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2.4正态分布教学设计


普通高中课程标准实验教科书 数学(人教 A 版)选修 2-3

2.4 正态分布
设计教师:高二数学组

一、教学目标及其解析 (一)教学目标:
1.通过正态曲线的图象认识正态曲线,通过正态曲线了解正态分布. 2.了解正态曲线的基本特点. 3.了解正态曲线随着参数 μ 和 σ 变化而变化的特点.了解正态分布的 3σ 原则

. (二)解析: 正态分布在统计中是很常见的分布,它能刻画很多随机现象。从生活实践入手,描绘频率直 方图,进而理解正态曲线,结合定积分的有关知识理解其概率分布列,结合图象认识参数 μ ,σ 的几何意义.提高学生用数学知识分析现实问题的能力.善于从复杂多变的现象中 发现问题的实质,提高识别能力.

二、教学重难点解析 (一)重点、难点:
重点:了解正态曲线随着参数 μ 和 σ 变化而变化的特点.了解正态分布的 3σ 原则. 难点:通过正态曲线的图象认识正态曲线,通过正态曲线了解正态分布.

(二)解析:正态分布密度函数的推导是十分困难的,一般教科书采用直接给出 正态分布密度函数表达式的方法, 这使学生在很长一段时间是不理解正态分布的 实际含义。 可以通过直观方法引入正态分布密度曲线,也可以用样本平均值和样 本标准差来估计,正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系,单峰性,对称 性,峰值的位置环境等。 三、教学过程设计
问题 1.什么是正态曲线? 问题 2.什么是正态分布?正态分布又有哪些特点? 例 1.如图是一个正态曲线, 试根据该图象写出其正态分布的概率密度 函数的解析式,求出总体随机总量的均值和方差. [解] 从正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值为 1 ,所以 μ=20, 2 π 1 1 = , 2πσ 2 π ∴σ= 2. 于是 φμ,σ(x)= · e 4 ,x∈(-∞,+∞),总体随机变量的期望是 μ=20, 方差是 σ2 2 π =( 2)2=2. 方法归纳 本题主要考查正态曲线的图象及性质特点,其具有两大明显特征:1.对称轴方程 x=μ; 1 2.最值 .这两点把握好了, 参数 μ, σ 便确定了, 代入 φμ,σ(x)中便可求出相应的解析式. σ 2π 变式训练 1. 1


?x-20?2

-?x-μ?2

如图,曲线 C1:f(x)=
?x-μ?2


1 e 2πσ2 1

2σ2

(x∈R),曲线 C2:φ(x)=

1 e 2πσ2

2σ2

(x∈R),则(

)

A.μ1<μ2 B.曲线 C1 与 x 轴相交 C.σ1>σ2 D.曲线 C1,C2 分别与 x 轴所夹的面积相等 解析:选 D.由正态曲线的特点易知 μ1>μ2,σ1<σ2,曲线 C1,C2 分别与 x 轴所夹面积相 等,故选 D. 例 2.设 X~N(1,22),试求: (1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5). [解] 因为 X~N(1,22),所以 μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. (2)因为 P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1), 所以 P(3<X≤5) 1 = [P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] 2 1 = [P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] 2 1 = [P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] 2 1 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2 方法归纳 对于正态分布 N(μ,σ2),由 x=μ 是正态曲线的对称轴知: (1)对任意的 a,有 P(X<μ-a)=P(X>μ+a); (2)P(X<x0)=1-P(X≥x0); (3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a). 变式训练 2. 在某项测量中,测量结果服从正态分布 N(1,4),求正态总体 X 在区间(-1,1)内取值的概 率. 解:∵由题意知 μ=1,σ=2, ∴P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=0.682 6. 又∵密度函数关于直线 x=1 对称, 1 ∴P(-1<X<1)=P(1<X<3)= P(-1<X<3)=0.341 3. 2 例 3.某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布 N(70,102),如果规定低于 60 分 的学生为不及格学生. (1)成绩不及格的人数占多少? (2)成绩在 80~90 之间的学生占多少? [解] (1)设学生的得分情况为随机变量 X, 则 X~N(70,102),其中 μ=70,σ=10. 在 60 到 80 之间的学生占的比为 P(70-10<X≤70+10)=0.682 6=68.26%, 1 ∴不及格的学生所占的比为 ×(1-0.682 6)=0.158 7=15.87%. 2

(2)成绩在 80 到 90 之间的学生所占的比为 1 1 ×[P(70 - 2×10<X≤70 + 2×10) - P(70 - 10<X≤70 + 10)] = ×(0.954 4 - 0.682 6) = 2 2 13.59%. 方法归纳 运用 3σ 原则时,关键是将给定的区间转化为用 μ 再加上或减去几个 σ 来表示;当要求 服从正态分布的随机变量的概率其所在的区间不对称时, 不妨先通过分解或合成, 再求其对 称区间概率的一半解决问题. 变式训练 3. 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间 X(单位:分) 近似服从正态分布 X~N(50,102),求他在(30,60]分内赶到火车站的概率. 解:∵X~N(50,102), ∴μ=50,σ=10. ∴P(30<X≤60)=P(30<X≤50)+P(50<X≤60) 1 1 = P(μ-2σ<X≤μ+2σ)+ P(μ-σ<X≤μ+σ) 2 2 1 1 = ×0.954 4+ ×0.682 6=0.818 5. 2 2 即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是 0.818 5. 例 4.(1)如图为 σ 取三个不同值 σ1, σ2, σ3 时的三种正态曲线 N(0, σ2) 的图象,那么 σ1,σ2,σ3 的大小关系是( ) A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3 C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ3 1 -2 [解析] 当 μ=0,σ=1 时,正态分布密度函数 f(x)= e ,x∈(-∞,+∞),当 x 2π 1 =0 时,取得最大值 ,所以 σ2=1.由正态曲线的特点知:当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 2π 确定.σ 越小,曲线越“瘦高”;σ 越大,曲线越“矮胖”,于是有 0<σ1<σ2=1<σ3. [答案] D (2)把一条正态曲线 C 沿着 x 轴正方向移动 2 个单位,得到一条新的曲线 C′,下列说 法不正确的是( ) A.曲线 C′仍然是正态曲线 B.曲线 C 和曲线 C′的最高点的纵坐标相等 C.以曲线 C′为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C 为概率密度曲线的总体的方差 大2 D. 以曲线 C′为概率密度曲线的总体的均值比以曲线 C 为概率密度曲线的总体的均值 大2 [解析] 在正态曲线沿着 x 轴方向水平移动的过程中 σ 始终保持不变,所以曲线的最高 1 ? 点的纵坐标?即正态分布密度函数的最大值 和方差 σ2 没有变化.设曲线 C 的对称轴为 σ 2π? ? x=m,那么曲线 C′的对称轴为 x=m+2,说明均值从 m 变到了 m+2,增大了 2. [答案] C (3)已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那 么这个曲线中的 μ 值为________. [解析] 正态总体的数据落在这两个区间内的概率相等,说明在这两个区间上位于正态 曲线下方的面积相等;又两个区间的长度相等,所以正态曲线在这两个区间上是对称的.易 知区间(-3,-1)和区间(3,5)关于直线 x=1 对称,因此 μ=1.
x2

[答案] 1 1 [名师点评] (1)正态曲线在 x=μ 处达到峰值 及当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定 σ 2π 这两条性质.根据题设中的图象,数形结合易得到结论. (2)理解正态分布的实质,由正态曲线,过点(a,0)和点(b,0)的两条 x 轴的垂线及 x 轴所围 成的平面图形的面积,就是随机变量 X 落在区间(a,b)的概率的近似值,以及正态曲线的对 称性.应注意的是,如果两个区间的长度不相等,就不能根据这两个区间上位于正态曲线下 方的面积相等得出正态曲线在这两个区间上是对称的. 例 5.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1), 且 P(2≤X≤4)=0.682 6, 则 P(X>4)=( ) A.0.158 8 B.0.158 7 C.0.158 6 D.0.158 5 [解析] 由于 X 服从正态分布 N(3,1),故正态分布曲线的对称轴为 x=3. 所以 P(X>4)=P(X<2), 1-P?2≤X≤4? 故 P(X>4)= =0.158 7. 2 [答案] B [感悟提高] 化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一,在解决正态分布的应 用问题时,化归与转化思想起着不可忽视的作用. 本小题考查正态分布的有关知识, 求解时应根据 P(X>4)+P(X<2)+P(2≤X≤4)=1 将问 题转化.

四.目标检测
1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数 φμ,σ(x)中参数 μ,σ 的意义分别是样本的均值与方差.( ) (2)正态曲线是单峰的,其与 x 轴围成的面积是随参数 μ,σ 的变化而变化的.( (3)正态曲线可以关于 y 轴对称.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.下列函数是正态分布密度函数的是( )
?x-μ?2

)

A.f(x)=

1 e 2πσ

2σ2 x2

,μ,σ(σ>0)都是实数

2π - 2 B.f(x)= · e 2π 1 C.f(x)= e 2 2π

?x-1?2 σ

1 2 D.f(x)= e 2π

x2

2π - 2 1 -2 解析:选 B.f(x)= · e = e . 2π 2π 3. 设 X~N(μ, σ2), 当 X 在(1,3]内取值的概率与在(5,7]内取值的概率相等时, μ=________. 解析:根据正态曲线的对称性知 μ=4. 答案:4 4.如何求服从正态分布的随机变量 X 在某区间内取值的概率? 解:首先找出服从正态分布时 μ,σ 的值,再利用 3σ 原则求某一个区间上的概率,最后 利用在 x=μ 对称的区间上概率相等求得结果.

x2

x2

五.课堂小结

六.课后作业:
[学业水平训练] 1.(2014· 东营检测)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9),若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则 c =( ) A.1 B.2 C.3 D.4 c+1+c-1 解析: 选 B.∵μ=2, 由正态分布的定义知其函数图象关于 x=2 对称, 于是 = 2 2,∴c=2.故选 B. 1 2.设随机变量 X~N(1,32),则 D( X)等于( ) 3 A.9 B.3 1 C.1 D. 3 2 解析:选 C.∵X~N(1,3 ),∴D(X)=9. 1 1 ∴D( X)= D(X)=1. 3 9 3.(2014· 沈阳高二检测)设随机变量 ξ~N(0,1),若 P(ξ>1)=p,则 P(-1<ξ<0)=( ) 1 A. +p B.1-p 2 1 C.1-2p D. -p 2 解析:选 D.如图,P(ξ>1)表示 x 轴、x>1 与正态密度曲线围成区域的面 积,由正态密度曲线的对称性知:x 轴、x<-1 与正态密度曲线围成区域的 1-2p 1 面积也为 p,所以 P(-1<ξ<0)= = -p. 2 2 2 4.关于正态分布 N(μ,σ ),下列说法正确的是( ) A.随机变量落在区间长度为 3σ 的区间之外是一个小概率事件 B.随机变量落在区间长度为 6σ 的区间之外是一个小概率事件 C.随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件 D.随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件 解析:选 D.∵P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4. ∴P(X>μ+3σ 或 X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)=1-0.997 4=0.002 6. ∴随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件. 5.设正态总体落在区间(-∞,-1)和区间(3,+∞)的概率相等,落在区间(-2,4)内的 概率为 99.7%,则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为( ) 1 A.(1, ) B.(1, 2) 2π 1 C.( ,1) D.(1,1) 2π 解析:选 A.正态总体落在区间(-∞,-1)和(3,+∞)的概率相等,说明正态曲线关于 x=1 对称,所以 μ=1. 又在区间(-2,4)内的概率为 99.7%, ∴1-3σ=-2,1+3σ=4,∴σ=1. 1 ? 1 - 2 ∴f(x)= e ,x∈R,∴最高点的坐标为?1, . 2π? ? 2π 6.(2014· 临沂一中检测)如图是三个正态分布 X~N(0,0.25),Y~N(0,1),Z~N(0,4)的 密度曲线,则三个随机变量 X,Y,Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.
?x-1?2

解析:在密度曲线中,σ 越大,曲线越“矮胖”;σ 越小,曲线越“瘦高”. 答案:① ② ③ 7.若随机变量 X~N(μ,σ2),则 P(X≤μ)=________. 1 解析:由于随机变量 X~N(μ,σ2),其中概率密度函数关于 x=μ 对称,故 P(X≤μ)= . 2 1 答案: 2 8.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0).若 ξ 在(0,1)内取值的概率 为 0.4,则 ξ 在(2,+∞)上取值的概率为________. 1 1 解析:由正态分布的特征易得 P(ξ>2)= ×[1-2P(0<ξ<1)]= ×(1-0.8)=0.1. 2 2 答案:0.1 9.设 X~N(5,1),求 P(6<X≤7). 解:由已知得 P(4<X≤6)=0.682 6 P(3<X≤7)=0.954 4. 又∵正态曲线关于直线 x=5 对称, ∴P(3<X≤4)+P(6<X≤7)=0.954 4-0.682 6 =0.271 8. 由对称性知 P(3<X≤4)=P(6<X≤7), 0.271 8 所以 P(6<X≤7)= =0.135 9. 2 10.商场经营的某种包装的大米质量 X 服从正态分布 N(10,0.12)(单位:kg),任取一袋 大米,质量在 10 kg~10.2 kg 的概率是多少? 解:∵X~N(10,0.12), ∴μ=10,σ=0.1. ∴P(9.8<X≤10.2)=P(10-2×0.1<X≤10+2×0.1)=0.954 4. 又∵正态曲线关于直线 x=10 对称, 1 ∴P(10<X≤10.2)= P(9.8<X≤10.2)=0.477 2, 2 ∴质量在 10 kg~10.2 kg 的概率为 0.477 2.


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