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9连续函数性质(合并进7)


第九节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理
二、介值定理

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定理 1 . ( 最大最小值定理 )

闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 .

/>
即: 设 f ( x) ? C [ a , b ] ,
a ? x?b

? ?1 , ? 2 ? [ a , b ] , 使

f (?1 ) ? min f ( x)
f (? 2 ) ? max f ( x)
a ? x ?b

y y ? f (x)

oa

b

x

2

闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 .
分析 : 两个条件缺一不可 : 2) . 函数连续 . 1) . 闭区间 ; 反例 : 1 1) . g( x ) ? 在开区间 (0 , 1) 上连续 , 但没有最大值 . x(1 ? x ) 在闭区间 ?0 , 2? 上除 x ? 1 外 x ?1 ? x ?1 ? 2) . ? ( x ) ? ? 1 x ?1 处处连续 , 它没有最大值 ? x ?1 x ?1 ? 和最小值 .
y ? g( x )

( 最大最小值定理 )

y ? ? ( x)

o

1

o

1

3

定理 2 . ( 有界性定理 )

闭区间上的连续函数有界 . 因为 m ? f ( x ) ? M 当 x ? ?a , b? 时成立 ,
或 f ( x ) ? max? M , m ? 在 ? a , b ? 上成立 .
定理 3 . ( 零点定理 ) 函数 f ( x ) 在闭区间 ?a , b? 上连续 , f (a ) ? f (b) ? 0 ,

那么在开区间 ?a , b ?内至少有一点? , 使 ? ?( a , b ) f (? ) ? 0
?

证明从略 .

b

a

?1

a

?2b
4

定理 4 . ( 介值定理 )

函数 f ( x ) 在闭区间 ?a , b? 上连续 , f (a ) ? A , f (b) ? B

且 A ? B , 那么 , 对于 A 与 B 之间的任意一个数C , 在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点? , 使 f (? ) ? C ? ?( a , b )
证明 . 令 ? ( x ) ? f ( x ) ? C ,

则 ? ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 , 且 ? (a ) 与 ? (b) 异号 ,

应用零点定理得 : 在开区间 ( a , b ) 内至少有一点 ? , 使


? (? ) ? 0 , f (? ) ? C ? 0 ,
f (? ) ? C ? ? ( a , b)

B

?

C A

a

? b

5

推论 闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与 最小值m 之间的任何值 .
证 . 设 f ( x1 ) ? m , f ( x2 ) ? M , m ? M ,
即得上述推论 .
M

在闭区间[ x1 , x2 ] ? 或 [ x2 , x1 ] ?上应用介值定理 ,

C m

a x 2 ? x1 b
6

例 1 . 证明方程 x ? a sin x ? b , 其中 a ? 0 , b ? 0 , 至少有一个正根 , 并且它不超过 a ? b .
证 . 设 f ( x ) ? x ? a sin x ? b ,

则 f ( x ) 在闭区间 ? 0 , a ? b ? 上连续 , 且

f (0) ? ? b ? 0 , f (a ? b) ? a ? b ? a sin( a ? b) ? b ? a [1 ? sin( a ? b) ] ? 0 .
若 f (a ? b) ? 0 , 则 a ? b 就是原方程的一个根 ; 若 f (a ? b) ? 0 , 在 ? 0 , a ? b ? 上应用零点定理 , 存在 ? ? ( 0 , a ? b ) , 使 f (? ) ? 0 . 此 ? 就是原方程的一个根 .
7

例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明:

在区间 又 使

内至少有



x ? 1 , f (1) ? 1 ? 0 , 2 2 8
则 ( 1 ,1) 内必有方程的根 ; 2
取 的中点 x ? 3 , f ( 3 ) ? 0 , 4 4

二分法

?

?
1 2

0

1 x ? ?
3 4

则 ( 1 , 3 ) 内必有方程的根 ; ? 可用此法求近似根. 2 4

例 2 . 若 f ( x ) 在 ? a , b ? 上连续 , a ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? b ,

则在 [ x1 , xn ] 上必有 ? , 使
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ??? f ( xn ) f (? ) ? . n

证 . f ( x ) 在 [ x1 , xn ] 上连续 ,
设 M ? max
x?[ x1 , x n ]

f ( x) , m ?

x?[ x1 , x n ]

min

f ( x) ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ??? f ( xn ) 记 C? n ?C 为 f ( xi ) 的算术平均数 ? 则有 m ? C ? M ,

在 [ x1 , xn ] 上应用介值定理得 : 存在 ? ?[ x1 , xn ] , 使 f (? ) ? C .
9

例3 . 证明 : 若 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 内连续 , 且 lim f ( x )
存在 , 则 f ( x ) 必在 ( ? ? , ? ? ) 内有界 .
x ??

证 . 设 lim f ( x ) ? A ,
x ??

给定 ? ? 1 ,

?X ? 0 ,

当 x ? X 时,

A ? ? ? f ( x) ? A ? ? . ? f ( x) ? A ? ? ? A ? 1 .
又当 x ? X 时 , 即当 x ? ? ? X , ? X ?时 , f ( x) ? K . ?
( 闭区间上的连续函数有界 )

f ( x ) ? max{ K , | A| ?1} 在 ( ? ? , ? ? ) 内成立 .

) ?X

( X

10

小结 :
最大最小值定理 , 有界性定理 , 零点定理 ,

介值定理及其推论归纳为:
闭区间 [ a , b ] 上的连续函数 f ( x ) : 1. 存在最大值 M 和最小值 m ; 2 . 有界 ;

? ?C ? m M ? ?? 3 . ? C ? ??m ,, M ??,, ?? ? ?a , b ? , 使 f (? ) ? C .
( 介值定理和零点定理是3 的特殊情况 . )
11


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