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2.5 简单复合函数的求导法则 课件(北师大版选修2-2)


* 导数的加减法法则: ? ? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x ) ? g ?( x) ? f ( x) ? g ( x )? ? ? f ?( x ) ? g ?( x ) * 导数的乘除法法则: ? f ( x ) g ( x )? ? ? ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? f ( x) ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? g ( x) ? ? 2 g ( x) ? ? 引例 一艘油轮发生泄漏事故,泄出的原油在海面上形 成一个圆形油膜,其面积 S 是半径 r 的函数: S ? f ( r ) ? ?r 油膜半径 r 随着时间 t 的增加而扩大,其函数关 2 系为: r ? ? (t ) ? 2t ? 1 问:油膜面积 S 关于时间 少? t 的瞬时变化率是多 分析: 油膜面积 S 关于时间 S ? f ?? (t )? ? ? ( 2t ? 1) t 的新函数: 2 由于 f ?? (t )? ? f ( 2t ? 1) ? ? ( 4t 2 ? 4t ? 1) 所以由导数的运算法则可得: ? f ?? (t )?? ? ? ? (8t ? 4) ? 4? ( 2t ? 1) ∵ f ?(r ) ? 2?r , r? ? ? ?(t ) ? 2 ∴ ? f ?? (t )??? ? 2? ( 2t ? 1) ? 2 ? f ?(2t ? 1)? ?(t ) 概括 一般地,对函数 y ? f (u ) 和 u ? ? ( x) ? ax ? b , 给定 x 的一个值,可得 u 的值,进而确定 y 的值, 这就确定了新函数 y ? f (ax ? b),它是由 y ? f (u ) 和u ? ? ( x) ? ax ? b复合而成的,我们称之为复合函 数,其中 u 是中间变量。 复合函数 y ? f (ax ? b) 的导数: ? ? f (u )? ? f ?(u )? ?( x) ? af ?(ax ? b) 注意: 复合函数的中间变量可以是任何函数,在高中 阶段我们只讨论 u ? ? ( x) ? ax ? b 的情况。 推广: 复合函数 y ? f ?? ( x )? 中,令 u ? ? ( x ),则 对x求导 ? f ?? ( x)?? ? f ?(u )? ?( x) 注意:不要写成 f ??? ( x )?! 对? ( x )求导 ? 例1 求函数 y ? 3 x ? 1 的导数。 解析 例2 求函数 y ? ( 2 x ? 1) 的导数。 3 解析 例3 一个港口的某一观测点的水位在退潮过程中, 水面高度 y 关于时间 t 的函数为: 100 y ? h(t ) ? 2t ? 1 求其在 t ? 3 时的导数,并解释其意义。解析 例4 求下列函数的导数: (1) y ? f ( x ) 2 ( 2) y ? f (sin x ) 前面所求的都是具体的复合函数的导数,而此题 中的对应法则 f 是未知的,是抽象的复合函数。它们 的导数如何求得?? 解析 复合函数求导法则的注意问题: (1)首先要弄清复合关系,特别要注意中间变量; (2)尽可能地将函数化简,然后再求导; (3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用; (4)复合函数求导法则,常被称为“链条法则”, 一环套一环,缺一不可。 例3 动手做一做 1.

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