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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(01)


江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模拟试卷 (01)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分). 1.集合 A={﹣1,0,1},B={x|x=m +1,m∈R},则 A∩B=__________. 2.设复数 z=﹣1﹣i(i 为虚数单位) ,z 的共轭复数为 ,则|(1﹣z) 3.图所示的流程图中,输出的结果是_____

_____. |=__________.
2

4.为了抗震救灾,现要在学生人数比例为 2:3:5 的 A、B、C 三所高校中,用分层抽样 方法抽取 n 名志愿者,若在 A 高校恰好抽出了 6 名志愿者,那么 n=__________. 5.若 的值为__________.

6.已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2: (a﹣2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是 a=__________. 7.已知平面区域 U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x﹣2y≥0},若 向区域 U 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 __________.

8.若双曲线

的焦点到渐近线的距离为

,则实数 k 的值是__________.

9.如图,在△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,D 在斜边 BC 上,且 CD=2DB,则 值为__________.



10.设函数 f(x)=x +4x+5 的图象在 x=1 处的切线为 l,则圆 2x +2y ﹣8x﹣8y+15=0 上的 点到直线 l 的最短距离为__________.

3

2

2

11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E:

+

=1 (a>b>0)的左顶点,

B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆 E 的离心率等 于__________.

12.设 a∈R,若 x>0 时均有[(a﹣1)x﹣1](x ﹣ax﹣1)≥0,则 a=__________. 13.设数列{an}的前 n 项的和为 Sn,已知
*

2

,设

若对一切

n∈N 均有

,则实数 m 的取值范围为__________.

14.已知点 G 是斜△ ABC 的重心,且 AG⊥BG, __________.

+

=

,则实数 λ 的值为

二、解答题. 15.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 ,且 ,求 a+c 的值;

(2)若存在实数 m,使得 2sinA﹣sinC=m 成立,求实数 m 的取值范围. 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形,且 AC⊥CD,PA=AD,M,Q 分别是 PD,BC 的中点. (1)求证:MQ∥平面 PAB; (2)若 AN⊥PC,垂足为 N,求证:MN⊥PD.

17.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 M 在 AB 的 延长线上,N 在 AD 的延长线上,且对角线 MN 过 C 点.已知 AB=3 米,AD=2 米. (I)设 AN=x(单位:米) ,要使花坛 AMPN 的面积大于 32 平方米,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 x∈[3,4) (单位:米) ,则当 AM,AN 的长度分别是多少时,花坛 AMPN 的面积 最大?并求出最大面积.

18. (16 分)已知椭圆

的离心率为

,且过点

,记

椭圆的左顶点为 A. (1)求椭圆的方程; (2)设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B,C 两点,试求△ ABC 面积的最大值; (3)过点 A 作两条斜率分别为 k1,k2 的直线交椭圆于 D,E 两点,且 k1k2=2,求证:直线 DE 恒过一个定点.

19. (16 分)已知函数

(1)求证:函数 f(x)在点(e,f(e) )处的切线横过定点,并求出定点的坐标;

(2)若 f(x)<f2(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 时,求证:在区间(1,+∞)上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函

数 g(x)有无穷多个.

20. (16 分)已知数列{an}是首项
*

,公比

的等比数列,设 bn+15log3an=t,常

数 t∈N ,数列{cn}满足 cn=anbn. (1)求证:{bn}是等差数列; (2)若{cn}是递减数列,求 t 的最小值; (3)是否存在正整数 k,使 ck,ck+1,ck+2 重新排列后成等比数列?若存在,求 k,t 的值; 若不存在,说明理由.

三、附加卷(A) (选修 4-2:矩阵与变换)解答题(共 1 小题,满分 10 分) 21.已知矩阵 线 l',求直线 l'的方程. ,若矩阵 AB 对应的变换把直线 l:x+y﹣2=0 变为直

四、 (A) (选修 4-4:坐标系与参数方程) 22.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ,以极点为坐标原点,极轴为

x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ⊙C 截得的弦 AB 的长度.

(t 为参数) ,求直线 l 被

23. 如图所示, 在棱长为 2 的正方体 AC1 中, 点 P、 Q 分别在棱 BC、 CD 上, 满足 B1Q⊥D1P, 且 . (1)试确定 P、Q 两点的位置. (2)求二面角 C1﹣PQ﹣A 大小的余弦值.

24.设二项展开式 Cn=( +1) (1)计算 C1B1,C2B2 的值;

2n﹣1

(n∈N )的整数部分为 An,小数部分为 Bn.

*

(2)求 CnBn.

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模 拟试卷(01)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分). 1.集合 A={﹣1,0,1},B={x|x=m +1,m∈R},则 A∩B={1}. 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:根据题意,分析可得集合 B={x|x≥1},结合交集的定义,计算可得 A∩B,即可得答案. 解答: 解:根据题意,集合 B={x|x=m +1,m∈R}={x|x≥1}, 又由集合 A={﹣1,0,1}, 则 A∩B={1}, 故答案为{1}. 点评:本题考查集合的交集运算,关键是正确求出集合 B. 2.设复数 z=﹣1﹣i(i 为虚数单位) ,z 的共轭复数为 ,则|(1﹣z) 考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵复数 z=﹣1﹣i,∴ =﹣1+i. ∴(1﹣z) =(1+1+i)?(﹣1+i)=﹣3+i. ∴|(1﹣z) |=|﹣3+i|= . 故答案为: . 点评:本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式,属于基础题. 3.图所示的流程图中,输出的结果是 120. |= .
2 2

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,a 的值,当 a=1 时,不满足条件 a≥2, 输出 S 的值为 120. 解答: 解:执行程序框图,有 a=5,S=1 S=5,a=4 满足条件 a≥2,有 S=20,a=3 满足条件 a≥2,有 S=60,a=2 满足条件 a≥2,有 S=120,a=1 不满足条件 a≥2,输出 S 的值为 120. 故答案为:120. 点评:本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查. 4.为了抗震救灾,现要在学生人数比例为 2:3:5 的 A、B、C 三所高校中,用分层抽样 方法抽取 n 名志愿者,若在 A 高校恰好抽出了 6 名志愿者,那么 n=30. 考点:分层抽样方法. 分析:学生人数比例为 2:3:5,用分层抽样方法抽取 n 名志愿者,每个个体被抽到的概率 相等,A 高校恰好抽出了 6 名志愿者,则每份有 3 人,10 份共有 30 人 解答: 解:∵学生人数比例为 2:3:5, A 高校恰好抽出了 6 名志愿者, ∴n= =30,

故答案为:30. 点评:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地 抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本.这样使得样本更具有代表性.

5.若

的值为



考点:二倍角的余弦;角的变换、收缩变换. 专题:计算题. 分析:利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为 2 化为 2 解答: 解:∵ 1=2 =2× ﹣1= 故答案为: , . ﹣1 ﹣1,将条件代入运算求得结果. =cos2( +α)=2 ﹣ ﹣1,再利用诱导公式

点评: 本题考查诱导公式、 二倍角的余弦公式的应用, 把要求的式子化为 2 ﹣1=2 关键. 6.已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2: (a﹣2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是 a=﹣1. 考点:直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题:计算题. 分析:由已知中,两条直线的方程,l1:x+ay+6=0 和 l2: (a﹣2)x+3y+2a=0,我们易求出他 们的斜率,再根据两直线平行的充要条件,即斜率相等,截距不相等,我们即可得到答案. 解答: 解:∵直线 l1:x+ay+6=0 和 l2: (a﹣2)x+3y+2a=0, ∴k1= ,k2= ﹣1,是解题的

若 l1∥l2,则 k1=k2 即 =

解得:a=3 或 a=﹣1 又∵a=3 时,两条直线重合 故答案为﹣1 点评: 本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系, 其中两个直线平行的充要 条件,易忽略截距不相等的限制,而错解为﹣1 或 3.

7.已知平面区域 U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x﹣2y≥0},若 向区域 U 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 .

考点:几何概型. 专题:计算题. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义, 关键是要找出 A={ (x, y) |x≤4, y≥0, x﹣2y≥0} 对应面积的大小,然后将其代入几何概型的计算公式进行求解.在解题过程中,注意三角形 面积的应用. 解答: 解:依题意可在平面直角坐标系中作出集合 U 与 A 所表示的平面区域(如图) , 由图可知 SU=18,SA=4, 则点 P 落入区域 A 的概率为 .

故答案为: .

点评: 本题考查的知识点是几何概型的意义, 关键是要找出 A={ (x, y) |x≤4, y≥0, x﹣2y≥0} 对应面积的大小, 并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解. 几何概型的概 率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大 小”有关,而与形状和位置无关.

8.若双曲线

的焦点到渐近线的距离为

,则实数 k 的值是 8.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析:先分别求双曲线的渐近线方程,焦点坐标,再利用焦点到渐近线的距离为 求实数 k 的值 解答: 解:双曲线的渐近线方程为 由焦点到渐近线的距离为 ,不妨 ;焦点坐标是 . .解得 k=8.

,可

故答案为 8. 点评:本题主要考查双曲线的几何形状,考查解方程,考查学生分析解决问题的能力

9.如图,在△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,D 在斜边 BC 上,且 CD=2DB,则 值为 24.



考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:用 得结果. 解答: 解:∵由题意可得 =0, ∴ = ?( + )= + =0+ ×36=24, = + = + = + ( )= + , 表示 ,利用 =0,再根据 = ?( + ) ,运算求

故答案为:24. 点评:本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的性质,两 个向量数量积的运算,属于中档题. 10.设函数 f(x)=x +4x+5 的图象在 x=1 处的切线为 l,则圆 2x +2y ﹣8x﹣8y+15=0 上的 点到直线 l 的最短距离为 . 考点:同角三角函数基本关系的运用;直线与圆的位置关系. 专题:计算题. 分析:利用求导法则得到 f(x)的导函数,由函数 f(x)=x +4x+5 的图象在 x=1 处的切线 为 l,将 x=1 代入导函数解析式中求出导函数值,即为切线 l 的斜率,将 x=1 代入函数解析 式中 f(1)的值,得到切点坐标,确定出切线 l 的方程,将圆的方程化为标准方程,找出圆 心坐标和半径 r,利用点到直线的距离公式求出圆心到切线 l 的距离 d,用 d﹣r 即可求出圆 2 2 2x +2y ﹣8x﹣8y+15=0 上的点到直线 l 的最短距离. 2 解答: 解:求导得:f′(x)=3x +4, ∴切线 l 的斜率 k=f′(1)=3+4=7,且 x=1 时,f(1)=1+4+5=10, ∴切线 l 的方程为 y﹣10=7(x﹣1) ,即 7x﹣y+3=0, 将圆 2x +2y ﹣8x﹣8y+15=0 化为标准方程得: (x﹣2) +(y﹣2) = ,
2 2 2 2 3 3 2 2

∴圆心(2,2)到切线 l 的距离 d=
2 2

=



则圆 2x +2y ﹣8x﹣8y+15=0 上的点到直线 l 的最短距离为 d﹣r=



=



故答案为: 点评:此题考查了直线与圆的位置关系,曲线上某点切线方程的斜率,圆的标准方程,直线 的点斜式方程,以及点到直线的距离公式,其中直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆 的半径.

11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E:

+

=1 (a>b>0)的左顶点,

B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆 E 的离心率等 于 .

考点:椭圆的简单性质. 分析:首先利用椭圆的对称性和 OABC 为平行四边形,可以得出 B、C 两点是关于 Y 轴对 称, 进而得到 BC=OA=a; 设B (﹣ , y) C ( , y) , 从而求出|y|, 然后由∠OAB=∠COD=30°, 利用 tan30°= b/ = ,求得 a=3b,最后根据 a =c +b 得出离心率.
2 2 2

解答: 解:∵AO 是与 X 轴重合的,且四边形 OABC 为平行四边形 ∴BC∥OA, B、C 两点的纵坐标相等, B、C 的横坐标互为相反数 ∴B、C 两点是关于 Y 轴对称的. 由题知:OA=a 四边形 OABC 为平行四边形,所以 BC=OA=a 可设 B(﹣ ,y)C( ,y) 代入椭圆方程解得:|y|= b,

设 D 为椭圆的右顶点,因为∠OAB=30°,四边形 OABC 为平行四边形 所以∠COD=30°

对 C 点:tan30°= 解得:a=3b 根据:a =c +b 得:a =c + e= e= 故答案为: .
2 2 2 2 2 2

=

点评:本题考查了椭圆的对称性以及简单性质,由椭圆的对称性求出 B、C 两点的纵坐标进 而得到 a=3b 是解题的关键,属于中档题. 12.设 a∈R,若 x>0 时均有[(a﹣1)x﹣1](x ﹣ax﹣1)≥0,则 a= .
2

考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的概念及应用. 分析:分类讨论, (1)a=1; (2)a≠1,在 x>0 的整个区间上,我们可以将其分成两个区间, 在各自的区间内恒正或恒负,即可得到结论. 解答: 解: (1)a=1 时,代入题中不等式明显不成立. (2)a≠1,构造函数 y1=(a﹣1)x﹣1,y2=x ﹣ax﹣1,它们都过定点 P(0,﹣1) . 考查函数 y1=(a﹣1)x﹣1:令 y=0,得 M( ,0) ,
2

∴a>1; 2 2 考查函数 y2=x ﹣ax﹣1,∵x>0 时均有[(a﹣1)x﹣1](x ﹣ax﹣1)≥0, ∴y2=x ﹣ax﹣1 过点 M(
2

,0) ,代入得:



解之得:a= ,或 a=0(舍去) . 故答案为: .

点评:本题考查不等式恒成立问题,解题的关键是构造函数,利用函数的性质求解. 13.设数列{an}的前 n 项的和为 Sn,已知
*

,设

若对一切

n∈N 均有

,则实数 m 的取值范围为 m<0 或 m≥5.

考点:数列的求和. 专题:计算题;等差数列与等比数列.

分析:依题意,可求得 an 与 bn,从而可求得
2

bk =

∈[ , ) ,利用[ , )?

( ,m ﹣6m+ 解答: 解:∵ ∴当 n≥2 时, + +…+

)即可求得实数 m 的取值范围. + +…+ = ,①

=

,②

∴①﹣②得:

=



=



∴Sn=n(n+1) (n≥2) . 当 n=1 时, = = ,

∴a1=2,符合 Sn=n(n+1) (n≥2) . ∴Sn=n(n+1) . ∴可求得 an=2n. ∴bn= = = .



= ,b1= ,

∴{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列.



bk=

=

∈[ , ) ,



bk∈( ,m ﹣6m+
2

2

) ,

∴[ , )?( ,m ﹣6m+

) ,





解得:m<0 或 m≥5. 故答案为:m<0 或 m≥5.

点评: 本题考查求数列的通项与数列求和, 突出考查集合间的包含关系与解不等式组的能力, 综合性强,难度大,属于难题. 14.已知点 G 是斜△ ABC 的重心,且 AG⊥BG,

+

=

,则实数 λ 的值为 .

考点:正弦定理;余弦定理. 专题:三角函数的求值. 分析:首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半,得到 CD= AB,再应用余弦定理推出 AC +BC =5AB ,将 公式化简得 λ=
2 2 2

+

=

应用三角恒等变换

,然后运用正弦定理和余弦定理,结合前面的结论,即可求

出实数 λ 的值. 解答: 解:如图,连接 CG,延长交 AB 于 D, 由于 G 为重心,故 D 为中点, ∵AG⊥BG,∴DG= AB, 由重心的性质得,CD=3DG,即 CD= AB, 由余弦定理得,AC =AD +CD ﹣2AD?CD?cos∠ADC, 2 2 2 BC =BD +CD ﹣2BD?CD?cos∠BDC, ∵∠ADC+∠BDC=π,AD=BD, 2 2 2 2 ∴AC +BC =2AD +2CD , ∴AC +BC = AB + AB =5AB , 又∵ ∴ 则 λ= = = . = = = = + + = = , ,
2 2 2 2 2 2 2 2

故答案为:

点评:此题考查了正弦、余弦定理,三角形的重心性质,熟练掌握定理及公式是解本题的关 键. 二、解答题. 15.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 ,且 ,求 a+c 的值;

(2)若存在实数 m,使得 2sinA﹣sinC=m 成立,求实数 m 的取值范围. 考点:余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题:计算题;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)根据 A、B、C 成等差数列得到
2 2 2

,从而将
2 2

化简得到 ac=3.再 ; ,结 ) ,由此

由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 的式子, 整理得到 3=a +c ﹣ac, 两式联解即可得到 (2)根据 C= ﹣A,将等式左边展开,化简得到 2sinA﹣sinC=

合 A 的取值范围并利用正弦函数的图象与性质,算出 2sinA﹣sinC∈( 即可得到实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)∵A、B、C 成等差数列, ∴2B=A+C,结合 A+B+C=π,可得 ∵ ∴ac=3. ① 由余弦定理,得 ∴3=a +c ﹣ac,可得 a +c =3+ac=6. 由此联解①、②,得 . (2)2sinA﹣sinC= = ∵ ,∴ = , , ,
2 2 2 2

, ,

,得



由此可得 2sinA﹣sinC 的取值范围为 即 m 的取值范围为( )

点评:本题给出三角形的边角关系式和向量数量积的值,求三角形角 B 的大小和 a+c 的值, 着重考查了平面向量数量积运算公式、 运用正余弦定理解三角形和三角函数的图象与性质等 知识,属于中档题.

16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形,且 AC⊥CD,PA=AD,M,Q 分别是 PD,BC 的中点. (1)求证:MQ∥平面 PAB; (2)若 AN⊥PC,垂足为 N,求证:MN⊥PD.

考点: 直线与平面平行的判定; 空间中直线与直线之间的位置关系; 直线与平面垂直的性质. 专题:证明题;综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)取 PA 的中点 E,连结 EM、BE,根据三角形的中位线定理证出 ME∥AD 且 ME= AD,平行四边形中 Q 是 BC 的中点,可得 BQ∥AD 且 BQ= AD,因此四边形 MQBE 是平行四边形,可得 MQ∥BE,再结合线面平行的判定定理可得 MQ∥平面 PAB; (2)由 PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥CD,结合 AC⊥CD 可得 CD⊥平面 PAC,从而有 AN⊥CD. 又因为 AN⊥PC, 结合 PC、 CD 是平面 PCD 内的相交直线, 可得 AN⊥平面 PCD, 从而得到 AN⊥PD.等腰△ PAD 中利用“三线合一”,证出 AM⊥PD,结合 AM、AN 是平面 AMN 内的相交直线,得到 PD⊥平面 AMN,从而得到 MN⊥PD. 解答: 解: (1)取 PA 的中点 E,连结 EM、BE, ∵M 是 PD 的中点,∴ME∥AD 且 ME= AD, 又∵Q 是 BC 中点,∴BQ= BC, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴BC∥AD 且 BC=AD,可得 BQ∥ME 且 BQ=ME, ∴四边形 MQBE 是平行四边形,可得 MQ∥BE,… ∵BE?平面 PAB,MQ?平面 PAB, ∴MQ∥平面 PAB;… (2)∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又∵AC⊥CD,PA、AC 是平面 PAC 内的相交直线, ∴CD⊥平面 PAC,结合 AN?平面 PAC,得 AN⊥CD. … 又∵AN⊥PC,PC、CD 是平面 PCD 内的相交直线, ∴AN⊥平面 PCD,结合 PD?平面 PCD,可得 AN⊥PD,… ∵PA=AD,M 是 PD 的中点,∴AM⊥PD,… 又∵AM、AN 是平面 AMN 内的相交直线,∴PD⊥平面 AMN, ∵MN?平面 AMN,∴MN⊥PD.…

点评:本题在四棱锥中证明线面平行、线线垂直.着重考查了三角形中位线定理、空间直线 与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质等知识,属于中档题. 17.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 M 在 AB 的 延长线上,N 在 AD 的延长线上,且对角线 MN 过 C 点.已知 AB=3 米,AD=2 米. (I)设 AN=x(单位:米) ,要使花坛 AMPN 的面积大于 32 平方米,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 x∈[3,4) (单位:米) ,则当 AM,AN 的长度分别是多少时,花坛 AMPN 的面积 最大?并求出最大面积.

考点:函数模型的选择与应用. 专题:应用题. 分析:先由相似性表示 AM,建立四边形 AMPN 的面积模型, (I)解关于 x 的不等式; (II)先对面积函数模型求导,用导数法求最值. 解答: 解:由于 ,则 AM=

故 SAMPN=AN?AM=

(1)由 SAMPN>32 得
2

>32,

因为 x>2,所以 3x ﹣32x+64>0,即(3x﹣8) (x﹣8)>0 从而 即 AN 长的取值范围是

(2)令 y=

,则 y′=

因为当 x∈[3,4)时,y′<0,所以函数 y=

在[3,4)上为单调递减函数,

从而当 x=3 时 y=

取得最大值,即花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米,

此时 AN=3 米,AM=9 米 点评: 本题主要考查用相似性构建边的关系, 建立平面图形面积函数模型及导数法解模求最 值的能力.

18. (16 分)已知椭圆

的离心率为

,且过点

,记

椭圆的左顶点为 A. (1)求椭圆的方程; (2)设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B,C 两点,试求△ ABC 面积的最大值; (3)过点 A 作两条斜率分别为 k1,k2 的直线交椭圆于 D,E 两点,且 k1k2=2,求证:直线 DE 恒过一个定点.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据椭圆 =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 P( ) ,建立方程,

求出几何量,从而可得椭圆 C 的方程; (2)设 B(m,n) ,C(﹣m,n) ,则 S△ ABC= ×2|m|×|n|=|m|?|n|,利用基本不等式可求△ ABC 面积的最大值; (3)设 AB、AC 的方程,代入椭圆方程可求 B、C 的坐标,从而可得直线 BC 的方程,整 理并令 y=0,即可证得直线 BC 恒过定点. 解答: (1)解:∵椭圆 的离心率为 ,且过点 ,



,解得



所以椭圆 C 的方程为 x +2y =1…4 分 (2)解:设 B(m,n) ,C(﹣m,n) ,则 S△ ABC= ×2|m|×|n|=|m|?|n|,…6 分 又 号…8 分 从而 S△ ABC≤ ,即△ ABC 面积的最大值为 …9 分 |m|?|n|,所以|m|?|n| ,当且仅当 时取等

2

2

(3)证明:因为 A(﹣1,0) ,所以 AD:y=k1(x+1) ,AE:y=k2(x+1) , 由 ,消去 y,得 ,解得 x=﹣1 或

x=





同理 E(



∵k1k2=2,∴

…12 分

∴直线 DE 的方程为



即 y﹣

,即

y= 所以 2k1 y+4y﹣(3x+5)k1=0 则由
2

…14 分

,得直线 DE 恒过定点

…16 分.

点评:本题考查椭圆的标准方程,考查三角形面积的计算,考查基本不等式的运用,考查直 线恒过定点,属于中档题. 19. (16 分)已知函数

(1)求证:函数 f(x)在点(e,f(e) )处的切线横过定点,并求出定点的坐标; (2)若 f(x)<f2(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 时,求证:在区间(1,+∞)上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函

数 g(x)有无穷多个. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最 小值问题中的应用. 专题:综合题. 分析: (1)先求出导数 处的切线的斜率为 (2)先令 ,根据导数的几何意义得出 f(x)在点(e,f(e) ) ,从而写出切线方程得出切线恒过定点; <0,对 x∈(1,+∞)

恒成立, 利用导数求出 p(x)在区间(1,+∞)上是减函数,从而得出:要使 p(x)<0 在此区间 上恒成立,只须满足 (3)当 记 时, ,由此解得 a 的范围即可. . .利用导数研究它的单调性,

得出 y=f2(x)﹣f1(x)在(1,+∞)上为增函数,最后得到满足 f1(x)<g(x)<f2(x) 恒成立的函数 g(x)有无穷多个. 解答: 解: (1)因为 为 , , . <0,对 x∈(1,+∞)恒 ,所以 f(x)在点(e,f(e) )处的切线的斜率

所以 f(x)在点(e,f(e) )处的切线方程为 整理得 (2)令 成立, ,所以切线恒过定点

因为

(*) 令 p'(x)=0,得极值点 x1=1, ①当 时,有 x2>x1=1,即 , 时,在(x2,+∞)上有 p'(x)>0,

此时 p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p(x)∈(p(x2) ,+∞) , 不合题意; ②当 a≥1 时,有 x2<x1=1,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有 p(x)∈(p(1) , +∞) ,也不合题意; ③当 时,有 2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 p'(x)<0,

从而 p(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 p(x)<0 在此区间上恒成立,只须满足 所以 . . ,

综上可知 a 的范围是 (3)当 记 时,



因为 所以

,所以 y=f2(x)﹣f1(x)在(1,+∞)上为增函数, ,设 ,则 f1(x)<R(x)<f2(x) ,

所以在区间(1,+∞)上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函数 g(x)有无穷多 个. 点评: 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、 导函数的正负与原函数的单调性之 间的关系等,注意应用导数的性质:当导函数大于 0 时原函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.

20. (16 分)已知数列{an}是首项 数 t∈N ,数列{cn}满足 cn=anbn. (1)求证:{bn}是等差数列;
*

,公比

的等比数列,设 bn+15log3an=t,常

(2)若{cn}是递减数列,求 t 的最小值; (3)是否存在正整数 k,使 ck,ck+1,ck+2 重新排列后成等比数列?若存在,求 k,t 的值; 若不存在,说明理由. 考点:数列递推式;数列的函数特性;等差关系的确定;等比数列的性质. 专题:综合题;压轴题. 分析: (1)由题意知, ,再由 ,得 b1=

﹣15log3a1+t=t+5,由此能够证明{bn}是等差数列. (2)由 bn=5n+t,知 ,

恒成立,再由



递减函数,知当 n=1 时取最大值, 值. (3)记 5k+t=x, ,

,由此能求出 t 的最小



,再分情况讨论进行求解.

解答: 解: (1)由题意知,



因为

,b1=﹣15log3a1+t=t+5

∴数列 bn 是首项为 b1=t+5,公差 d=5 的等差数列. (2)由(1)知,bn=5n+t, ,

恒成立,即

恒成立,

因为

是递减函数,

所以,当 n=1 时取最大值, 因而 t>6.3,因为 t∈N,所以 t=7. (3)记 5k+t=x, ,





. ①若 ck 是等比中项,则由 ck+1?ck+2=ck 得 化简得 2x ﹣15x﹣50=0,
2 2

解得 x=10 或 所以 5n+t=10,因而 又由常数 t∈N ,则
*

(舍) , 及 舍去,
2



②若 ck+1 是等比中项,则由 ck?ck+2=ck+1 得

化简得 x(x+10)=(x+5) ,显然不成立. (16 分) 2 ③若 ck+2 是等比中项,则由 ck?ck+1=ck+2 得

2

化简得 2x ﹣5x﹣100=0, 因为△ =5 +4×2×100=25×33 不是完全不方数, 因而 x 的值是无理数, 显然不成立. 则符合条件的 k、t 的值为 . (18 分)

2

2

点评: 本题考查等差数列的证明方法、 以递减数列为载体求参数的最小值和利用分类讨论思 想在等比数列中的运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件. 三、附加卷(A) (选修 4-2:矩阵与变换)解答题(共 1 小题,满分 10 分) 21.已知矩阵 线 l',求直线 l'的方程. ,若矩阵 AB 对应的变换把直线 l:x+y﹣2=0 变为直

考点:逆矩阵与投影变换;矩阵与矩阵的乘法的意义. 专题:计算题. 分析:先计算矩阵 AB 对应的变换,再求出在变换下点的坐标之间的对应关系,从而可求直 线 l'的方程. 解答: 解:∵ ,



=

…,

在直线 l 上任取一点 P(x′,y′) ,经矩阵 AB 变换为点 Q(x,y) ,则 ,









代入 x′+y′﹣2=0 中得



∴直线 l′的方程为 4x+y﹣8=0… 点评:本题重点考查矩阵变换,考查矩阵变换的运用,解题的关键是求出矩阵 AB 对应的变 换 四、 (A) (选修 4-4:坐标系与参数方程) 22.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ,以极点为坐标原点,极轴为

x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ⊙C 截得的弦 AB 的长度.

(t 为参数) ,求直线 l 被

考点:直线的参数方程;直线与圆的位置关系;简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题. 分析:先两边同乘以 ρ,利用公式即可得到圆的圆心和半径,再将参数方程化为普通方程, 结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得. 2 解答: 解:⊙C 的方程化为 ρ=4cosθ+4sinθ,两边同乘以 ρ,得 ρ =4ρcosθ+4ρsinθ 2 2 2 由 ρ =x +y ,x=ρcosθ,y=ρsinθ, 2 2 得 x +y ﹣4x﹣4y=0… 其圆心 C 坐标为(2,2) ,半径 ,

又直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣2=0, ∴圆心 C 到直线 l 的距离 ∴弦长 … ,

点评:考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式.要求学生 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置 的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.属于中等题. 23. 如图所示, 在棱长为 2 的正方体 AC1 中, 点 P、 Q 分别在棱 BC、 CD 上, 满足 B1Q⊥D1P, 且 . (1)试确定 P、Q 两点的位置. (2)求二面角 C1﹣PQ﹣A 大小的余弦值.

考点:用空间向量求平面间的夹角. 专题:综合题. 分析: (1)以 ,利用 为正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,设 ,得出关于 a 的方程并求解即可.

(2)分别求出平面 C1PQ、面 APQ 的一个法向量,利用两向量夹角求二面角 C1﹣PQ﹣A 大小. 解答: 解: (1)以 , 则 (0,2,2) , ∵B1Q⊥D1P, ∴ ∴ , , , ,B1(2,0,2) ,D1 , 为正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,设

解得 a=1… ∴PC=1,CQ=1,即 P、Q 分别为 BCCD 中点… (2)设平面 C1PQ 的法向量为 ,

∵ 又 ∴ , … ,



令 c=﹣1,则 a=b=2, ∵ ∴ 故余弦值为 …

为面 APQ 的一个法向量, ,而二面角为钝角

点评:本题考查空间直线、平面位置关系的判断,二面角大小求解,考查空间想象能力、推 理论证、计算、转化能力.利用向量这一工具,解决空间几何体问题,能够降低思维难度. 24.设二项展开式 Cn=( +1) (1)计算 C1B1,C2B2 的值; (2)求 CnBn.
2n﹣1

(n∈N )的整数部分为 An,小数部分为 Bn.

*

考点:二项式定理. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)将 n 分别用 1,2 代替求出 C1,C2,利用多项式的乘法展开,求出 C1,C2 的小 数部分 B1,B2,求出 C1B1,C2B2 的值. (2)利用二项式定理表示出 Cn,再利用二项式定理表示出 减得到展开式的整数部分和小数部分,求出 CnBn 的值. 解答: 解: (1)因为 所以 又 所以 C2B2=8. (2)因为 ,A1=2, , ,所以 C1B1=2; ,其整数部分 A2=20,小数部分 , ,两个式子相

① 而



①﹣②得: =2 ( 而 ,所以 ) ,

所以



点评: 解决二项式的有关问题一般利用二项式定理; 解决二项展开式的通项问题常利用的工 具是二项展开式的通项公式.


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