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惠州实验中学2012届高二下学期期中考试(理数)


惠州实验中学 2011-2012 学年高二下学期期中考试 理科数学
满分 150 分.考试时间:120 分钟. 参考公式:线性回归方程 ? ? bx ? a 中系数计算公式 y ? ?
n n ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? xi ? yi ? nx ? y ? ? ?b ? i ?1 n ? i ?1 n , ,其中 x, y 表示样本均值

. 2 2 2 ? ? ( xi ? x ) ? xi ? nx ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx. ?

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? i ,则 z ? z1 ? z2 在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 ) C. y ? ? x ? 2
2



D.第四象限

2.在区间 (??, 0) 上为增函数的是( A. y ?

1 x ?1

B. y ? ?2 x ? 1

D. y ? ( )

1 2

x

3.所有 9 的倍数都是 3 的倍数, “ 某奇数是 9 的倍数, 故该奇数是 3 的倍数”上述推理 , ( A.小前提错 B.结论错 C.大前提错 D.正确 )



4.在 △ ABC 中, sin A sin C ? cos A cos C ,则 △ ABC 一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定

5. 在等差数列?an ?中,a3 ? a21 ? 4, 则其前23项的和为 A.10 6.观察式子: 1 ? 式子为( A. 1 ? ) B.12 C.46 D.52

(

)

1 1 1 7 1 3 1? 1 ? 1 ? 5 , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ? .则可归纳出 ? , 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 2 2

1 1 1 1 ? 2 ? ??? 2 ? (n ? 2) 2 2 3 n 2n ? 1 1 1 1 n (n ? 2) C. 1 ? 2 ? 2 ? ??? 2 ? 2 3 n 2n ? 1

1 1 1 2 n ?1 ? 2 ? ??? 2 ? ( n ? 2) 2 2 3 n n 1 1 1 2n ( n ? 2) D. 1 ? 2 ? 2 ? ??? 2 ? 2 3 n 2n ?1
B. 1 ?

7.函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是(



8.下列求导正确的是( A. (

) B. (sin xn )' ? n sin xn?1cosx

cos x 2 x cos x ? sin x ? x 2 )' ? x2 x4

C. (?

1 1 )' ? x 2x x

D. (e?2 x ? sin 3x)' ? ?6e2 x ? cos3x

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.已知全集 U=R, A ? {x x ?1 ? 0}, B ? {x ?1 ? x ? 3} , 则 A? B = 10.计算: log2 4 ? 11.如果 cos( ? ? A) ? ?

1 ? ,那么 sin( ? A) ? 2 2

12.若函数 f ( x) ? x3 ? 2x2 ?1 ,则 f ?(?1) ? 13.

?

2

0

(3x2 ? k )dx ? 10, 则k ?

14.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值 范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ?
m

2 7 且 f ? 4? ? , x 2

(1)求 m 的值. (2)判定 f ? x ? 的奇偶性. 16、 (本题满分 12 分)

已知 A? ?2, a ? 是角 ? 终边上的一点,且 sin ? ? ? 求 cos? , tan ? 的值.

5 , 5

17. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 . (1)求 f ( x ) 的单调递减区间 (2)求 f ( x ) 在闭区间[-3,0]上的最大值.

18. (本题满分 14 分)

在数列 ?an ? ,?bn ? 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an ?1 成等差数列, bn , an?1 , bn ?1 成等比数列

?n ? N ?
*

(1)求 a2 , a3 , a4 和 b2 , b3 , b4 . (2)由(1)的结果猜测 an , bn 的通项公式,并用数学归纳法证明 an 的通项公式.

19. (本题满分 14 分)

一机器可以按各种不同的速度运转,其生产物件有一些会有缺点,每小时生产有 缺点物件的多少随机器运转速度而变化,用 x 表示转速 (单位:转/秒) ,用 y 表示每小时生产的有缺点物件个数,现观测得到 ( x, y ) 的 4 组观测值为(8,5)(12,8)(14,9)(16,11) , , , . (1)假定 y 与 x 之间有线性相关关系,求 y 对 x 的回归直线方程. (2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为 10,则机器的速度不得 超过多少转/秒. (精确到 1 转/秒)
参考数值: 8 ? 12 ? 14 ? 16 ? 660
2 2 2 2

8 ? 5 ? 12 ? 8 ? 14 ? 9 ? 16 ?11 ? 438

20(本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函数,又
3 2

1 3 f ?( ) ? . 2 2
(1)求 f (x) 的解析式. (2)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ? x 成立,求 m 的取值范围.

参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1 2 3 4 5 6 7 8

A

C

D

C

C

B

A

C

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分)
9、 {x 1 ? x ? 3} 12、 ?1 10、 2 11、
1 2

13、 1

14、 a ? 2 或 a ? ?1

三、解答题(共 80 分)

16.解:? r ? 4 ? a2 ,

?????3 分 ?????6 分

?sin ? ?

a a 5 , ? ?? 2 r 5 a ?4

? a ? ?1 , r ? 5 ,
? cos ? ? x ?2 2 5 ? ?? r 5 5

?????8 分 ?????10 分.

tan ? ?

y 1 ? x 2

?????12 分

18.解: (1)由条件得 2bn ? an ? an?1 , ????? ? ?1 分
2 an?1 ? bnbn?1 . ????? ? ???2 分

由此可得 a2 ? 6, b2 ? 9, a3 ? 12, b3 ? 16, a4 ? 20, b4 ? 25, ???????6 分 (2)猜测 an ? n(n ? 1), bn ? (n ? 1)2 ?????????8 分 .用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,由上述可得结论成立?????????9 分 ②假设当 n ? k 时,结论成立 即 ak ? k (k ? 1), ?????????10 分 那么当 n=k+1 时, ak ?1 ? 2bk ? a k ? 2(k ? 1)2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2). ??12 分 即 n=k+1 命题成立?????????13 分 综合(1),(2),对任意 n ? N ,都有 an ? n(n ? 1), ????14 分
*

19.解: (1)设回归直线方程为 ? ? bx ? a ,???? 1 分 y ? ?

x ? 12.5 ,???? 3 分

y ? 8.25 ,???? 5 分

? xi 2 ?82 ? 122 ? 142 ? 162 ? 660
i ?1

4

?x y
i ?1 i

4

i

?8 ? 5 ? 12 ? 8 ? 14 ? 9 ? 16 ?11 ? 438 ?6 分

于是 b ?

438 ? 4 ?12.5 ? 8.25 25.5 51 ? ? ,???? 8 分 660 ? 4 ?12.52 35 70
51 33 51 25 6 ? 12.5 ? ? ? ? ? .???? 9 分 70 4 70 2 7

a ? y ? bx ? 8.25 ?

? ∴所求的回归直线方程为 y ?
(2)由 ? ? y

51 6 x ? ;???? 10 分 70 7

51 6 760 x ? ≤10 ,得 x ≤ ? 15 ,???? 13 分 70 7 51 即机器速度不得超过 15 转/秒???? 14 分


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