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课时跟踪检测(十二) 直线与平面垂直的判定


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课时跟踪检测(十二)
层级一
中,一定能推出 m⊥β 的是( A.α∥β,且 m?α C.m⊥n,且 n?β 解析:选 B )

直线与平面垂直的判定

学业水平达标

1.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合

的平面,那么下面给出的条件

B.m∥n,且 n⊥β D.m⊥n,且 n∥β

A 中,由 α∥β,且 m?α,知 m∥β;B 中,由 n⊥β,知 n 垂直于平面 β

内的任意直线,再由 m∥n,知 m 也垂直于 β 内的任意直线,所以 m⊥β,符合题意;C、D 中,m?β 或 m∥β 或 m 与 β 相交,不符合题意,故选 B. 2.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线( A.平行 C.异面 B.相交 D.以上皆有可能 )

解析:选 D 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,A1A,B1B 与底面 ABCD 所成的角相等, 此时两直线平行;A1B1,B1C1 与底面 ABCD 所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC 与底面 ABCD 所成的角相等,此时两直线异面.故选 D. 3.下列四个命题中,正确的是( )

①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直; ②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面; ③若一条直线平行于一个平面,另一条直线垂直于这个平面,则这两条直线互相垂直; ④若两条直线垂直,则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直. A.①② C.②④ 解析:选 D ①②不正确. 4.如图,α∩β=l,点 A,C∈α,点 B∈β,且 BA⊥α,BC⊥β,那么直线 l 与直线 AC 的关系是( A.异面 C.垂直 ) B.平行 D.不确定 B.②③ D.③④

解析:选 C ∵BA⊥α,α∩β=l,l?α,∴BA⊥l.同理 BC⊥l.又 BA∩BC=B,∴l⊥平 面 ABC.∵AC?平面 ABC,∴l⊥AC. 5.如图所示,若斜线段 AB 是它在平面 α 上的射影 BO 的 2 倍,则 AB 与平面 α 所成的角是( A.60° C.30° ) B.45° D.120°

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解析:选 A ∠ABO 即是斜线 AB 与平面 α 所成的角, 1 在 Rt△AOB 中,AB=2BO,所以 cos∠ABO= , 2 即∠ABO=60°. 6.已知直线 l,a,b,平面 α,若要得到结论 l⊥α,则需要在条件 a?α,b?α,l⊥a, l⊥b 中另外添加的一个条件是________. 答案:a,b 相交 7.如图所示,三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=AB,则直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于________. 解析:因为 PA⊥平面 ABC,所以斜线 PB 在平面 ABC 上的射影为 AB,所以∠PBA 即为直线 PB 与平面 ABC 所成的角.在△PAB 中,∠BAP=90°,PA= AB,所以∠PBA=45°,即直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于 45°. 答案:45° 8.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PC⊥BD,则平行四边形 ABCD 一定是________.

解析:如图,∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA.又 BD⊥PC,PA∩PC =P,∴BD⊥平面 PAC.又 AC?平面 PAC,∴BD⊥AC.∴平行四边形 ABCD 为菱形. 答案:菱形 9.如图,在四面体 ABCD 中,∠BDC=90°,AC=BD=2,E,F 分别为 AD,BC 的中点,且 EF= 2. 求证:BD⊥平面 ACD. 证明:取 CD 的中点为 G,连接 EG,FG. 又∵E,F 分别为 AD,BC 的中点,∴FG∥BD,EG∥AC. ∵AC=BD=2,则 EG=FG=1. ∵EF= 2,∴EF2=EG2+FG2,∴EG⊥FG, ∴BD⊥EG. ∵∠BDC=90°,∴BD⊥CD. 又 EG∩CD=G,∴BD⊥平面 ACD. 10.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E 是 A1B1 的中点, 求 直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值.

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解:如图,取 CD 的中点 F,连接 EF 交平面 ABC1D1 于 O,连接 AO,B1C. 由 ABCDA1B1C1D1 为正方体,易得 B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,BC1∩D1C1=C1,BC1? 平面 ABC1D1,D1C1?平面 ABC1D1,∴B1C⊥平面 ABC1D1. ∵E, F 分别为 A1B1, CD 的中点, ∴EF∥B1C, ∴EF⊥平面 AC1, 即∠EAO 为直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角. 1 1 2 在 Rt△EOA 中,EO= EF= B1C= , 2 2 2 AE= A1E2+AA2 1= ∴sin∠EAO= EO 10 = . AE 5 10 . 5

?1?2+12= 5, ?2? 2

∴直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值为

层级二
A.平面 DD1C1C C.平面 A1B1C1D1 答案:B 2.下面四个命题:

应试能力达标
( ) B.平面 A1DB1 D.平面 A1DB

1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,与 AD1 垂直的平面是

①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条; ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条; ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个; ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个. 其中正确的是( A.①④ C.①② 解析:选 B ) B.②③ D.③④ 过一点和一条直线垂直的直线有无数条,故①不正确;过一点和一个平

面垂直的平面有无数个,故④不正确;易知②③均正确.故选 B. 3.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m 解析:选 B B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m )

根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于

这个平面,知选项 B 正确. 4.如图,四棱锥 SABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确的 是( )

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A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 解析:选 D 选项 A 正确,因为 SD 垂直于平面 ABCD,而 AC 在平 面 ABCD 内,所以 AC 垂直于 SD;再由 ABCD 为正方形,所以 AC 垂直 于 BD,而 BD 与 SD 相交,所以 AC 垂直于平面 SBD,进而垂直于 SB. 选项 B 正确,因为 AB 平行于 CD,而 CD 在平面 SCD 内,AB 不在平面 SCD 内,所 以 AB 平行于平面 SCD. 选项 C 正确,设 AC 与 BD 的交点为 O,连接 SO,则 SA 与平面 SBD 所成的角就是∠ ASO,SC 与平面 SBD 所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等. 选项 D 错误,AB 与 SC 所成的角等于∠SCD,而 DC 与 SA 所成的角是∠SAB,这两 个角不相等. 5.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 AD 的中点, F 是 BB1 的中点,则直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值为________. 解析:连接 EB,由 BB1⊥平面 ABCD,知∠FEB 即

直线 EF 与平面 ABCD 所成的角.在 Rt△FBE 中,BF=1,BE= 5,则 tan∠FEB= 5 . 5 答案: 5 5

6.如图所示,将平面四边形 ABCD 沿对角线 AC 折成空间四边形,当平面 四边形 ABCD 满足________时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上 你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能情况) 解析:在平面四边形中,设 AC 与 BD 交于 E,假设 AC⊥BD,则 AC⊥DE,AC⊥BE. 折叠后,AC 与 DE,AC 与 BE 依然垂直,所以 AC⊥平面 BDE,所 以 AC⊥BD.若四边形 ABCD 为菱形或正方形,因为它们的对角线互相垂 直,同上可证 AC⊥BD. 答案:AC⊥BD(或四边形 ABCD 为菱形、正方形等) 7.如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.

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(1)求证:AB1⊥平面 A1BC1. (2)若 D 为 B1C1 的中点,求 AD 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值. 解:(1)证明:由题意知四边形 AA1B1B 是正方形, ∴AB1⊥BA1. 由 AA1⊥平面 A1B1C1 得 AA1⊥A1C1. 又∵A1C1⊥A1B1,AA1∩A1B1=A1, ∴A1C1⊥平面 AA1B1B, 又∵AB1?平面 AA1B1B, ∴A1C1⊥AB1. 又∵BA1∩A1C1=A1,∴AB1⊥平面 A1BC1. (2)连接 A1D.设 AB=AC=AA1=1, ∵AA1⊥平面 A1B1C1, ∴∠A1DA 是 AD 与平面 A1B1C1 所成的角. 在等腰直角三角形 A1B1C1 中,D 为斜边的中点, 1 2 ∴A1D= ×B1C1= . 2 2 在 Rt△A1DA 中,AD= A1D2+A1A2= A1A 6 ∴sin∠A1DA= = , AD 3 即 AD 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值为 6 . 3 6 . 2

8.如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1 = 2,D 是 A1B1 的中点. (1)求证 C1D⊥平面 AA1B1B; (2)当点 F 在 BB1 上的什么位置时,会使得 AB1⊥平面 C1DF?并证明 你的结论. 证明:(1)∵ABCA1B1C1 是直三棱柱, ∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°. 又 D 是 A1B1 的中点, ∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面 A1B1C1,C1D?平面 A1B1C1, ∴AA1⊥C1D,又 A1B1∩C1D=D, ∴C1D⊥平面 AA1B1B.

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(2)作 DE⊥AB1 交 AB1 于 E,延长 DE 交 BB1 于 F,连接 C1F,则 AB1⊥平面 C1DF, 点 F 为所求. ∵C1D⊥平面 AA1B1B,AB1?平面 AA1B1B,∴C1D⊥AB1. 又 AB1⊥DF,DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面 C1DF. ∵AA1=A1B1= 2,∴四边形 AA1B1B 为正方形. 又 D 为 A1B1 的中点,DF⊥AB1,∴F 为 BB1 的中点, ∴当点 F 为 BB1 的中点时,AB1⊥平面 C1DF.


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