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立体几何(向量方法) 知识精要 1. 证明两条直线平行,只需证明这两条直线上的向量共线(即成倍数关系) .证明两条直 线平行,只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零. 2. 通 过 法 向 量 , 把 线 面 、 面 面 的 角 转 化 为 线 线 的 角 . 从 而 可 以 利 用 公 式 cos ? ? ? ?? | ? || ? | 求解. 3. 建立空间直角坐标系.

1 例题 1 如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC= PA,点 2 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 ABC. (Ⅰ)求证 OD ∥平面 PAB ; (Ⅱ) 求直线 OD 与平面 PBC 所成角的大小. P D A O B C 解答? OP ? 平面ABC,OA ? OC,AB ? BC, ? OA ? OB,OA ? OP,OB ? OP. 以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O ? xyz ?如图?, ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 设AB ? a,则A ? ? 2 a,0,0 ? , B ? 0, 2 a,0 ? , C ? ? 2 a,0,0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z P D 设OP ? h,则P ? 0,0, h ? . Ⅰ ? ?? D为PC的中点, A x ???? ? ??? ? 2 ? ? 2 1 ? ? OD ? ? ? a,0, h ? , 又 PA ? ? a,0, ?h ?, ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? O B C y ???? ? 1 ??? ? OD ? ? PA. 2 ???? ??? ? ? OD∥PA. ? OD∥平面PAB. ?Ⅱ? ? PA ? 2a, ? h ? ???? ? 2 14 ? 7 a, ? OD ? ? ? ? 4 a,0, 4 a ? , ? 2 ? ? ???? ? ???? ? ? ? OD ? n 210 1? . 可求得平面PBC的法向量n ? ? ?1,1, ? , ? cos?OD, n? ? ???? ? ? ? ? 30 7? OD ? n ? ???? ? 210 设OD与平面PBC所成的角为?, sin ? ? cos?OD, n? ? 则 , 30 210 . ? OD与平面PBC所成的角为arcsin 30 练习 1 如图, 已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,AB ? 2, AA1 ? 1 , 直线 BD 与平面 AA1 B1 B 所 成的角为 30 , AE 垂直 BD 于 E , F 为 A1 B1 的中点. 1 0 (Ⅰ)求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (Ⅱ)求平面 BDF 与平面 AA1 B 所成二面角 (锐角) 的大小; (Ⅲ)求点 A 到平面 BDF 的距离 王新敞 奎屯 新疆 A1 F B1 A C1 E C D1 D 解答 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,以 AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AA1 所在直线为 z 轴建立空间直 角坐标系如图. B 由已知 AB ? 2, AA1 ? 1 ,可得 A(0,0,0), B(2,0,0), F (1,0,1) .又 AD ? 平面 AA1 B1 B ,从面 BD 与平面 AA1 B1 B 所成的角即为 ?DBA ? 300 2 3 又 AB ? 2, AE ? BD, AE ? 1, AD ? 3 从而易得 E

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