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福建省泉州市2013届高三5月质量检查数学理试题 Word版含答案


准考证号 (在此卷上答题无效)

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2013 年泉州市普通高中毕业班质量检测

理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其它题为 必考题.本试卷共 6 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答

题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作 答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 、 x 2 、?、 x n 的标准差:

s ?

1 n

? ( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ? x n ? x ? ? ,其中 x 为样本平均数;
2 2

?

柱体体积公式: V ? S h ,其中 S 为底面面积, h 为高; 锥体体积公式: V ?
1 3 S h ,其中 S 为底面面积, h 为高; 4 3

球的表面积、体积公式: S ? 4 ? R , V ?
2

? R ,其中 R 为球的半径.
3

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 a ? R ,且 0 ? a ? 1 ,i 为虚数单位,则复数 z ? a ? ( a ? 1)i 在复平面内所对应的点 位于 A. 第一象限 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.对于直线 m 、 n 和平面 ? ,若 n ? ? ,则“ m / / n ”是“ m / / ? ”的 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若公比为 2 且各项均为正数的等比数列 ? a n ? 中, a 4 ? a1 2 ? 6 4 ,则 a 7 的值等于 A.2 B.4 C.8 4.某车间加工零件的数量 x 与加工时间 y 的统计数据如下表: 零件数 x (个) 加工时间 y (分钟) 10 21 20 30 30 39 D.16

? ? ? y 现已求得上表数据的回归方程 ? ? b x ? a 中的 b 值为 0.9,则据此回归模型可以预测,加 工 100 个零件所需要的加工时间约为 A.84 分钟 B.94 分钟 C.102 分钟 D.112 分钟

5.已知点 P ? x , y ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上运动,则 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? 的最小值为 ks5u
2 2

A. C.

1 2

B. D.

2 2

3 2

3 2 2

6.执行如图所示程序框图所表达的算法,输出的结果是 A. 99 C. 120 B. 100 D. 142

7.已知向量 a ? ? 1 , 2 ? , b ? ? m ? 1 , m ? 3 ? 在同一平面内,若对于这一平面内的任意向量 c , 都有且只有一对实数 ? , ? ,使 c = ? a + ? b ,则实数 m 的取值范围是 A. m ? ?
1 3

B. m ? 5

C. m ? ? 7

D. m ? ?

5 3

8.公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后,小型汽车的号牌已经可以采用“自主编 排”的方式进行编排. 某人欲选由 A、B、C、D、E 中的两个不同字母,和 0、1、2、3、 4、5、6、7、8、9 中的 3 个不同数字,组成的三个数字都相邻的一个号牌,则他选择号 牌的方法种数最多有 A.7200 种 B.14400 种 C.21600 种 D.43200 种
2

9.已知周期函数 f ( x ) 的定义域为 R ,周期为 2,且当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 1 ? x .若直 线 y ? ? x ? a 与曲线 y ? f ( x ) 恰有 2 个交点,则实数 a 的所有可能取值构成的集合为 A. { a | a ? 2 k ? B. { a | a ? 2 k ?
3 4 1 4

或2k ? 或2k ?

5 4 3 4 5 4

,k ? Z } ,k ? Z } ,k ? Z

C. { a | a ? 2 k ? 1 或 2 k ?

}

D. { a | a ? 2 k ? 1 , k ? Z }

10. 如图, 等腰梯形 A B C D 中,A B // C D 且 A B ? 2 , A D ? 1 ,D C ? 2 x ( x ? (0,1)) . 以 A ,
B 为焦点,且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ;以 C , D 为焦点,且过

D

C

点 A 的椭圆的离心率为 e 2 ,则 e1 ? e 2 的取值范围为___________. A. ? 2, ? ? ?
?3 3 ?1 ? 2 ? , ?? ? ? ?

B. ? 5 , ? ? ? D. ? 5 ? 1, ? ? ?

A

B

C. ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置. 11.设全集 U ? R , A ? ? ? 1, 0 ,1, 2 , 3? , B ? ? x lo g 2 x ? 1? , 则 A ? ( C U B ) ? 12.已知 a ? b ,则在下列的一段推理过程中,错误的推理步骤有 上所有错误步骤的序号)
? a ? b, ? a ? a ? b ? a ,即 2 a ? b ? a ,

. . (填

???????????① ????②

? 2 a ? 2 b ? b ? a ? 2 b ,即 2 ? a ? b ? ? a ? b , ? 2 ?a ? b???a ? b? ? ?a ? b???a ? b? ,

即2 ?a ? b? ? ?a ? b? ,
2 2

??????????③ ??????????④
2

∵ ( a ? b ) ? 0 ,∴可证得 2 ? 1 .
2

13.已知 ? A B C 的三个内角 A , B , C 满足 s i n A ? s i nB ? s i n C , 是 .

则角 C 的取值范围

14. 如图所示的三个等腰直角三角形是某几何体的三视图, 则该几何体 的外接球的表面积为 (1) ? x , y ? P , x ? y ? P ; . (2) ? 1 ? P ; 15.设集合 P ? Z ,且满足下列条件: (3)P 中的元素有正数,也有负数; (4)P 中存在是奇数的元素. 现给出如下论断:① P 可能是有限集;② ? m , n ? P , m n ? P ; ③0 ? P ; 其中正确的论断是 ④2 ? P . . (写出所有正确论断的序号)

1
正视图 侧视图

俯视图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知 ? ? 0 ,函数 f ? x ? ? sin ? x ? co s ? x ? (Ⅰ)试求 ? 的值; (Ⅱ)在图中作出函数 f ? x? 在区间
3 sin ? x ?
2

3 2

的最小正周期为 ? .

y
1 3 2 2 2

? 0 , ? ? 上的图象,并根据图象写出
其在区 间 ? 0 , ? ? 上的单调递减区
-

1 2

O
1 2

π 12

π 6

π 4

π 3

5π 12

π 2

7π 12

2π 3

3π 4

5π 6

11π 12

π

x

间.
-

2 2 3 2 -1

17.(本小题满分 13 分) 小王经营一家面包店, 每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤 面包可获利 10 元,若当天卖不完,则未卖出的现烤面包因过期每个亏损 5 元.经统计, 得到在某月(30 天)中,小王每天售出的现烤面包个数 n 及天数如下表: 售出个数 n 天数 10 3 11 3 12 3 13 6 14 9 15 6

试依据以频率估计概率的统计思想,解答下列问题: (Ⅰ)计算小王某天售出该现烤面包超过 13 个的概率; (Ⅱ)若在今后的连续 5 天中,售出该现烤面包超过 13 个的天数大于 3 天,则小王决 定增加订购量. 试求小王增加订购量的概率. (Ⅲ)若小王每天订购 14 个该现烤面包,求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列 和数学期望. 18.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为坐标原点,上焦点为 F ? 0 ,1 ? ,离心率 e ?
1 2

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A ? m , 0 ? ? m
? 0 ? 为 x 轴上的动点,过点 A 作直

线 l 与直线 A F 垂直,试探究直线 l 与椭圆 C 的位置 关系.

1

9. (本小题满分 13 分) 如图,四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A A1 ? 平面 A B C D . (Ⅰ)从下列①②③三个条件中选择一个做为 A C ? B D 1 的充分条件,并给予证明; ① A B ? B C ,② A C ? B D ;③ A B C D 是平行四边形. (Ⅱ)设四棱柱 A B C D ? A1 B1 C 1 D1 的所有棱长都为 1,且
? B A D 为锐角,求平面 B D D 1 与平面 B C 1 D 1 所成锐

D1 A1 C1

二面角 ? 的取值范围.
A

B1

D C B

20. (本小题满分 14 分)
x

已 知 函 数 f ( x ) ? a ln x ? b x ? x ? 0 ? , g ( x ) ? x ? e ? 1 ? x ? 0 ? , 且 函 数 f ( x ) 在 点
P ?1 , f

? 1 ? 处的切线方程为 y ?

? 2x ?1.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设点 Q ? x 0 , f ? x 0 ? ? ,当 x 0 ? 1 时,直线 P Q 的斜率恒小于 m ,试求实数 m 的取 值范围; (Ⅲ)证明: g ( x ) ? f ( x ) .

21. 本题有(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 、 、 分.每个答题框内只能解答 1 个小题,作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对 应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 如图, 单位正方形区域 O A B C 在二阶矩阵 M 的作用下变成平行四边形 O A B 1 C 1 区域. (Ⅰ)求矩阵 M ; (Ⅱ)求 M ,并判断 M 是否存在逆矩阵? 若存在,求出它的逆矩阵.
2 2

y

y

C

B

1

C1

B1

O

A

x

O

A

2 x

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t, ?x ? 1? ? 2 在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 的参数方程为: ? ( t 为参数) .以 2 ? y ? t ? ? 2

坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为
? ? 2 2 sin( ? ? ?
4 ).

(Ⅰ)求曲线 C 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于点 M , N ,若点 P 的坐标为 (1, 0 ) ,求 | P M | ? | P N | 的 值.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? | x | , x ? R . (Ⅰ)解不等式 f ( x ? 1) ? 2 ; (Ⅱ)若 [ f ( x )] ? y ? z ? 9 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最小值.
2 2 2

泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检测 理科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.D 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9 C. 10.B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11、 ? ? 1, 0, 3 ? ; 12、③; 13、 ? 0 ,
? ?

? ?

? 3?



14、 3 ? ;

15、②③④.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查三角恒等变型、三角函数的图象和性质等基础知识,考查运算求解能力, 考查函数与方程思想等. 满分 13 分. 解: (Ⅰ) f ? x ? ?
1 2 s in 2 ? x ? 3 2 c o s 2? x

……2 分 ……4 分
2? 2? ? ? ,且 ? ? 0 ,

? ? ? ? s in ? 2 ? x ? ?, 3 ? ?

因为函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? 所以 ? ? 1 . (Ⅱ)因为 f ? x ? ? s in ? 2 x ?
? ?

……6 分
? ?
? , x ? ?0, ? ? . 3 ?

列对应值表:
x

0
?
3 ?

?
6

5? 12

2? 3

1 1? 12 3? 2

?
5? 3
? 3 2

2x ?

?
3

0
3

?
2

?

f ( x)

?

0

1

0

-1

2

……8 分

描点,并参照弦形曲线的走向特征,用 光滑曲线把各对应点顺次联结起来画 图,得函数 f ? x ? 在区间 ? 0 , ? ? 上的图 象如图所示. ……11 分 根据图象可得单调递减区间为
? 5 ? 1 1? ? , . ? 12 12 ? ? ?

y
1 3 2 2 2

1 2

O
1 2

π 12

π 6

π 4

π 3

5π 12

π 2

7π 12

2π 3

3π 4

5π 6

11π 12

π

x

. ……13 分

2 2 3 2 -1

17.本小题主要考查概率与统计的基础知识,考查运算求解能力以及应用意识,考查必然与 或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)记事件 A=“小王某天售出超过 13 个现烤面包” ,……1 分 用频率估计概率可知: P ( A ) ? 0 .2 ? 0 .3 ? 0 .5 . ……2 分 所以小王某天售出超过 13 个现烤面包的概率为 0.5. ……3 分 (Ⅱ)设在最近的 5 天中售出超过 13 个的天数为 ? , 则 ? ? B (5, ) .
2 1

…..5 分

记事件 B=“小王增加订购量” , 则有 P ( B ) ? P ( ? ? 4 ) ? P ( ? ? 5 ) ? C 5 ( ) ( ) ? C 5 ( ) ?
4 4 5 5

1

1

1

3 16



2

2

2

所以小王增加订购量的概率为

3 16

.

……8 分

(Ⅲ)若小王每天订购 14 个现烤面包,设其一天的利润为? 元, 则? 的所有可能取值为 80,95,110,125,140. …..9 分 其分布列为 利润? 概率 P ……11 分 则 E (? ) ? 8 0 ? 0 .1 ? 9 5 ? 0 .1 ? 1 1 0 ? 0 .1 ? 1 2 5 ? 0 .2 ? 1 4 0 ? 0 .5 ? 1 2 3 .5 所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为 123.5 元. …..13 分 18.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)由条件可知 c ? 1 ,? e ? 所以椭圆 C 的标准方程为
x
1 2
2

80 0.1

95 0.1

110 0.1

125 0.2

140 0.5

?

c a
2

,? a ? 2 ,b ?
? 1.

3 ,……3 分

?

y

……4 分

3

4

(Ⅱ)? k A F

? ?

1 m

,? k l ? m , ……6 分

则直线 l : y ? m ? x ? m ? . ……7 分

联立 y ? m ? x ? m ? 与 有 ? 4 ? 3m
2

x

2

?

y

2

?1

3

4
4

?x
6

2

? 6 m x ? 3 m ? 1 2 ? 0 , ……9 分
3

则 ? ? 36 m ? 4 ? 4 ? 3m
? ? 4 8 ? m ? 1? ? m
2 2

? ? ? 3m ? 12 ? ? ?48 ? m ? 3m ? 4 ? ? 4 ? ? ? 4 8 ? m ? 1 ? ? m ? 2 ? ? m ? 2 ? ,……10 分
2 4 4 2 2

? m ? 0 ,? m ? 1 ? 0 , m ? 2 ? 0 ,
2

则当 0 ? m ? 2 时, ? ? 0 ,此时直线 l 与椭圆 C 相交; ……11 分 当 m ? 2 时, ? = 0 ,此时直线 l 与椭圆 C 相切; ……12 分 当 m ? 2 时, ? ? 0 ,此时直线 l 与椭圆 C 相离. ……13 分 19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)条件② A C ? B D ,可做为 A C ? B D 1 的充分条件. 证明如下:
? A A1 ? 平面 A B C D , A A1 / / D D 1 , ? D D 1 ? 平面 A B C D ,

……1 分

z D1 A1 O1 B1 A D O C y C1

……2 分

∵ A C ? 平面 A B C D ,? D D 1 ? A C . 若条件②成立,即 A C ? B D ,

B

∵ D D1 ? B D ? D ,
? A C ? 平面 B D D 1 ,

x

……3 分

又 B D 1 ? 平面 B D D 1 ,? A C ? B D 1 . …..4 分 (Ⅱ)由已知,得 A B C D 是菱形,? A C ? B D . 设 A C ? B D = O , O 1 为 B 1 D 1 的中点, 则 O O 1 ? 平面 A B C D , ∴ O O 1 、 A C 、 B D 交于同一点 O 且两两垂直. ……5 分 以 O B , O C , O O 1 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.6 分 设 O A ? m , O B ? n ,其中 m ? 0, n ? 0, m ? n ? 1 ,
2 2

则 A (0, ? m , 0 ) , B ( n , 0 , 0 ) , C (0 , m , 0 ) , C 1 (0 , m ,1) , D 1 ( ? n , 0,1) ,
???? ? ???? ? B C 1 ? ( ? n , m ,1) , B D 1 ? ( ? 2 n , 0,1) ,
?

……7 分

设 n ? ( x , y , z ) 是平面 B C 1 D 1 的一个法向量,
? ???? ? ? n ? B C1 ? 0, ? ? xn ? ym ? z ? 0, ? 由 ? ? ???? 得? 令 x ? m ,则 y ? ? n , z ? 2 m n , ? ? ? 2 xn ? z ? 0, ? n ? B D1 ? 0 , ?

? ? n ? (m , ? n, 2m n) ,
????

……9 分

又 A C ? (0 , 2 m , 0 ) 是平面 B D D 1 的一个法向量, ……10 分
? ???? | n ? AC | ? c o s ? ? ? ???? ? | n || A C | 2mn m ? n ? 4m n ? 2m
2 2 2 2

?

n 1 ? 4m n
2 2

?

n

2 2 2

1 ? 4m n

, ……11 分 令 t ? n ,则 m ? 1 ? t ,? ? B A D 为锐角,
2 2

?0? n ?

2 2

,则 0 ? t ?

1 2

, cos ? ?

t 1 ? 4 t (1 ? t )

?

1 1 t ? 4t ? 4



因为函数 y ?

1 t

? 4t 在 (0, 1 2

1 2

) 上单调递减,? y ?

1 t

? 4t ? 0 ,

所以 0 ? co s ? ? 又0 ? ? ?
? 2

,……12 分 ks5u
? 3 ?? ? ? 2 ? ? , ) . …13 分 3 2

, ?

,ks5u

即平面 B D D 1 与平面 B C 1 D 1 所成角的取值范围为 (

20.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归 与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)? f ( x ) ? a ln x ? b x ? x ? 0 ? ,? f ? ( x ) ?
a x ? b . ……1 分

? 函数 f ( x ) 在点 P ? 1, f ?1 ? ? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,ks5u

? f (1) ? 1, ? ? ? f ? (1) ? 2 ,

即?

?

b ?1

?a ? b ? 2

, 解得 a ? b ? 1 , ……2 分

? f ( x ) ? ln x ? x ? x ? 0 ? .

……3 分
ln x 0 ? x 0 ? 1 x0 ? 1

(Ⅱ)由 P ? 1,1 ? 、 Q ? x 0 , ln x 0 ? x 0 ? ,得 k P Q ?


ln x 0 ? x 0 ? 1 x0 ? 1 ? m

? ∴ “当 x 0 ? 1 时, 直线 P Q 的斜率恒小于 m ” 当 x 0 ? 1 时,

恒成立 ? ln x 0 ? ? 1 ? m ? ? x 0 ? 1 ? ? 0 对 x 0 ? ? 1 , ? ? ? 恒成立. ……4 分 令 h ? x 0 ? ? ln x 0 ? ? 1 ? m ? ? x 0 ? 1 ? , ( x 0 ? 1) .
1 x0

则 h ? ? x0 ? ?

? ?1 ? m ? ?

?1 ? m ? x 0
x0

?1

, ……5 分

(ⅰ)当 m ? 1 时,由 x 0 ? 1 ,知 h ? ? x 0 ? ? 0 恒成立, ∴ h ? x 0 ? 在 ? 1, ? ? ? 单调递增, ∴ h ? x 0 ? ? h ? 1 ? ? 0 ,不满足题意的要求. ……6 分 (ⅱ)当1 ? m ? 2 时, 1 ? m ? 0 ,
1 m ?1 ? 1,

h ? ? x0 ? ? ?
? ?

?1 ? m ? x 0 ? 1
x0
? ? m ?1? 1 1

(1 ? m )( x 0 ? ? x0

1 m ?1

)


1

∴当 x 0 ? ? 1,
? ?

,h ? ? x 0 ? ? 0 ;当 x 0 ? ?

?

? , + ? ? ,h ? ? x 0 ? ? 0 . ? m ?1 ?

即 h ? x 0 ? 在 ? 1,

? ? 1 ? , + ? ? 单调递减. ? 单调递增;在 ? m ?1? ? m ?1 ?

所以存在 t ? ? 1, ? ? ? 使得 h ? t ? ? h ? 1 ? ? 0 ,不满足题意要求. ……7 分 (ⅲ)当 m ? 2 时, 0 ?
1 m ?1 ? 1 ,对于 x 0 ? 1 , h ? ? x 0 ? ? 0 恒成立,

∴ h ? x 0 ? 在 ? 1, ? ? ? 单调递减, 恒有 h ? x 0 ? ? h ? 1 ? ? 0 , 满足题意要求.…8 分 综上所述:当 m ? 2 时,直线 P Q 的斜率恒小于 m . ……9 分

x (Ⅲ)证明:令 h ? x ? ? g ( x ) ? f ( x ) ? x ? e ? ln x ? x ? 1 ? x ? 0 ? ,


h ? ? x ? ? ? x ? 1? ? e ?
x

1 x

?1 ?

? x ? 1?
x

? ? x ? e ? 1? ?
x

? x ? 1?
x

? g ? x ? ,…10 分

? g ? ( x ) ? ? x ? 1 ? ? e ? 0 ( x ? 0 ) ,ks5u
x

? 函数 g ( x ) 在 ? 0, ? ? ? 递增,g ( x ) 在 ? 0, ? ? ? 上的零点最多一个. …11

分 又? g (0 ) ? ? 1 ? 0 , g (1) ? e ? 1 ? 0 ,
? 存在唯一的 c ? ? 0 ,1 ? 使得 g ( c ) ? 0 ,

……12 分

且当 x ? ? 0 , c ? 时, g ? x ? ? 0 ;当 x ? ? c , ? ? ? 时, g ? x ? ? 0 . 即当 x ? ? 0 , c ? 时, h ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? c , ? ? ? 时, h ? ? x ? ? 0 .
? h ( x ) 在 ? 0 , c ? 递减,在 ? c , ? ? ? 递增,

从而 h ? x ? ? h ? c ? ? c ? e ? ln c ? c ? 1 .
c

……13 分

由 g ( c ) ? 0 得 c ? e ? 1 ? 0 且 ln c ? c ? 0 ,? h ? c ? ? 0 ,
c

? h ? x? ? h ?c? ? 0 ,

从而证得 g ( x ) ? f ( x ) .

……14 分

21. (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 ks5u (1) 解: (Ⅰ)设 M ? ? 由?
?a ?c

?a ?c

b? ?a ? ,由 ? d ? ?c

b ??1? ?1? ? ? ? ? ? ? ,得 a ? 1, c ? 0 , d ??0? ?0?

b ? ? 0 ? ?1? ? ? ? ? ? ? ,得 b ? 1, d ? 1 , d ? ? 1 ? ?1?

?1 ?M ? ? ?0

1? ? ;??????3 分 1? 1? ? 1 ? ? 1? ? 0
1? ? 1 ?? ? 1? ? 0 ?2 ? ?. 1 ? 2? ?, 1?
2

(Ⅱ) M

2

?1 ? ? ?0
2

?| M

| ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ,? M

存在逆矩阵, ??????????7 分

?1 2 ? M 的逆矩阵为 ? ?0

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解: (Ⅰ)由 ? ? 2 2 sin( ? ?
2

?
4

) ,得 ? ? 2 sin ? ? 2 co s ? ,

当 ? ? 0 时,得 ? ? 2 ? sin ? ? 2 ? co s ? , 对应直角坐标方程为: x ? y ? 2 y ? 2 x .
2 2

当 ? ? 0 , ? 有实数解,说明曲线 C 过极点,而方程 x ? y ? 2 y ? 2 x 所 表示的曲线也过原点.
2 2

∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 . ???????3 分
2 2

(Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得
? 2 ? 2 2 t? ?( t ? 1) ? 2 , ? ? 2 ? 2 ? ?
2

即t ?
2

2 t ? 1 ? 0 ,由于 ? ? 6 ? 0 ,故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,

则 t1 t 2 ? ? 1 .

……5 分 ???7

∵直线 l 过点 P (1, 0 ) , ∴由 t 的几何意义,可得 | P M | ? | P N |? | t1 | ? | t 2 | ? | t1 ? t 2 |? 1 . 分 (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)原不等式化为 | x ? 1 | ? 2 ,
? x ? 1 ? ? 2 或 x ? 1 ? 2 ,即 x ? ? 1 或 x ? 3 , ? 原不等式的解集为 { x | x ? ? 1 或 x ? 3} .

??????3 分
2 2 2 2

(Ⅱ)由已知,得 x ? y ? z ? 9 ,
2 2 2

由柯西不等式,得 ( x ? 2 y ? 2 z ) ? ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 2 ) ? 8 1 ,
2 2 2

? x ? 2 y ? 2 z ? ?9 ,

……5 分

y z ? ? ? 0, ? x ? 当且仅当 ? 即 x ? ? 1, y ? ? 2, z ? ? 2 时 等 号 成 2 2 ? x 2 ? y 2? z 2 9 , ? ?

立,……6 分 所以, x ? 2 y ? 2 z 的最小值为 ? 9 . ??????7 分


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