1+a=-6,∴a=-7;

?

2?

4

③若 >1,即 a>2 时,二次函数在[-1,1]上递减. 2

a

ymin=1-a=-6,∴a=7.综上所述,a=-7 或 a=7.

本节内容是根据正切函数的诱导公式、正切线、正切函数定义等知识来推导、研究的, 注意与正、余弦函数的图象与性质进行类比. 1.正切函数的图象 正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为 x=kπ + 都有一支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数的性质 (1)正切函数 y=tan x 的定义域是
? ? π ? ?x?x≠kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?,值域是 R. ? ?

π ,k∈Z,相邻两条渐近线之间 2

(2)正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π ,函数 y=Atan(ω x+φ )(Aω ≠0)的周期为

T=

π . |ω | π ? π ? (3)正切函数在?- +kπ , +kπ ?(k∈Z)上递增,不能写成闭区间,正切函数无单 2 2 ? ?

调减区间.


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